Pochodna funkcji. Zastosowania

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pochodna funkcji. Zastosowania"

Transkrypt

1 Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33

2 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie do obliczania granic 3 Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne 4 Pochodna jako narzędzie do badania funkcji Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 2 / 33

3 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

4 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 f (x 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej w punkcie (x 0, f(x 0 )). Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

5 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 f (x 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej w punkcie (x 0, f(x 0 )). Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

6 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

7 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

8 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

9 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) gdy zbliżamy się do punktu (x 0, f(x 0 )), wykres f(x) przybliża się do wykresu stycznej L(x) w tym punkcie Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

10 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) gdy zbliżamy się do punktu (x 0, f(x 0 )), wykres f(x) przybliża się do wykresu stycznej L(x) w tym punkcie Wartość funkcji f w pobliżu x 0 przybliżamy używając L f(x) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

11 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

12 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

13 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

14 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

15 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) przyrost L dy = L(x) L(x 0 ) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

16 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) przyrost L dy = L(x) L(x 0 ) różniczka funkcji dy = f (x 0 )dx L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

17 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Jak używamy różniczki funkcji? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 6 / 33

18 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Jak używamy różniczki funkcji? Przybliżanie wartości przy pomocy różniczki Przybliżona wartość funkcji f w punkcie x jest dana wzorem f(x) f(x 0 ) + dy, gdzie dy = f (x 0 )dx Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 6 / 33

19 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

20 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Czy możemy znaleźć lepsze przybliżenie f(x)? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

21 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Czy możemy znaleźć lepsze przybliżenie f(x)? Wielomian Taylora Niech funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną właściwą rzędu n. Wielomian P n (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

22 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Wielomian Taylora Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 8 / 33

23 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

24 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

25 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, a R n jest n tą resztą R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

26 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, a R n jest n tą resztą R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Dla x 0 = 0 wielomian P n (x) nazywamy wielomianem McLaurina. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

27 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

28 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

29 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) o ile granica (właściwa lub niewłaściwa) po prawej stronie równości istnieje. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

30 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) o ile granica (właściwa lub niewłaściwa) po prawej stronie równości istnieje. Twierdzenie jest również prawdziwe dla x x + 0, x x 0 i x ±. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

31 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

32 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

33 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 lub g(x) 1 f(x) [ ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

34 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 lub g(x) 1 f(x) [ ] f(x) g(x) [ ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

35 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

36 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] f(x) g(x) [ 0 0, 0, 1 ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

37 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 f(x) g(x) [ 0 0, 0, 1 ] stosujemy f g = e g ln f [ e 0 ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

38 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

39 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

40 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Upewnij się, że granica iloczynu pochodnych istnieje (właściwa lub niewłaściwa) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

41 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Upewnij się, że granica iloczynu pochodnych istnieje (właściwa lub niewłaściwa) Wielokrotne używanie reguły czasem prowadzi do niekończącego się cyklu użyj innych metod Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

42 Optymalizacja. Maksima i minima Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne Jak zmaksymalizować/zminimalizować: zyski i koszty ilość materiału użytego do produkcji... czegokolwiek prędkość promu kosmicznego... = problemy optymalizacyjne Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 13 / 33

43 Optymalizacja. Maksima i minima Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne Jak zmaksymalizować/zminimalizować: zyski i koszty ilość materiału użytego do produkcji... czegokolwiek prędkość promu kosmicznego... = problemy optymalizacyjne W języku matematyki: gdzie dana funkcja osiąga maksymalną/minimalną wartość? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 13 / 33

44 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

45 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

46 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

47 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

48 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? f(x) = x 4, f(x) = sin x, f(x) = arc tg x, f(x) = { x 3, 0 x x + 1, 1 < x 2 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

49 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? f(x) = x 4, f(x) = sin x, f(x) = arc tg x, f(x) = { x 3, 0 x x + 1, 1 < x 2 Twierdzenie (Weierstrassa) Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym [a, b] to osiąga na tym przedziale ekstrema absolutne. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

50 Optymalizacja. Maksima i minima Ekstrema lokalne Funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeżeli r > 0 takie, że x S(x 0, r) f(x) f(x 0 ) minimum lokalne, jeżeli r > 0 takie, że x S(x 0, r) f(x) f(x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 16 / 33

51 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

52 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f osiąga ekstermum w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 albo f (x 0 ) nie istnieje. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

53 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f osiąga ekstermum w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 albo f (x 0 ) nie istnieje. Jeżeli f (x 0 ) = 0, to punkt x 0 nazywa się punktem stacjonarnym funkcji f. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

54 Optymalizacja. Maksima i minima Twierdzenie odwrotne (jak to zwykle bywa) nie jest prawdziwe. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie gwarantuje ekstremum. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 18 / 33

55 Optymalizacja. Maksima i minima Twierdzenie odwrotne (jak to zwykle bywa) nie jest prawdziwe. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie gwarantuje ekstremum. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 18 / 33

56 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

57 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

58 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Przedziały monotoniczności Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x I to funkcja f jest rosnąca na I. Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x I to funkcja f jest malejąca na I. Jeżeli f (x) = 0 dla każdego x I to funkcja f jest stała na I. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

59 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

60 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Funkcja f musi zmieniać monotonicznośc w punkcie x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

61 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Funkcja f musi zmieniać monotonicznośc w punkcie x 0. Jeżeli f zmienia znak z + na lub z na + to mamy lokalne max lub min. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

