Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
|
|
|
- Grzegorz Marcinkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17
2 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi (x, y) D dokładnie jednej liczby rzeczywistej f (x, y). DEFINICJA. Wykres funkcji f : D R, to zbiór W = {(x, y, z) : z = f (x, y), (x, y) D}.
3 z PRZYKŁAD. Naszkicuj wykres funkcji z = x + y 2. D = R y x 0 2
4 Zadanie. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = sin πx sin πy + ln(4 y 2 ) arc sin 1 3 x.
5 Zadanie. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = sin πx sin πy + ln(4 y 2 ) arc sin 1 3 x. Warunki: sin πx sin πy 0 4 y 2 > x 1. Drugą i trzecią nierówność łatwo rozwiązać: 2 < y < 2; 3 x 3.
6 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. y x
7 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. 2 < y < 2 i y x
8 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. 3 x 3 y x
9 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. 2 < y < 2 i 3 x 3 y x
10 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. Pierwszą { nierówność sin πx 0 lub sin πy 0 sin πx sin πy 0 rozbijemy na dwa układy:
11 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. Pierwszą { nierówność sin πx 0 lub sin πy 0 { sin πx sin πy 0 rozbijemy na dwa układy: sin πx 0 sin πy 0 ; zatem
12 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { sin πx 0 sin πy 0 { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]...
13 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { sin πx 0 sin πy 0 ; { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]....
14 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. Pierwszą { nierówność { sin πx sin πy 0 rozbijemy na dwa układy: sin πx 0 sin πx 0 lub sin πy 0 sin πy 0 ; zatem { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]...
15 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y x
16 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y x
17 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y x
18 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y x
19 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. { x... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... lub y... [ 2, 1] [0, 1] [2, 3]... { x [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2].... y [ 3, 2] [ 1, 0] [1, 2]... y x
20 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. y x
21 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. y x
22 Zadanie: narysuj dziedzinę funkcji. y x
23 Zadanie: dziedzina. y x
24 Otoczenie punktu DEFINICJA. Otoczenie punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. P 0
25 Otoczenie punktu DEFINICJA. Otoczenie punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. P 0
26 Otoczenie punktu DEFINICJA. Otoczenie punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. P 0
27 Otoczenie punktu DEFINICJA. Otoczenie punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. P 0
28 Otoczenie punktu DEFINICJA. Otoczenie punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. P 0
29 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy:
30 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy
31 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze D;
32 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy
33 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem wewnętrznym zbioru D, gdy istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze D;
34 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy:
35 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy
36 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy
37 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;
38 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;
39 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;
40 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem brzegowym zbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;
41 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem skupienia zbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.
42 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem skupienia zbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.
43 Punkty DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem skupienia zbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.
44 Punkty! DEFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: punktem skupienia zbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.
45 Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru D to wnętrze tego zbioru.
46 Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru D to wnętrze tego zbioru.
47 Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru D to wnętrze tego zbioru.
48 Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru D to brzeg tego zbioru.
49 Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru D to brzeg tego zbioru.
50 Zbiory DEFINICJA. Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru D to brzeg tego zbioru.
51 Zbiory Zbiór D jest otwarty, gdy każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym tego zbioru.
52 Zbiory Zbiór D jest otwarty, gdy każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym tego zbioru.
53 Zbiory Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
54 Zbiory Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
55 Zbiory Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
56 Zbiory Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
57 Zbiory Zbiór D nazywamy obszarem, gdy jest otwarty i gdy każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze.
58 Zbiory Zbiór D nazywamy obszarem, gdy jest otwarty i gdy każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze.
59 Ciągłośc funkcji DEFINICJA. Załóżmy, że dziedziną funkcji f (x, y) jest zbiór D. Ponadto niech (x 0, y 0 ) D będzie punktem skupienia zbioru D. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie (x 0, y 0 ), gdy ɛ>0 δ>0 (x,y) D S δ (x 0,y 0 ) f (x 0, y 0 ) ɛ < f (x, y) < f (x 0, y 0 ) + ɛ. Załóżmy, że każdy punkt ze zbioru D jest punktem skupienia tego zbioru. Funkcja f jest ciągła w zbiorze D, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
60 POCHODNA, przypomnienie DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f (x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ), h to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ).
61 POCHODNA CZĄSTKOWA DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f (x, y) jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ), h to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x(x 0, y 0 ) lub f x (x 0, y 0 ). Podobnie definiujemy pochodną cząstkową f y = f y względem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ): funkcji f f y f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) = lim. h 0 h Pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.
62 POCHODNA CZĄSTKOWA DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f (x, y) jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ), h to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x(x 0, y 0 ) lub f x (x 0, y 0 ). Podobnie definiujemy pochodną cząstkową f y = f y względem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ): funkcji f f y f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) = lim. h 0 h Pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.
63 POCHODNA CZĄSTKOWA DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f (x, y) jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ), h to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x(x 0, y 0 ) lub f x (x 0, y 0 ). Podobnie definiujemy pochodną cząstkową f y = f y względem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ): funkcji f f y f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) = lim. h 0 h Pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.
64 Pochodna cząstkowa PRZYKŁAD. Oblicz, z definicji, f x oraz f y, gdy f (x, y) = x 2 y. f x(x, y) = lim h 0 f (x + h, y) f (x, y) h = lim h 0 (x + h) 2 y x 2 y h = lim h 0 x 2 y + 2xhy + h 2 y x 2 y h = lim h 0 (2xy + hy) = 2xy f y f (x, y + h) f (x, y) x 2 (y + h) x 2 y (x, y) = lim = lim h 0 h h 0 h = lim h 0 x 2 y + x 2 h x 2 y h = x 2
65 Pochodne wyższych rzędów DEFINICJA. Załóżmy, że n 2 jest liczbą naturalną. Pochodna cząstkowa n-tego rzędu to pochodna cząstkowa pochodnej cząstkowej rzędu n 1. PRZYKŁAD. Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f (x, y) = x 2 y. f x = 2xy, f y = x 2, f xx = ( f x ) x = ( 2xy) x = 2y, f yy = 0, f xy = f yx = 2x TWIERDZENIE. Jeżeli pochodne mieszane f są równe. xy, f yx są ciągłe w pewnym obszarze, to
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Funkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5
Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Lista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
AB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji
27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Informacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
O geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Granice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Całka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Analiza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej