6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Transkrypt

1 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco f: X Y, y = f(). jest zmienną niezależną (argumentem funkcji), y jest zmienną zależną (wartością funkcji). Zbiór X nazywamy dziedziną natomiast zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f. Jeżeli zbiory X oraz Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, to mówimy o funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. W tym przypadku, jeżeli w kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty o współrzędnych (, f()) dla X, to otrzymamy krzywą będącą wykresem funkcji f. W dalszym ciągu zakładać będziemy, że rozważamy funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej. 6.. Dziedzina naturalna funkcji Dziedziną naturalną funkcji nazywamy największy zbiór, na którym wzór funkcji ma sens. Dziedzinę naturalną funkcji f często oznacza się jako D f. Przypomnijmy częściej spotykane przypadki ograniczeń dotyczących dziedziny naturalnej funkcji. 6.

2 Oznaczmy przez W pewne wyrażenie. Wtedy Postać funkcji Warunek Komentarz W Mianownik musi być różny od zera. y = W n y = W W Pierwiastek parzystego stopnia wymaga argumentu nieujemnego. y = loga W W > Logarytm wymaga argumentu dodatniego y = logw a W >, W Podstawa logarytmu musi być dodatnia i nie może być jedynką. y = arcsinw, y = arccosw W Argument tych funkcji jest z przedziału [; ] Przykłady a) Określić dziedzinę funkcji y =, 6 Rozwiązanie Zakładamy, że mianownik jest różny od zera 6 skąd. Dziedziną jest zatem zbiór = ( ; ) ( ; ) D. f b) Określić dziedzinę funkcji y = log Rozwiązanie Założenia są następujące: Wynikające z nich ograniczenia: ( ; ] [ ; ) > > Ponieważ muszą być spełnione wszystkie te warunki jednocześnie, zatem rozwiązaniem jest część wspólna poszczególnych rozwiązań. Dziedziną funkcji jest zatem D f = (; ] [; ). 6.

3 = arccos. Rozwiązanie Założenie jest następujące 7 czyli 7. 7 c) Określić dziedzinę funkcji y ( 7) Rozwiązaniem jest D f = [ ; ]. 6.. Własności funkcji Funkcja f jest ograniczona od dołu, jeśli istnieje taka liczba M, że f() > M dla wszystkich D f. Funkcja f jest ograniczona od góry, jeśli istnieje taka liczba M, że f() < M dla wszystkich D f. Funkcja f jest ograniczona jeśli jest jednocześnie ograniczona od dołu oraz od góry. Funkcja f jest parzysta, gdy dla wszystkich D f liczba D f oraz f() = f(). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY. Funkcja f jest nieparzysta, gdy dla wszystkich D f liczba D f oraz f() = f(). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Funkcja f jest okresowa, gdy istnieje taka liczba T zwana okresem funkcji, że dla wszystkich D f liczba T D f oraz f(t) = f(). Wykres funkcji okresowej można uzyskać mając jej wykres w dowolnym przedziale o długości T. Funkcja f jest rosnąca w zbiorze I D f, gdy dla dowolnych, I jeśli < to f( ) < f( ). Funkcja f jest malejąca w zbiorze I D f, gdy dla dowolnych, I jeśli < to f( ) > f( ). 6.

4 Funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze I D f, gdy dla dowolnych, I jeśli to f( ) f( ). Przykład Narysować wykresy funkcji a następnie omówić własności tych funkcji: a) y =, Dziedziną D f funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykresem funkcji jest parabola. Funkcja ta jest ograniczona od dołu, gdyż dla wszystkich R f() >. Nie jest to funkcja ograniczona od góry. Funkcja ta jest parzysta, gdyż f() = () = = f(). Nie jest to funkcja okresowa. Funkcja jest malejąca dla ( ; ] oraz rosnąca dla [; ). Funkcja f jest różnowartościowa dla ( ; ] oraz dla [; ). 6.

5 b) y = sin cos Dziedziną D f funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest ograniczona od dołu, gdyż dla wszystkich R f() >. Funkcja jest ograniczona od góry, gdyż dla wszystkich R f() <. Funkcja jest zatem ograniczona. Funkcja jest okresowa i jej okresem jest liczba π. Funkcja jest rosnąca w tych przedziałach, w których cos > sin. W tych też przedziałach jest różnowartościowa. Funkcja f jest malejąca w tych przedziałach, w których cos < sin. W tych też przedziałach jest różnowartościowa. 6.5

6 6.. Rysowanie wykresu funkcji z wykorzystaniem znanych wykresów Wykresy wielu funkcji można narysować wykorzystując przesunięcia i przekształcenia znanego wykresu. Załóżmy, że znamy wykres funkcji y = f(). Tabela przedstawia sposób postępowania w poszczególnych przypadkach Przepis funkcji y = f( a) y = f() b y = c f() y = f(d ) y = f() Sposób postępowania Przesuwamy wykres y = f() wzdłuż osi OX o a jednostek. Przesuwamy wykres y = f() wzdłuż osi OY o b jednostek. Mnożymy rzędne punktów wykresu y = f() przez c. Dziey odcięte punktów wykresu y = f() przez d. Punkty wykresu funkcji y = f() leżące poniżej osi OX odbijamy symetrycznie względem tej osi. Przykład Wykorzystując wykresy funkcji elementarnych narysować wykres funkcji y = Rozwiązanie =. Zaczynamy od wykresu funkcji y = (rys.). Następnie rysujemy wykres funkcji y = powstały przez podzielenie odciętych punktów wykresu przez (rys. ). Kolejny wykres to y = ( ), który otrzymamy przesuwając poprzedni wykres o jedną jednostkę w prawo (rys. ). Przekształćmy wzór funkcji następująco y ( ) y y y Rys. Rys. Rys

7 Wykres funkcji y ( ) = otrzymamy mnożąc rzędne punktów poprzedniego wykresu przez (rys. ). Ostatecznie wykres funkcji y = ( ) uzyskamy przesuwają poprzedni wykres o jednostki w dół (rys. 5) y y Rys. Rys Granica funkcji Sąsiedztwem punktu o promieniu r nazywamy zbiór S, r = r; r \. ( ) ( ) { } Punkt jest punktem skupienia zbioru X ε > X : S(,ε) Granicę właściwą funkcji w punkcie określamy następująco: Jeżeli jest punktem skupienia dziedziny funkcji f to f ( ) = g ( < < δ f ( ) g ε ) ε > δ > D < f 6.7

8 Własności granic [ f ( ) ± g( ) ] = f ( ) ± g( ) [ f ( ) g( ) ] = f ( ) g( ) f g ( ) ( ) = f g ( ) ( ), g ( ), g( ) Granicę niewłaściwą funkcji w punkcie określamy następująco. Jeżeli jest punktem skupienia dziedziny funkcji f to f ( ) = M δ > D < < δ f ( ) > M f ( ) Analogicznie określa się f ( ) =. Niech będzie punktem skupienia zbioru = ( ) X 6.8 X ;. Jeżeli funkcja f rozważana w X ma granicę w punkcie, to tę granicę nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie. Analogicznie określa się granicę prawostronną. Granicę właściwą funkcji w nieskończoności określamy następująco. Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale ( a ; ) to f ( ) = g Analogicznie określa się ( > δ f ( ) g ε ) ε > δ D < f f ( ) = g oraz granice niewłaściwe.

9 Obliczając granice często wykorzystuje się następujące przypadki: a (i) =, gdzie a jest dowolną liczbą, ± (ii) = =, (iii) = =, sin (iv) =, gdy a > (v) a, =,, gdy a ( ; ) (vi) ± a a = e, a R. Przykłady obliczania granic: a) ( ) Licząc granicę zwykle najpierw oblicza się wartość funkcji, jeżeli jest to możliwe, dla argumentu, do którego zmierzamy. Zatem = =. ( ) 6 sin b) Tutaj wykorzystamy przypadek (iv). sin sin sin = =, gdyż =. 6.9

10 c) 5 Ta granica wymaga zastosowania przypadku (vi). Przekształcając kolejno otrzymujemy: 5( ) 5( ) = = = = e d) 6 Jeżeli liczymy granicę typu ± W = N k n ( ) ( ), gdzie W k oraz N n to wielomiany stopnia odpowiednio k oraz n, to licznik i mianownik należy podzielić przez n, gdzie n jest stopniem mianownika. Następnie korzysta się z przypadku (i). Zatem 6 = 6 = = e) W tym przypadku postępujemy podobnie jak w d) = = =. 6.

11 f) W tym przypadku również postępujemy podobnie jak w d) = = =, g) 9. Jeżeli przyjmiemy = to otrzymamy wyrażenie 5. W teorii granic można podać wartość tego wyrażenia, jeśli określi się w jaki sposób zmierza do zera mianownik. Dla < wartość mianownika jest dodatnia, zatem wykorzystując przypadek (ii) otrzymujemy: 5 = = 5 = 5 9 = Asymptoty funkcji Prosta = c jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeśli granica lewostronna tej funkcji w punkcie c jest niewłaściwa tzn. f = lub f ( ) =. c ( ) c Prosta = c jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeśli granica prawostronna tej funkcji w punkcie c jest niewłaściwa tzn. f = lub f ( ) =. c ( ) c Prosta = c jest asymptotą pionową funkcji f, jeśli jest jednocześnie asymptotą pionową lewo- i prawostronną. 6.

