Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Transkrypt

1 Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce

2 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami x 0 i x 1.

3 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 (a; b). Jeżeli istnieje granica to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0, oznaczamy f (x 0 ). Mówimy wtedy, że f jest różniczkowalna w punkcie x 0.

4 Iloraz różnicowy tgα = f x

5 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 (a; b). Jeżeli istnieje granica to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0, oznaczamy f (x 0 ). Mówimy wtedy, że f jest różniczkowalna w punkcie x 0. Czyli

6 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Inaczej mówiąc pochodna funkcji f jest granicą ilorazu różnicowego Δf/Δx gdy Δx 0. Mamy wtedy f x 0 = lim x 0 f x 0 + x f(x 0 ) X

7 styczna Istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 ; f (x 0 )) wtedy i tylko wtedy, gdy f ma pochodną w x 0. Gdy tak jest, to równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 ; f (x 0 )) jest następujące:

8 pochodna f (x 0 )=tgα

9 Pochodna i druga pochodna funkcji Jeżeli f ma pochodną w każdym punkcie dziedziny, to funkcję nazywamy pochodną funkcji f i oznaczamy f. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna (tzn. różniczkowalna w każdym punkcie), to jej pochodną oznaczamy f i nazywamy drugą pochodną funkcji f. Itd.

10 Warunek konieczny różniczkowalności Jeżeli funkcja f posiada pochodną w punkcie x 0 to jest w tym punkcie ciągła. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to jest ciągła. Nie musimy koniecznie liczyć granicy ilorazu różnicowego funkcji w punkcie by obliczyć pochodne.

11 Pochodne, wzory

12 Pochodne, wzory Kilka szczególnych przypadków wzorów z poprzedniego slajdu, które warto zapamiętać:

13 Pochodne, wzory, działania na pochodnych Jeżeli funkcje f i g mają pochodne, to również f±g, fg, f/g (jeżeli g (x) 0) mają pochodne i zachodzą wzory: Uwaga:

14 Pochodne, twierdzenia Twierdzenie Rolle a Jeżeli f jest ciągła w przedziale [a; b] i różniczkowalna w przedziale (a; b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt ξ (a; b), że f (ξ) = 0. Twierdzenie Lagrange a Jeżeli f jest ciągła w przedziale [a; b] i różniczkowalna w przedziale (a; b), to istnieje taki punkt ξ (a; b), że

15 Twierdzenie Rolle a

16 Twierdzenie Legrange a

17 Zastosowanie pochodnej do określenia monotoniczności funkcji Załóżmy, ze f jest różniczkowalna w przedziale (a, b). Wówczas: f >0 w przedziale (a, b) to f jest silnie rosnąca w tym przedziale f 0 w przedziale (a, b) to f jest niemalejąca w tym przedziale f <0 w przedziale (a, b) to f jest silnie malejąca w tym przedziale f 0 w przedziale (a, b) to f jest nierosnąca w tym przedziale

18 Zastosowanie drugiej pochodnej do określenia wypukłości funkcji Załóżmy, ze f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a; b). Jeżeli: f >0 w przedziale (a, b) to f jest wypukła w tym przedziale f <0 w przedziale (a, b) to f jest wklęsła w tym przedziale

19 Ekstremum funkcji, punkty przegięcia Jeżeli: f(x)<f(x 0 ) dla x z pewnego sąsiedztwa punktu x 0, to mówimy, że f ma maksimum lokalne w punkcie x 0 f(x)>f(x 0 ) dla x z pewnego sąsiedztwa punktu x 0, to mówimy, że f ma minimum lokalne w punkcie x 0 Jeżeli: jest wypukła w lewostronnym sąsiedztwie punktu x 0 a wklęsła w prawostronnym sąsiedztwie punktu x 0, lub jest wklęsła w lewostronnym sąsiedztwie punktu x 0 a wypukła w prawostronnym sąsiedztwie punktu x 0, to mówimy, że f ma w x 0 punkt przegięcia.

20 Ekstremum funkcji, punkty przegięcia

21 Ekstremum funkcji Jeżeli f jest różniczkowalna w x 0 oraz ma w x 0 ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. (jest to warunek konieczny). Jeżeli f (x) > 0 dla x z pewnego lewostronnego sąsiedztwa punktu x 0 oraz f (x) < 0 dla x z pewnego prawostronnego sąsiedztwa punktu x 0, to f ma w x 0 maksimum lokalne, f (x) < 0 dla x z pewnego lewostronnego sąsiedztwa punktu x 0 oraz f (x) > 0 dla x z pewnego prawostronnego sąsiedztwa punktu x 0, to f ma w x 0 minimum lokalne. (jest to warunek wystarczający)

22 Ekstremum funkcji Jeżeli f jest dwukrotnie różniczkowalna (i druga pochodna jest ciągła) w pewnym otoczeniu punktu x 0 oraz: f (x 0 )=0 i f (x 0 )>0 to f ma w x 0 minimum lokalne, f (x 0 )=0 i f (x 0 )<0 to f ma w x 0 maksimum lokalne,

23 Punkt przegięcia funkcji Jeżeli f jest dwukrotnie różniczkowalna w x 0 oraz ma w x 0 punkt przegięcia, to f (x 0 ) = 0. (warunek konieczny) Jeżeli: f (x) > 0 dla x z pewnego lewostronnego sąsiedztwa punktu x 0 oraz f (x) < 0 dla x z pewnego prawostronnego sąsiedztwa punktu x 0, lub f (x) < 0 dla x z pewnego lewostronnego sąsiedztwa punktu x 0 oraz f (x) > 0 dla x z pewnego prawostronnego sąsiedztwa punktu x 0, to f ma w x 0 punkt przegięcia (warunek wystarczający)