BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06

przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ funkcji; 2 granice na końcach przedziałów określoności, asmptot; 3 pochodna f () i jej znaki (ustalaja c ekstrema i przedział monotoniczności); 4 pochodna f () i jej znaki (ustalaja c punkt przegiȩcia i przedział wpukłości i wklȩsłości).

ASYMPTOTY DEFINICJA. Asmptota pionowa wkresu funkcji = f () to prosta = 0, jeżeli lim f () = + 0 0

ASYMPTOTY DEFINICJA. Asmptota pionowa wkresu funkcji = f () to prosta = 0, jeżeli lim f () = + (albo ) 0 0

ASYMPTOTY DEFINICJA. Asmptota pionowa wkresu funkcji = f () to prosta = 0, jeżeli lim f () = + (albo ) lub 0 f () = + lim + 0 0

ASYMPTOTY DEFINICJA. Asmptota pionowa wkresu funkcji = f () to prosta = 0, jeżeli lim f () = + (albo ) lub 0 f () = + (albo ). lim + 0 0

PRZYKŁAD. Znaleźć asmptot pionowe wkresu funkcji f () = ln(1 3 ). Dziedzina funkcji jest przedział (, 1); lim 1 ln(1 3 ) =, wiȩc istnieje asmptota pionowa (lewostronna) o równaniu = 1. 1

ASYMPTOTY DEFINICJA. Jeżeli istnieja liczb m oraz n takie, że lim + [f () (m + n)] = 0, to prosta = m + n nazwam asmptota ukośna prawa wkresu funkcji = f ().

ASYMPTOTY DEFINICJA. Jeżeli istnieja liczb m oraz n takie, że lim [f () (m + n)] = 0, to prosta = m + n nazwam asmptota ukośna lewa wkresu funkcji = f ().

ASYMPTOTY UWAGA. Jeżeli m = 0, to asmptotȩ ukośna (o równaniu = n) nazwam asmptotą pozioma.

Jak szukam asmptot ukośnch? TWIERDZENIE. Jeżeli istnieja skończone granice (oznaczm ja przez m) oraz f () lim + lim [f () m] + (oznaczm ja przez n) to wkres funkcji = f () ma asmptotȩ ukośna prawa o równaniu = m + n. Podobnie istnieje asmptota ukośna lewa = m + n, gd lim f () = m oraz lim [f () m] = n.

ASYMPTOTY m =? lim f () ; n =? lim [f () m] PRZYKŁAD. Znaleźć asmptot wkresu funkcji f () = +. Dziedzina funkcji jest D = [0, ), funkcja jest cia gła, wiȩc nie ma asmptot pionowch i nie ma asmptot ukośnej lewej. Sprawdzam istnienie asmptot prawej. f () lim = lim + + + ( 1 = lim + 1 ) = 1, + zatem m = 1. lim [f () m] = lim ( ) + 1 = lim = +, + + + a wiȩc nie ma także asmptot prawej.

ILUSTRACJA: Wkres funkcji f () = + nie ma asmptot.

ASYMPTOTY PRZYKŁAD. Znaleźć asmptot wkresu funkcji f () = arctg. Dziedzina funkcji jest R, funkcja jest cia gła, wiȩc nie ma asmptot pionowch. Sprawdzam istnienie asmptot ukośnej prawej. f () arctg lim = lim + + = lim + arctg = π 2 = m, lim [f () m] = lim ( π arctg + + 2 ) arctg π 2 = lim + 1 (H) = lim + 1 1+ 2 1 2 = 1 = n, wiȩc wkres funkcji ma asmptotȩ prawa o równaniu = π 2 1. Funkcja f jest parzsta, zatem jej wkres ma też asmptotȩ ukośna lewa o równaniu = π 2 1.

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ DEFINICJA. Mówim, że wkres funkcji = f () jest wpukł w przedziale (a, b), gd odcinek powstał przez połączenie dowolnch dwóch punktów tego wkresu leż nad wkresem (dokładniej: nad lub na). a b

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ DEFINICJA. Mówim, że wkres funkcji = f () jest wklęsł w (a, b), gd odcinek powstał przez połączenie dowolnch dwóch punktów tego wkresu leż pod wkresem (dokładnej: pod lub na). a b

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ WNIOSEK. Jeżeli funkcja f () jest wpukła, to = f ()

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ WNIOSEK. Jeżeli funkcja f () jest wpukła, to funkcja f () jest wklęsła. = f () = f ()