12 Asymptot pionowych poszukuje się w skończonych, nie należących do dziedziny krańcach przedziałów określoności funkcji. Prosta y = a b jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f, jeśli Wtedy a [ f ( ) ( a b) ] =. f ( ) =, b = [ f ( ) a]. Prosta y = a b jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f, jeśli Wtedy a [ f ( ) ( a b) ] =. f ( ) =, b = [ f ( ) a]. Prosta y = a b jest asymptotą ukośną obustronną funkcji f, jeśli jest jednocześnie asymptotą ukośną lewo- i prawostronną. Jeżeli któraś z tych granic nie istnieje lub jest niewłaściwa to funkcja nie ma asymptoty ukośnej prawostronnej. Z określenia asymptoty ukośnej prawostronnej (lewostronnej) widać, że jeżeli argument funkcji f jest co do modułu dostatecznie duży to wartości funkcji f niewiele się różnią od wartości funkcji y = a b. Jeżeli współczynnik kierunkowy a = otrzymujemy y = b. Jest to szczególny przypadek asymptoty ukośnej asymptota pozioma. 6.

13 Przykład Wyznaczyć asymptoty funkcji y =. Rozwiązanie Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Ponieważ mianownik nie może się zerować = ; ;. Istnieje przypuszczenie, że funkcja posiada D f zatem ( ) ( ) asymptotę pionową o równaniu =. Obliczamy granice = =, podobnie = =. Ponieważ obie granice są niewłaściwe funkcja ma asymptotę pionową o równaniu =. Aby sprawdzić istnienie asymptoty ukośnej prawostronnej obliczamy: f ( ) a = = = = oraz b = f ( ) a = = = Zatem funkcja posiada asymptotę ukośną prawostronną o równaniu [ ] = y =. Z łatwością można sprawdzić, że ta sama prosta jest asymptotą ukośną lewostronną. 6.

14 6.6. Funkcja złożona Niech f: X Y oraz g: Y Z. Złożeniem funkcji nazywamy funkcję (g f)() = g(f()). Przykład Wyznaczyć złożenia funkcji (f g) oraz (g f) : a) f() =, g() =, b) f ( ) =, g() = sin. Rozwiązanie a) f o g = ( )( ) f g( ) ( ) = f ( ) = ( ) = ( g o f )( ) = g( f ( ) ) = g( ) = ( ) = 7,. b) f ( g)( ) = f ( g( ) ) = f ( sin ) = sin o, ( g o f )( ) = g f ( ) ( ) = g( ) = sin Funkcja odwrotna Niech f: X Y będzie funkcją różnowartościową i niech każdy element zbioru Y będzie obrazem pewnego elementu ze zbioru X. Wówczas można określić funkcję f : Y X taką, że f (y) =. Funkcję f nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f. W praktyce, aby wyznaczyć funkcję odwrotną należy z równania y = f() wyznaczyć oraz zamienić na y i odwrotnie y na. 6.

15 Przykład Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej a) y =, b) y = 5. Rozwiązanie a) Ze związku y = wyznaczamy y = zatem f ( ) = b) Ze związku y = 5 5 y wyznaczamy = log zatem log5 f ( ) =. Zadania: 6.. Określić dziedzinę funkcji 7 a) y =, b) y =, c) y =, 5 6 d) y = 5 6, e) y = 5 6, f) y =, sin g) y = log( 5), h) y = log( 5 ), i) y = cos, 5, j) y = arccos, k) y =, Narysować wykresy funkcji elementarnych a następnie omówić własności tych funkcji (dziedzina, monotoniczność, miejsca zerowe, okresowość,...) a) y =, b) y =, c) y =, d) y = 5, e) y =, f) y = 9, g) y =, h) y =, i) y =, j) y =, k) y = sin, l) y = cos, 6.5

16 m) y = tg, n) y = ctg, o) y = arcsin, p) y = arccos, q) y = arctg, r) y = arcctg, s) y =, t) y =, u) y = e, v) y = log, w) y = log z) y = ln. 6.. Wykorzystując wykresy funkcji elementarnych narysować wykres funkcji a) y =, b) y =, c) y = ( ), d) y =, e) y = ln ( ),f) 6.. Obliczyć granice a) ( ), b) ( ) d) 5, e) 5 5, c), 9, f) Obliczyć granice sin a), 5 b) cos d), e) sin, sin7 c) sin, π π f) tg, 6 sin( ) Obliczyć granice a), b), c) Obliczyć granice a), b) 5 5 d), e) 6, 6 c) 5 6, f) 5 6,, 6.6

17 g), h), i) ( 5) Obliczyć granice jednostronne a), b), c) d), e), f) e,. e 6.9. Wyznaczyć asymptoty funkcji: a) y =, b) y =, c) y =, d) y =, e) y =, f) y = arctg Wyznaczyć złożenia funkcji (f g) oraz (g f) : a) f() =, g() = 5, b) f() =, g() = sin, c) f ( ) =, g() = e, d) f ( ) =, g() = ln, 6.. Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej oraz narysować wykresy obu tych funkcji a) y = 5, b) y = 5, c) y = ( ), d) y =, e) y =, f) y = 7, j) y = e 5, k) y = log ( ), l) y = ln( ). 6.7