Pochodna funkcji. Zastosowania

Transkrypt

1 Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33

2 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie do obliczania granic 3 Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne 4 Pochodna jako narzędzie do badania funkcji Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 2 / 33

3 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

4 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 f (x 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej w punkcie (x 0, f(x 0 )). Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

5 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 f (x 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej w punkcie (x 0, f(x 0 )). Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

6 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

7 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

8 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

9 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) gdy zbliżamy się do punktu (x 0, f(x 0 )), wykres f(x) przybliża się do wykresu stycznej L(x) w tym punkcie Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

10 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) gdy zbliżamy się do punktu (x 0, f(x 0 )), wykres f(x) przybliża się do wykresu stycznej L(x) w tym punkcie Wartość funkcji f w pobliżu x 0 przybliżamy używając L f(x) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

11 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

12 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

13 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

14 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

15 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) przyrost L dy = L(x) L(x 0 ) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

16 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) przyrost L dy = L(x) L(x 0 ) różniczka funkcji dy = f (x 0 )dx L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

17 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Jak używamy różniczki funkcji? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 6 / 33

18 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Jak używamy różniczki funkcji? Przybliżanie wartości przy pomocy różniczki Przybliżona wartość funkcji f w punkcie x jest dana wzorem f(x) f(x 0 ) + dy, gdzie dy = f (x 0 )dx Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 6 / 33

19 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

20 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Czy możemy znaleźć lepsze przybliżenie f(x)? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

21 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Czy możemy znaleźć lepsze przybliżenie f(x)? Wielomian Taylora Niech funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną właściwą rzędu n. Wielomian P n (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

22 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Wielomian Taylora Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 8 / 33

23 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

24 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

25 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, a R n jest n tą resztą R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

26 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, a R n jest n tą resztą R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Dla x 0 = 0 wielomian P n (x) nazywamy wielomianem McLaurina. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

27 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

28 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

29 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) o ile granica (właściwa lub niewłaściwa) po prawej stronie równości istnieje. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

30 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) o ile granica (właściwa lub niewłaściwa) po prawej stronie równości istnieje. Twierdzenie jest również prawdziwe dla x x + 0, x x 0 i x ±. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

31 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

32 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

33 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 lub g(x) 1 f(x) [ ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

34 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 lub g(x) 1 f(x) [ ] f(x) g(x) [ ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

35 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

36 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] f(x) g(x) [ 0 0, 0, 1 ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

37 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 f(x) g(x) [ 0 0, 0, 1 ] stosujemy f g = e g ln f [ e 0 ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

38 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

39 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

40 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Upewnij się, że granica iloczynu pochodnych istnieje (właściwa lub niewłaściwa) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

41 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Upewnij się, że granica iloczynu pochodnych istnieje (właściwa lub niewłaściwa) Wielokrotne używanie reguły czasem prowadzi do niekończącego się cyklu użyj innych metod Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

42 Optymalizacja. Maksima i minima Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne Jak zmaksymalizować/zminimalizować: zyski i koszty ilość materiału użytego do produkcji... czegokolwiek prędkość promu kosmicznego... = problemy optymalizacyjne Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 13 / 33

43 Optymalizacja. Maksima i minima Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne Jak zmaksymalizować/zminimalizować: zyski i koszty ilość materiału użytego do produkcji... czegokolwiek prędkość promu kosmicznego... = problemy optymalizacyjne W języku matematyki: gdzie dana funkcja osiąga maksymalną/minimalną wartość? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 13 / 33

44 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

45 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

46 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

47 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

48 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? f(x) = x 4, f(x) = sin x, f(x) = arc tg x, f(x) = { x 3, 0 x x + 1, 1 < x 2 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

49 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? f(x) = x 4, f(x) = sin x, f(x) = arc tg x, f(x) = { x 3, 0 x x + 1, 1 < x 2 Twierdzenie (Weierstrassa) Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym [a, b] to osiąga na tym przedziale ekstrema absolutne. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

50 Optymalizacja. Maksima i minima Ekstrema lokalne Funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeżeli r > 0 takie, że x S(x 0, r) f(x) f(x 0 ) minimum lokalne, jeżeli r > 0 takie, że x S(x 0, r) f(x) f(x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 16 / 33

51 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

52 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f osiąga ekstermum w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 albo f (x 0 ) nie istnieje. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

53 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f osiąga ekstermum w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 albo f (x 0 ) nie istnieje. Jeżeli f (x 0 ) = 0, to punkt x 0 nazywa się punktem stacjonarnym funkcji f. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

54 Optymalizacja. Maksima i minima Twierdzenie odwrotne (jak to zwykle bywa) nie jest prawdziwe. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie gwarantuje ekstremum. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 18 / 33

55 Optymalizacja. Maksima i minima Twierdzenie odwrotne (jak to zwykle bywa) nie jest prawdziwe. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie gwarantuje ekstremum. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 18 / 33

56 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

57 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

58 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Przedziały monotoniczności Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x I to funkcja f jest rosnąca na I. Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x I to funkcja f jest malejąca na I. Jeżeli f (x) = 0 dla każdego x I to funkcja f jest stała na I. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

59 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

60 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Funkcja f musi zmieniać monotonicznośc w punkcie x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