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ WNIOSEK. Załóżm, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b). Wkres funkcji = f () jest wpukł w (a, b), gd jest położon nad stczna do wkresu poprowadzona w dowolnm punkcie (c, f (c)), c (a, b). a b

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ WNIOSEK. Załóżm, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b). Wkres funkcji = f () jest wklȩsł w (a, b), gd jest położon pod stczna do wkresu poprowadzona w dowolnm punkcie (c, f (c)), c (a, b). a b

PUNKT PRZEGIĘCIA DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f jest różniczkowalna w pewnm sa siedztwie punktu 0. Mówim, że punkt ( 0, f ( 0 )) jest punktem przegiȩcia wkresu funkcji = f (), jeżeli wkres ten jest wpukł z jednej, a wklȩsł z drugiej stron tego punktu.

Jak badam wpukłość? TWIERDZENIE. Załóżm, że f jest funkcja cia gła w (a, b). Jeżeli f () > 0 dla (a, b), to wkres funkcji f jest wpukł w tm przedziale. Jeżeli natomiast f () < 0 dla (a, b), to wkres funkcji f jest wklȩsł.

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f () = + 1 1. f () = + 1 1, D f = R \ {1} Asmptotą pionową (lewostronną i prawostronną) jest prosta = 1, gdż ( lim f () = lim + 1 ) = 1 1 1 ( lim f () = lim + 1 ) = + 1 + 1 + 1 Asmptotą ukośną (prawą i lewą) jest prosta =, gdż f () lim = lim ± ± + 1 1 [ 1 ] = lim 1 + = 1 = m ± ( 1) [ ] lim f () m = lim [ + 1 ] ± ± 1 1 = 0 = n

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f () = + 1 1. f () = + 1 1 D f = R \ {1} f () = 1 + 1 ( 1) 2 D f = R \ {1} = D f Oczwiście punkt = 1 nie jest podejrzan o ekstremum, gdż nie należ do dziedzin funkcji f. Miejsca zerowe pochodnej to 1 = 0, 2 = 2. Znaki f : + + 0 1 2 Funkcja rośnie w przedziale (, 0), maleje w (0, 1), maleje w (1, 2), rośnie w (2, + ).

PRZYKŁAD f () = + 1 1, D f = R \ {1}, f () = 1 1 ( 1) 2 f () = 2 ( 1) 3 D f = R \ {1} = D f Znaki f : 1 + Wkres jest wpukł w przedziale (1, + ), a wklęsł w przedziale (, 1).

= + 1 1 0 1

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f () = ln(1 3 ). Dziedzina funkcji jest przedział (, 1). Jak wiem, istnieje asmptota pionowa (lewostronna) o równaniu = 1. Sprawdzim, cz istnieje asmptota ukośna lewa (prawej nie ma, gdż D f = (, 1)): f () ln(1 3 [ ) (H) ln(1 3 ) ] lim = lim = lim () 3 2 1 = lim 3 1 = lim 3 1 3 1 = 0 = m Bć może jest asmptota ukośna (preczjniej: pozioma, bo m = 0) lewa. Sprawdzim n : lim [f () m] = lim ln(1 3 ) = + Nie ma asmptot ukośnch (w tm: nie ma poziomch).

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f () = ln(1 3 ). f () = 3 2 1 3 D f = D f f () = 0 dla = 0 0 1 znaki f () Funkcja maleje w swojej dziedzinie i nie osiąga ekstremum.

f () = 3 2 1 3 f () = 6(1 3 ) ( 3 2 )( 3 2 ) (1 3 ) 2 = 3 4 6 (1 3 ) 2 = 3( 3 + 2) (1 3 ) 2 D f = D f f () = 0 dla = 0 oraz = 3 2 3 2 + 0 znaki f () 1 Wkres jest wpukł w przedziale ( 3 2, 0), wklęsł w przedziale (, 3 2) oraz wklęsł w przedziale (0, 1).

Rsujem wkres funkcji f () = ln(1 3 ). ln 3 3 2 0 1

ZADANIE: Zbadaj przebieg funkcji f () = arctg Dziedziną funkcji jest D f = R i, jak wiem, wkres funkcji ma asmptotȩ ukośną prawa o równaniu = π 2 1 oraz asmptotȩ ukośna lewa o równaniu = π 2 1.