62 Optymalizacja. Maksima i minima Warunek wystarczający istnienia ekstremum na podstawie f Niech f będzie 1 ciągła w otoczeniu punktu x 0 2 różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie x 0. Jeżeli f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje, a ponadto dla rosnących x w sąsiedztwie x 0, f zmienia znak z + na = f ma w x 0 maksimum lokalne z na + = f ma w x 0 minimum lokalne Jeżeli f nie zmienia znaku to f nie ma ekstremum lokalnego w x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 21 / 33

63 Optymalizacja. Maksima i minima Warunek wystarczający istnienia ekstremum na podstawie f Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x 0 drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie x 0, a ponadto f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) 0 to funkcja ma w punkcie x 0 maksimum lokalne gdy f (x 0 ) < 0 minimum lokalne gdy f (x 0 ) > 0 Notka Powyższe twierdzenie w ogólnej postaci mówi o parzystej n tej pochodnej i jej znaku. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 22 / 33

64 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

65 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

66 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. 2 Oblicz wartości f w tych punktach i na krańcach przedziału [a, b]. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

67 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. 2 Oblicz wartości f w tych punktach i na krańcach przedziału [a, b]. 3 Wybierz nawiększą i najmniejszą z wyliczonych wartości. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

68 Optymalizacja. Maksima i minima Problem Rolnika Rolnik ma 400 m ogrodzenia do zbudowania prostokątnej zagrody. Jedną stronę zagrody będzie stanowiła stodoła, więc nie wymaga ogrodzenia. Trzy zewnętrzne ogrodzenia i dwie wewnętrzne przegrody dzielą zagrodę na trzy prostokątne obszary. Jakie wymiary (zewnętrzne) zagrody zmaksymalizują wykorzystane miejsce? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 24 / 33

69 Optymalizacja. Maksima i minima Idealny ogródek Prostokątny ogródek o powierzchni 50 m 2 jest ogrodzony pasem trawy szerokości 1 m po dwóch stronach i 2 m po dwóch stronach. Jakie wymiary ogródka zminimalizują całą powierzchnię trawy i ogródka? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 25 / 33

70 Optymalizacja. Maksima i minima Kapitalizm Skrzynia o podstawie kwadratu ma miec 16 m 3 objetosci. Material uzyty do wykonania podstawy kosztuje dwa razy tyle co material uzyty na wykonanie bokow, a material na pokrywe kosztuje polowe tego co material na boki. Jakie wymiary powinna miec skrzynia aby zminimalizowac koszt produkcji? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 26 / 33

71 Optymalizacja. Maksima i minima Człowiek głodny, a czasu niewiele... Łódka na morzu znajduje sie 4 km od najblizszego punktu na prostym wybrzezu; ten punkt jest oddalony o 6 km od restauracji na wybrzezu. Student w lodce planuje plynac do brzegu w linii prostej, a potem isc wzdluz brzegu do restauracji. Jezeli student idzie z predkoscia 3 km/h a plynie z predkosica 2 km/h, w ktorym punkcie powinien dobic do brzegu aby zminimalizowac calkowity czas podrozy? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 27 / 33

72 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

73 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Niech f będzie różniczkowalna w przedziale(a, b). Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła w dół (wypukła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona pod krzywą y = f(x) wypukła w górę (wklęsła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona nad krzywą y = f(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

74 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Niech f będzie różniczkowalna w przedziale(a, b). Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła w dół (wypukła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona pod krzywą y = f(x) wypukła w górę (wklęsła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona nad krzywą y = f(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

75 Druga pochodna a wykres funkcji Warunki wklęsłości/wypukłości Jeżeli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to krzywa y = f(x) jest wklęsła na (a, b) f (x) > 0, to krzywa y = f(x) jest wypukła na (a, b) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 29 / 33

76 Druga pochodna a wykres funkcji Punkt przegięcia Jeżeli w punkcie (x 0, f(x 0 )) istnieje styczna do krzywej y = f(x) i funkcja zmienia się z wklęsłej na wypukłą (lub odwrotnie) wokół tego punktu, to (x 0, f(x 0 )) nazywamy punktem przegięcia krzywej. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 30 / 33

77 Asymptoty wykresu funkcji A skoro mowa o wykresach funkcji... Asymptoty pionowe, x = x 0 asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x 0 asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x + 0 aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 31 / 33

78 Asymptoty wykresu funkcji Asymptoty ukośne, y = ax + b asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna a = f(x) lim x ± x, b = lim [f(x) ax] x ± Jeżeli a = 0 to mamy asymptotę poziomą y = b. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 32 / 33

79 Badanie przebiegu zmienności funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji Analiza funkcji: dziedzina punkty przecięcia wykresu z osiami układu parzystość, nieparzystość, okresowość granice w nieskończoności lub na krańcach przedziału asymptoty pionowe i ukośne Analiza pierwszej pochodnej: pochodna i jej dziedzina znak pochodnej monotoniczność funkcji ekstrema funkcji Analiza drugiej pochodnej: pochodna i jej dziedzina znak pochodnej wklęsłość/wypukłość funkcji punkty przegięcia (Tabelka zmienności funkcji) Wykres funkcji Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 33 / 33

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34 Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

Pochodna i jej zastosowania

Pochodna i jej zastosowania Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x . Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π

Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie 1. Styczne do krzywej: (a) y = sin x x 0 = π/6 (b) y = x 3 2x 2 + x 1 x 0 = 1 Tą styczną to już gdzieś objaśniałem. Jest to prosta o równaniu

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu

Bardziej szczegółowo

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z 1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22 Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji

Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y

Bardziej szczegółowo

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MME-1-106-s Punkty ECTS: 11 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Metalurgia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na

Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na ograniczenie czasowe chciałam już dziś dać pewne wskazówki i porady,

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

WYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO KOGNITYWISTYKA UAM, 016 017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Dzisiejszy wykład

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo