Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
|
|
|
- Weronika Kosińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
2 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0 i piszemy lim f(x) = g lub f(x) x x 0 g x x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy n xn x 0 lim f(x n ) = g x n x 0 dla każdego ciągu (x n) zbieżnego do punktu x 0 odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(x n)) jest zbieżny do liczby g XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 2 / 21
3 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Cauchyego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0 i piszemy lim f(x) = g lub f(x) x x 0 g wtedy i tylko wtedy, gdy x x 0 ε>0 δ > 0 x x0 x x 0 < δ f(x) g < ε dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla wszystkich x x 0 spełniających nierówność x x 0 < δ zachodzi nierówność f(x) g < ε XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 3 / 21
4 Granica funkcji Definicje Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą (lub ) lim f(x) = (lub ), f(x) x x 0 (lub ) x x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wg Heinego xn n x 0 lim f(x n ) = ( ) x n x 0 dla każdego ciągu (x n) zbieżnego do x 0, ciąg (f(x n)) jest rozbieżny do ( ) wg Cauchy ego M>0 δ>0 x x0 x x 0 < δ f(x) > M (lub f(x) < M) dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla wszystkich x x 0 spełniających nierówność x x 0 < δ zachodzi nierówność f(x) > M (lub f(x) < M) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 4 / 21
5 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
6 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
7 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 ( ) f(x) lim = lim x x 0 f(x), o ile lim g(x) 0 x x 0 g(x) lim x x0 g(x) x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
8 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 ( ) f(x) lim = lim x x 0 f(x), o ile lim g(x) 0 x x 0 g(x) lim x x0 g(x) x x 0 ( lim (f(x)) g(x) = x x 0 lim f(x) x x 0 ) limx x0 g(x) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
9 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic Działania arytmetyczne na granicach funkcji Jeżeli f(x) i g(x) mają granice właściwe w punkcie x 0, to lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim [c f(x)] = c lim f(x), gdzie c R x x 0 x x 0 ( ) ( ) lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 ( ) f(x) lim = lim x x 0 f(x), o ile lim g(x) 0 x x 0 g(x) lim x x0 g(x) x x 0 ( lim (f(x)) g(x) = x x 0 lim f(x) x x 0 ) limx x0 g(x) Jeżeli lim x x 0 f(x) = y 0 i lim y y 0 h(y) = q to lim x x 0 h(f(x)) = q XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 5 / 21
10 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic - tak praktycznie 1 Skorzystaj z def. Heinego, czyli najpierw podstaw x = x 0 z nadzieją, że wyjdzie liczba (lub ± ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 6 / 21
11 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic - tak praktycznie 1 Skorzystaj z def. Heinego, czyli najpierw podstaw x = x 0 z nadzieją, że wyjdzie liczba (lub ± ) 2 A co jeżeli wyjdzie symbol nieoznaczony? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 6 / 21
12 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic - tak praktycznie 1 Skorzystaj z def. Heinego, czyli najpierw podstaw x = x 0 z nadzieją, że wyjdzie liczba (lub ± ) 2 A co jeżeli wyjdzie symbol nieoznaczony? uprość wyrażenie wykorzystaj jedną ze znanych granic sin x lim = 1, lim x 0 x (1 + x) 1 a x 1 x = e, lim = ln a x 0 x 0 x użyj twierdzenia o trzech funkcjach XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 6 / 21
13 Granica funkcji Obliczanie granic Twierdzenie o dwóch policjantach i pijaku Jeżeli funkcje f, g i h są takie, że f(x) g(x) h(x) dla x w sąsiedztwie x 0 oraz lim f(x) = lim h(x) = g x x 0 x x 0 to lim g(x) = g x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 7 / 21
14 Granica funkcji Obliczanie granic Twierdzenie o dwóch policjantach i pijaku Jeżeli funkcje f, g i h są takie, że f(x) g(x) h(x) dla x w sąsiedztwie x 0 oraz lim f(x) = lim h(x) = g x x 0 x x 0 to lim g(x) = g x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 7 / 21
15 Granica funkcji Obliczanie granic Granice w nieskończoności Definicje w skrócie (reszta słów jest w książkach) granica właściwa dla każdego ciągu x n (x n ), f(x n ) L ( ) lim f(x) = L x lim f(x) = L x Prostą y = L nazywamy asymptotą poziomą prawostronną (lewostronną). XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 8 / 21
16 Granica funkcji Obliczanie granic Granice w nieskończoności Definicje w skrócie (reszta słów jest w książkach) granica niewłaściwa dla każdego ciągu x n (x n ), f(x n ) ± ( ) lim f(x) = ± x lim f(x) = ± x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 9 / 21
17 Granica funkcji Obliczanie granic Asymptoty ukośne, y = ax + b asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna a = f(x) lim x ± x, b = lim [f(x) ax] x ± XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 10 / 21
18 Granica funkcji Obliczanie granic Obliczanie granic w nieskończoności Postępujemy tak jak przy obliczaniu granic ciągów Redukujemy (dzielimy przez) największe wyrazy licznika i mianownika Korzystamy z tw. o trzech i dwóch ciągach Korzystamy ze znanych granic ( 1 + x) 1 x = e lim x Twierdzenie: Iloczyn funkcji zbieżnej do zera i funkcji ograniczonej jest funkcją zbieżną do zera. Uwaga na granice w XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 11 / 21
19 Granice jednostronne funkcji Granice jednostronne funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 12 / 21
20 Granice jednostronne funkcji Definicje granicy Granice jednostronne XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 13 / 21
21 Granice jednostronne funkcji Definicje granicy Granice jednostronne Definicje wg Heinego w skrócie granica lewostronna w pkcie x 0 dla każdego ciągu x n x 0 ciąg f(x n ) g ( lub ) lim f(x) = g ( lub ) x x 0 granica prawostronna w pkcie x 0 dla każdego ciągu x n x + 0 ciąg f(x n) g ( lub ) lim f(x) = g ( lub ) x x + 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 13 / 21
22 Granice jednostronne funkcji Przykłady Związek pomiędzy granicami Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy lim f(x) = g lim f(x) = g i lim f(x) = g x x 0 x x + 0 x x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 14 / 21
23 Granice jednostronne funkcji Przykłady Związek pomiędzy granicami Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy Przykład lim f(x) = g lim f(x) = g i lim f(x) = g x x 0 x x + 0 x x 0 lim f(x) = x 1 + lim f(x) = x 1 lim f(x) = x 1 f(1) = lim f(x) = x 3 + lim f(x) = x 3 lim f(x) = x 3 f(3) = XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 14 / 21
24 Granice jednostronne funkcji Przykłady Czy granica jednostronna zawsze istnieje? lim cos 1 x 0 + x =? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 15 / 21
25 Granice jednostronne funkcji Przykłady Czy granica jednostronna zawsze istnieje? lim cos 1 x 0 + x =? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 15 / 21
26 Granice jednostronne funkcji Asymptota pionowa Jeżeli granica jednostronna jest niewłaściwa... Asymptoty pionowe, x = x 0 asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x 0 asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x + 0 aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 16 / 21
27 Ciągłość funkcji Ciągłość funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 17 / 21
28 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Ciągłość funkcji w punkcie Definicja Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu x 0. Funkcja jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Inaczej mówimy, że funkcja jest nieciągła w punkcie x 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 18 / 21
29 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Ciągłość funkcji w punkcie Definicja Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu x 0. Funkcja jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Inaczej mówimy, że funkcja jest nieciągła w punkcie x 0. Jeżeli funkcja jest określona tylko w lewostronnym (lub prawostronnym) otoczeniu punktu x 0, wówczas mówimy o ciągłości lewo i prawostronnej. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 18 / 21
30 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
31 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
32 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : f(2) = 3 lim x 2 f(x) = 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
33 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : f(2) = 3 lim x 2 f(x) = 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
34 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
35 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
36 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
37 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 Rodzaje punktów nieciągłości XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
38 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 Rodzaje punktów nieciągłości x = 2, x = 3 : pierwszego rodzaju, XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
39 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Punkty nieciągłości x = 2 : x = 3 : x = 5 : f(2) = 3 lim f(x) = 1 x 2 lim f(x) = 2 lim f(x) = 1 x 3 x 3 + lim f(x) = x 5 Rodzaje punktów nieciągłości x = 2, x = 3 : pierwszego rodzaju, x = 5 : drugiego rodzaju XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 19 / 21
40 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Jeżeli f i g są ciągłe w punkcie x 0, to następujące funkcje są ciągłe w x 0. f ± g c f f g f g, o ile g(x 0) 0 f n/m, f(x 0 ) 0 dla m parzyst. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 20 / 21
41 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w punkcie Jeżeli f i g są ciągłe w punkcie x 0, to następujące funkcje są ciągłe w x 0. f ± g c f f g f g, o ile g(x 0) 0 f n/m, f(x 0 ) 0 dla m parzyst. Jeżeli g is jest ciągła w x 0 i f jest ciągła w g(x 0 ), to funkcja złożona (f g)(x) = f(g(x)) jest ciągła w x 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 20 / 21
42 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21
43 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest ciągła w dziedzinie jeżeli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21
44 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest ciągła w dziedzinie jeżeli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Funkcje ciągłe w swoich dziedzinach wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, pierwiastkowe, trygonometryczne, cyklometryczne, wykładnicze, logarytmiczne XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21
45 Ciągłość funkcji Funkcja ciągła w przedziale Definicja Funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest ciągła w dziedzinie jeżeli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Funkcje ciągłe w swoich dziedzinach wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, pierwiastkowe, trygonometryczne, cyklometryczne, wykładnicze, logarytmiczne Ciągłość funkcji odwrotnej Jeżeli f jest ciągła i rosnąca (lub malejąca) w przedziale A R to funkcja odwrotna f 1 (A) jest ciągła i rosnąca (lub malejąca) w przedziale f(a). XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 21 / 21
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Ciągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji
27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5
Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym
Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Podstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Granice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
Granica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Granica funkcji wykład 5
Granica funkcji wykład 5 dr Mariusz Grządziel 4 listopada 200 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g
Granica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel rok akademicki 03/04, semestr zimowy Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t:
Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Wykłady z matematyki - Granica funkcji
Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Pochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Analiza matematyczna - 1. Granice
Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład
11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...
Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II
Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać
CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia
SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów
DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Rachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry
Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną
Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze
WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Na dzisiejszym wykładzie (oraz trzech
granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry
Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część druga Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Granica funkcji Funkcja f: R A R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)