Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

1 Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow Definicja 1. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 + r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowm funkcji f w punkcie 0 odpowiadającm przrostowi h, gdzie 0 < h < r, nazwam liczbę f( 0 + h) f( 0 ) h 1.1 Interpretacja geometrczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicow jest równ tangensowi kąta nachlenia siecznej przechodzącej przez punkt ( 0, f( 0 )) oraz ( 0 + h, f( 0 + h)) do dodatniej półosi O. f( 0 + h) f( 0 ) 0 = f() α = h 0 + h. f = f( 0 + h) f( 0 ) tg α = f 2 Pochodna funkcji Definicja 2. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 +r), gdzie r > 0. Jeżeli istnieje skończona granica f( 0 + h) f( 0 ) h 0 h. to nazwam ją pochodną funkcji f w punkcie 0 i oznaczam f ( 0 ). Mówim wted, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0. 1

2 Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie 0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówim, że funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie 0. Pochodna funkcji f w punkcie 0 f ( 0 ) def = h 0 f( 0 + h) f( 0 ) h f ( 0 ) def = 0 f() f( 0 ) 0 Przkład 3. Niech f() = 2. Wted f ( 0 ) def ( = 0 +h)2 2 0 h 0 h f ( 0 ) def = = 0 ( 0 ) (+ 0 ) 0 = 2 0 = h h+h 2 h = 2 0 lub 2.1 Pochodne ważniejszch funkcji elementarnch (c) = 0, gdzie c R. ( p ) = p p 1, dla p R, zakres zmienności zależ od p. ( 1 ) = 1 2, R \ {0}. ( ) = 1 2, R +. (sin ) = cos, R. (cos ) = sin, R. (tg ) = 1 cos 2, π + kπ, k Z. 2 (ctg ) = 1 sin 2, kπ, k Z. (a ) = a ln a, a > 0, R. (e ) = e, R. (log a ) = 1 ln a, > 0 i 0 < a 1. (ln ) = 1, > 0. 2 Opracowała: Małgorzata Wrwas

3 = e = + 1 Budownictwo studia niestacjonarne Definicja 4. Niech 0 R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 + r), gdzie r > 0. Prosta jest stczna do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )), jeżeli jest granicznm położeniem siecznch wkresu funkcji przechodzącch przez punkt ( 0, f( 0 )) i (, f()), gd 0. f() = f() sieczne f( 0 ) stczna Interpretacja geometrczna pochodnej funkcji w punkcie Pochodna funkcji w punkcie 0 jest równa tangensowi kąta nachlenia stcznej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )) do dodatniej półosi O. = f() stczna f( 0 ) α 0 tg α = f ( 0 ) Równanie stcznej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )): = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ). Przkład 5. Niech f() = e. Wówczas równanie stcznej do wkresu funkcji f w 0 = 0 ma postać: = + 1. (0, 1) Przkład 6. Niech f() = sin. Wówczas równanie stcznej do wkresu funkcji f w 0 = π ma postać: = π. =sin 1 π -1 π 2π 3π 4π = π 3 Opracowała: Małgorzata Wrwas

4 2.3 Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartm wted i tlko wted, gd ma pochodną w każdm punkcie tego przedziału. Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach tego przedziału sa równe f () nazwam pochodną funkcji f na przedziale I i oznaczam smbolem f. f : f (), I. 2.4 Działania artmetczne na pochodnch funkcji Twierdzenie 7. Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie 0, to: (f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ). (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 0 ). (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0 ) g ( 0 ). ( f g ) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) f( 0 ) g ( 0 ) g 2 ( 0 ), o ile g( 0 ) 0. Twierdzenie 8. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, zaś c R, to (cf) ( 0 ) = cf ( 0 ). Przkład 9. f() = f () = ( g() = sin ctg, kπ, k Z, g () = cos ctg + sin 1 ) sin 2 = cos ctg 1 sin h() = , R, h () = 2 (2 + 1) ( 2 1) 2 ( 2 + 1) 2 = 4 ( 2 + 1) 2 Twierdzenie 10 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f( 0 ), to funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz Przkład 11. f() = sin 3 f () = 3 sin 2 cos (g f) ( 0 ) = g (f( 0 )) f ( 0 ). g() = ( ) 5, g () = 5( ) 4 (6 + 1) Postać logartmiczno wkładnicza funkcji Każdą funkcję złożoną postaci [f()] g() można przedstawić w postaci logartmiczno wkładniczej: [f()] g() = e g() ln f(). Postać logartmiczno wkładniczą stosujem do obliczania pochodnch funkcji danch w postaci [f()] g(). Przkład 12. f() = = e ln f () = e ln (ln + 1 ) = (ln + 1) 4 Opracowała: Małgorzata Wrwas