61 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Funkcja f musi zmieniać monotonicznośc w punkcie x 0. Jeżeli f zmienia znak z + na lub z na + to mamy lokalne max lub min. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

62 Optymalizacja. Maksima i minima Warunek wystarczający istnienia ekstremum na podstawie f Niech f będzie 1 ciągła w otoczeniu punktu x 0 2 różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie x 0. Jeżeli f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje, a ponadto dla rosnących x w sąsiedztwie x 0, f zmienia znak z + na = f ma w x 0 maksimum lokalne z na + = f ma w x 0 minimum lokalne Jeżeli f nie zmienia znaku to f nie ma ekstremum lokalnego w x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 21 / 33

63 Optymalizacja. Maksima i minima Warunek wystarczający istnienia ekstremum na podstawie f Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x 0 drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie x 0, a ponadto f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) 0 to funkcja ma w punkcie x 0 maksimum lokalne gdy f (x 0 ) < 0 minimum lokalne gdy f (x 0 ) > 0 Notka Powyższe twierdzenie w ogólnej postaci mówi o parzystej n tej pochodnej i jej znaku. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 22 / 33

64 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

65 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

66 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. 2 Oblicz wartości f w tych punktach i na krańcach przedziału [a, b]. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

67 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. 2 Oblicz wartości f w tych punktach i na krańcach przedziału [a, b]. 3 Wybierz nawiększą i najmniejszą z wyliczonych wartości. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

68 Optymalizacja. Maksima i minima Problem Rolnika Rolnik ma 400 m ogrodzenia do zbudowania prostokątnej zagrody. Jedną stronę zagrody będzie stanowiła stodoła, więc nie wymaga ogrodzenia. Trzy zewnętrzne ogrodzenia i dwie wewnętrzne przegrody dzielą zagrodę na trzy prostokątne obszary. Jakie wymiary (zewnętrzne) zagrody zmaksymalizują wykorzystane miejsce? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 24 / 33

69 Optymalizacja. Maksima i minima Idealny ogródek Prostokątny ogródek o powierzchni 50 m 2 jest ogrodzony pasem trawy szerokości 1 m po dwóch stronach i 2 m po dwóch stronach. Jakie wymiary ogródka zminimalizują całą powierzchnię trawy i ogródka? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 25 / 33

70 Optymalizacja. Maksima i minima Kapitalizm Skrzynia o podstawie kwadratu ma miec 16 m 3 objetosci. Material uzyty do wykonania podstawy kosztuje dwa razy tyle co material uzyty na wykonanie bokow, a material na pokrywe kosztuje polowe tego co material na boki. Jakie wymiary powinna miec skrzynia aby zminimalizowac koszt produkcji? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 26 / 33

71 Optymalizacja. Maksima i minima Człowiek głodny, a czasu niewiele... Łódka na morzu znajduje sie 4 km od najblizszego punktu na prostym wybrzezu; ten punkt jest oddalony o 6 km od restauracji na wybrzezu. Student w lodce planuje plynac do brzegu w linii prostej, a potem isc wzdluz brzegu do restauracji. Jezeli student idzie z predkoscia 3 km/h a plynie z predkosica 2 km/h, w ktorym punkcie powinien dobic do brzegu aby zminimalizowac calkowity czas podrozy? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 27 / 33

72 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

73 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Niech f będzie różniczkowalna w przedziale(a, b). Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła w dół (wypukła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona pod krzywą y = f(x) wypukła w górę (wklęsła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona nad krzywą y = f(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

74 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Niech f będzie różniczkowalna w przedziale(a, b). Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła w dół (wypukła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona pod krzywą y = f(x) wypukła w górę (wklęsła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona nad krzywą y = f(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

75 Druga pochodna a wykres funkcji Warunki wklęsłości/wypukłości Jeżeli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to krzywa y = f(x) jest wklęsła na (a, b) f (x) > 0, to krzywa y = f(x) jest wypukła na (a, b) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 29 / 33

76 Druga pochodna a wykres funkcji Punkt przegięcia Jeżeli w punkcie (x 0, f(x 0 )) istnieje styczna do krzywej y = f(x) i funkcja zmienia się z wklęsłej na wypukłą (lub odwrotnie) wokół tego punktu, to (x 0, f(x 0 )) nazywamy punktem przegięcia krzywej. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 30 / 33

77 Asymptoty wykresu funkcji A skoro mowa o wykresach funkcji... Asymptoty pionowe, x = x 0 asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x 0 asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x + 0 aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 31 / 33

78 Asymptoty wykresu funkcji Asymptoty ukośne, y = ax + b asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna a = f(x) lim x ± x, b = lim [f(x) ax] x ± Jeżeli a = 0 to mamy asymptotę poziomą y = b. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 32 / 33

79 Badanie przebiegu zmienności funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji Analiza funkcji: dziedzina punkty przecięcia wykresu z osiami układu parzystość, nieparzystość, okresowość granice w nieskończoności lub na krańcach przedziału asymptoty pionowe i ukośne Analiza pierwszej pochodnej: pochodna i jej dziedzina znak pochodnej monotoniczność funkcji ekstrema funkcji Analiza drugiej pochodnej: pochodna i jej dziedzina znak pochodnej wklęsłość/wypukłość funkcji punkty przegięcia (Tabelka zmienności funkcji) Wykres funkcji Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 33 / 33