ZADANIE: Zbadaj przebieg funkcji f () = arctg Dziedziną funkcji jest D f = R i, jak wiem, wkres funkcji ma asmptotȩ ukośną prawa o równaniu = π 2 1 oraz asmptotȩ ukośna lewa o równaniu = π 2 1. Zauważm, że f ( ) = ( ) arctg ( ) = ( )( arctg ) = arctg = f (). Funkcja jest parzsta, możem więc wkonać dalsze obliczenia i rsunek tlko dla 0 i odpowiednio odbić wkres funkcji.

ZADANIE: Zbadaj przebieg funkcji f () = arctg Obliczam pochodną: f () = 1 arctg + 1 2 + 1. Zauważm, że f (0) = 0 oraz f () > 0 dla > 0. Funkcja f jest rosnąca w przedziale (0, ) (preczjniej: w przedziale [0, )). Ponadto f (0) = 0 (jest tam minimum). Obliczam pochodną drugiego rzędu: Wkres jest wpukł. f () = [f ()] = 2 ( 2 + 1) 2 > 0.

Wkres funkcji f () = arctg Z parzstości: Wkres funkcji ma asmptotȩ ukośną prawa o równaniu = π 2 1

Wkres funkcji f () = arctg Z parzstości: Wkres funkcji ma asmptotȩ ukośną prawa o równaniu = π 2 1 oraz asmptotȩ ukośna lewa o równaniu = π 2 1.

PRZYKŁAD. Zbadaj przebieg funkcji f () = 2 2 π arc sin 2 +1. Dziedzina funkcji: 1 2 1, 2 +1 Nie ma asmptot pionowch. 2 1 2 2 + 1, 2 2 1 0 2 2 + 1, ( + 1) 2 0 ( 1) 2, D f = R.

Asmptot ukośne. Jest asmptota pozioma (prawa i lewa) o równaniu = 0, gdż lim f () = ± lim 2 2 arc sin ± π 2 + 1 2 2 = lim ± π arc sin 1 + 1 = 2 arc sin 0 = 0. π 2

Pochodna pierwszego rzędu; f () = 2 2 π arc sin 2 +1 Pochodna: f () = 2 π = 2 π 1 2( 2 + 1) 2 2 1 42 ( 2 + 1) 2 ( 2 +1) 2 2 2 + 2 4 2 4 + 2 2 + 1 4 2 ( 2 + 1) = 2 π 2 2 2 ( 2 + 1) ( 2 1) 2 = 4 π 1 2 ( 2 + 1) 2 1. Dziedzina pochodnej: D f = R \ { 1, 1}.

Ekstrema. Wiem, że f () = 4 π 1 2 ( 2 +1) 2 1. Punkt podejrzane o ekstremum lokalne funkcji f to 1 = 1 oraz 2 = 1. Dla ( 1, 1) mam f () = 4 π 1 2 ( 2 +1)( 2 +1) = 4 π 1 2 +1 > 0. Dla (, 1) (1, ) mam f () = 4 π 1 2 ( 2 +1)( 2 1) = 4 π 1 2 +1 < 0. Funkcja f rośnie w przedziale ( 1, 1), maleje w (, 1) oraz maleje w (1, ). Osia ga minimum dla 1 = 1, a maksimum dla 2 = 1.

dla ( 1, 1) pochodna: f () = 4 π 1 2 +1 dla (, 1) (1, ) pochodna: f () = 4 π 1 2 +1 < 0. W celu zbadania wpukłości funkcji obliczm pochodną drugiego rzędu: Dla ( 1, 1) mam f () = ( 4 π ) 1 2 +1 = 4 π 2. ( 2 +1) 2 Dla (, 1) (1, ) mam f () = ( 4 π ) 1 2 +1 = 4 π 2. ( 2 +1) 2 Wkres funkcji jest wiȩc wpukł w przedziałach ( 1, 0) oraz (1, ), a wklȩsł w (, 1) oraz (0, 1). Prz przejściu przez 1 = 1, 2 = 1 oraz 3 = 0 pochodna f zmienia znak, zatem mam trz punkt przegiȩcia: ( 1, 1), (0, 0), (1, 1).

Wkres funkcji f () = 2 2 π arc sin 2 +1. Oczwiście mogliśm wkonać obliczenia tlko dla 0 zauważając wcześniej, że nasza funkcja jest nieparzsta: f ( ) = 2 2( ) arc sin π ( ) 2 + 1 = 2 ( π arc sin 2 ) 2 + 1 = 2 π arc sin 2 2 = f () + 1