5 Twierdzenie 13 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech 0 D f. Niech f będzie funkcją ciągłą i różnowartościową w otoczeniu punktu 0 oraz taką, że f ( 0 ) 0. Wówczas gdzie 0 = f( 0 ). (f 1) (0 ) = 1 f ( 0 ), Pochodne funkcji cklometrcznch (arc sin ) = 1 1 2, ( 1, 1). (arc cos 1 ) = 1 2, ( 1, 1). (arc tg ) = , R. (arc ctg ) = , R. 3 Różniczka funkcji Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu 0. Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą (jest różniczkowalna) w punkcie 0. Definicja 14. Różniczką funkcji f w punkcie 0 nazwam funkcję zmiennch określoną wzorem: df( 0 )( ) def = f ( 0 ). Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df( 0 ) lub krótko df. 3.1 Różniczka i obliczenia przbliżone Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie 0. Wted f( 0 + ) f( 0 ) + f ( 0 ), prz czm błąd jaki popełniam zastępując przrost funkcji f jej różniczką df = f () dąż szbciej do zera niż, tzn. f df 0 = 0. = f() f( 0 ) df f 0 Przkład 15. Wkorzstując różniczkę obliczm wartość przbliżoną wrażenia 15,96. Definiujem funkcję f() =. Przjmujem 0 =16 = 0,04. Ponieważ df d = f () = 1 2,więc 15, ( 0,04) = 3, Opracowała: Małgorzata Wrwas

6 3.2 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizczne i będą związane zależnością = f(). Ponadto niech oznacza błąd bezwzględn pomiaru wielkości. Wted błąd bezwzględn obliczeń wielkości wraża się wzorem przbliżonm f ( 0 ), gdzie 0 jest wnikiem pomiaru wielkości, prz czm f ( 0 ) jest właściwa. Przkład 16. Czas w biegu na 100 m mierz się z dokładnością t = 0,01 s. Zawodnik uzskał 10 s. Z jaką w przbliżeniu dokładnością można obliczć prędkość V tego zawodnika? Ponieważ V = 100 t, więc V (t) = 100 t 2, więc V V (10) t = 3.3 Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji ,01 = 0,01 [ ] m s. Twierdzenie 17. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tm punkcie ciągła. Uwaga 18. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przkład funkcja f() = jest ciągła w punkcie 0 = 0, ale f (0) nie istnieje. 2 = Związek różniczkowalności z monotonicznością funkcji Twierdzenie 19. Niech I oznacza dowoln przedział. Jeżeli dla każdego I funkcja f spełnia warunek: f () = 0, to funkcja f jest stała na I; f () > 0, to funkcja f jest rosnąca na I; f () 0, to funkcja f jest niemalejąca na I; f () < 0, to funkcja f jest malejąca na I; f () 0, to funkcja f jest nierosnąca na I. 4 Pochodne wższch rzędów Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie 0 definiujem indukcjnie dla n 1. f (n) ( 0 ) = Przjmujem, że f (0) ( 0 ) = f( 0 ) i f (1) ( 0 ) = f ( 0 ). Piszem: ( f (n 1)) (0 ), f (2) = f, f (3) = f, f (4) = f IV lub f (1) = f, f (2) = f lub f (n) = dn f d n. 6 Opracowała: Małgorzata Wrwas

7 5 Ekstrema funkcji Definicja 20 (minimum funkcji). Funkcja f ma w punkcie 0 D f minimum lokalne, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f minimum lokalne właściwe, jeżeli Definicja 21 (maksimum funkcji). δ>0 S( 0,δ) f() > f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne właściwe, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() < f( 0 ). Minima i maksima lokalne nazwam EKSTREMAMI LOKALNYMI. Twierdzenie 22 (tw. Fermata: warunek konieczn istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz posiada ekstremum lokalne w tm punkcie, to f ( 0 ) = 0. Uwaga 23. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przkład dla funkcji f() = 3 mam f (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie 0 = 0. = 3 Twierdzenie 24 (warunek dostateczn istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągła w punkcie 0 i różniczkowalna prznajmniej w sąsiedztwie punktu 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ( 0 δ, 0 ) f () > 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () < 0 to w punkcie 0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe. 7 Opracowała: Małgorzata Wrwas

8 Twierdzenie 25 (warunek dostateczn istnienia minimum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągłą w punkcie 0 i różniczkowalną prznajmniej w sąsiedztwie punktu 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ( 0 δ, 0 ) f () < 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () > 0 to w punkcie 0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe. Twierdzenie 26 (II warunek dostateczn istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Jeżeli 1 f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0, 2 f (n) ( 0 ) 0, to, gd n > 2 jest parzste, funkcja f osiąga w punkcie 0 ekstremum lokalne właściwe, prz czm jest to minimum, gd f (n) ( 0 ) > 0, zaś maksimum gd f (n) ( 0 ) < 0. Gd n jest nieparzste, ekstremum nie wstępuje. 5.1 Ekstrema globalne Definicja 27. Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt 0 A, taki że f( 0 ) = m i dla każdego A f() f( 0 ) = m. Liczbę m nazwam minimum globalnm funkcji f na zbiorze A. Definicja 28. Liczba M jest największą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt 0 A, taki że f( 0 ) = M i dla każdego A f() f( 0 ) = M. Liczbę M nazwam maksimum globalnm funkcji f na zbiorze A. Minimum i maksimum globalne nazwam EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krtcznch, tzn. punktów k, w którch f ( k ) = 0 lub f ( k ) nie istnieje. Jeżeli f jest funkcją ciągłą na na domkniętm i ograniczonm zbiorze A, to funkcja f osiąga na A wartość najmniejszą i największą. 8 Opracowała: Małgorzata Wrwas

9 5.1.1 Algortm znajdowania ekstremów globalnch funkcji Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krtcznch, tzn. punktów k, w którch f ( k ) = 0 lub f ( k ) nie istnieje. Ekstremów globalnch funkcji f na przedziale A szukam postępując według algortmu: Znajdujem wszstkie punkt krtczne wewnątrz przedziału A i obliczm wartości funkcji w tch punktach. Obliczm f(a) i f(b). Porównujem otrzmane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą. Przkład 29. Niech f : A R R i gdzie A = 0, 3. f(, ) = 1, = 1 jest punktem krtcznm funkcji f, gdż f (1) nie istnieje. Wted f(1) = 0. f(0) = 1 i f(3) = 2. Wówczas m = f najmniejsze = 0 i M = f największe = 2. 6 Zastosowanie pochodnch do obliczanie granic funkcji Twierdzenie 30 (Reguła de l Hospitala). Niech funkcje f i g spełniają warunki: 1 funkcje f,g i f, g będą określone w sąsiedztwie punktu 0 1 f() = g() = 0 albo f() = g() = istnieje granica Wówczas istnieje granica f () 0 g () = a. f() 0 g() oraz f() 0 g() = a. Uwaga 31. Powższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnch, niewłaściwch oraz dla granic w + lub w. 9 Opracowała: Małgorzata Wrwas

10 7 Wklęsłość i wpukłość Definicja 32. Funkcje f nazwam wpukłą na przedziale (a, b) R wted i tlko wted, gd a< 1 < 2 <b 0<t<1 f(t 1 + (1 t) 2 ) < tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ). Uwaga 33. Geometrcznie funkcja jest wpukła, jeżeli każd odcinek siecznej wkresu leż powżej fragmentu wkresu położonego miedz punktami, przez które przechodzi sieczna. Definicja 34. Funkcje f nazwam wklęsłą na przedziale (a, b) R wted i tlko wted, gd f(t 1 + (1 t) 2 ) > tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ). a< 1 < 2 <b 0<t<1 Uwaga 35. Geometrcznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każd odcinek siecznej wkresu leż poniżej fragmentu wkresu położonego miedz punktami, przez które przechodzi sieczna. 7.1 Warunki wstarczające wpukłości i wklęsłości Twierdzenie 36. Jeżeli f () > 0 dla każdego (a, b), to funkcja f jest wpukła na (a, b). Twierdzenie 37. Jeżeli f () < 0 dla każdego (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). Definicja 38. Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Punkt ( 0, f( 0 )) nazwam punktem przegięcia wkresu funkcji f wted i tlko wted, gd istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wpukła na ( 0 δ, 0 ) oraz wklęsła na ( 0, 0 + δ) lub odwrotnie. 7.2 Warunki istnienia punktu przegięcia Twierdzenie 39 (warunek konieczn istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu w punkcie 0 oraz posiada w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięcia, to f ( 0 ) = 0. Twierdzenie 40 (warunek dostateczn istnienia punktu przegięcia). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągłą i różniczkowalną w punkcie 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że f () < 0 oraz f () > 0 ( 0 δ, 0 ) ( 0, 0 +δ) lub ( 0 δ, 0 ) f () > 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () < 0 to w punkcie ( 0, f( 0 )) funkcja f ma punkt przegięcia. Twierdzenie 41 (warunek dostateczn istnienia punktu przegięcia). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Jeżeli 1 f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0, 2 f (n) ( 0 ) 0, to, gd n > 3 jest nieparzste, funkcja f ma w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięcia.. 10 Opracowała: Małgorzata Wrwas

11 8 Pochodne a wkres funkcji f f f min. lok ma. lok Uwaga 42. Jeżeli f ( 0 ) = 0 i f ( 0 ) 0, to 0 jest punktem przegięcia się wkresu funkcji f. 9 Badanie funkcji Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wkresu rozumiem wkonanie następującch cznności: 1. Wznaczenie dziedzin funkcji. 2. Wskazanie podstawowch własności: (a) parzstość lub nieparzstość (b) okresowość (c) miejsca zerowe funkcji (punkt przecięcia wkresu funkcji z osią OX) i punkt przecięcia wkresu funkcji z osią OY (d) ciągłość 3. Zbadanie zachowania się funkcji na "końcach" dziedzin - wznaczenie asmptot wkresu funkcji. 4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji. 5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedział wklęsłości i wpukłości oraz punkt przegięcia wkresu funkcji. 6. Sporządzenie wkresu funkcji. Przkład 43. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wkres funkcji f danej wzorem: f() = D f = R \ {0} = (, 0) (0, + ). 2. Podstawowe własności funkcji f: (a) funkcja f nie jest ani parzsta ani nieparzsta. (b) f nie jest funkcją okresową. (c) f() = = 0 = 3 4, zatem P 0 ( 3 4, 0) jest punktem przecięcia wkresu funkcji z osią OX; brak punktów przecięcia wkresu funkcji z osią OY. (d) f jest ciągła w swojej dziedzinie. 3. Ponieważ 3 [ ] = 0 + = +, więc prosta = 0 jest asmptotą pionową obustronną wkresu funkcji f. Ponieważ ± więc wkres funkcji f nie ma asmptot poziomch. 2 = ±, 11 Opracowała: Małgorzata Wrwas

12 Zbadajm istnienie asmptot ukośnch = a + b: b = a = [f() a] = ± f() ± = ± ± ] [ = ± Istnieje więc jedna asmptota ukośna o równaniu = = 1, = ± 2 = ± [ ] = = Monotoniczność i ekstrema: f f () = 0 = Wklęsłość i wpukłość: f f () = = 3 8 3, min. lok f () = 24 4, 0. Ponadto f min (2) = 3. Zauważm, że dla każdego 0 mam f () > 0. f f + + Zatem wkres nie posiada punktów przegięcia jest to wkres wpukł. ( 6., 3 ) 4 3 ( 4 3 ) 4, 0 0 (0, 2) 2 (2, + ) f f f = = 6 = Opracowała: Małgorzata Wrwas