LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

Transkrypt

1 LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia i wykonywane przekształcenia mają sens. 0.. Przypomnieć kolejność wykonywania działań w wyrażeniach bez nawiasów oraz w wyrażeniach z nawiasami. Obliczyć wartość wyrażenia: : 8. Wstawić nawiasy tak, aby wartość otrzymanego wyrażenia była równa., b), c) Uzupełnić i zapamiętać wzory skróconego mnożenia : a + b) =, b) a + b) =, c) a + b)a b) =, d) a + b)a ab + b ) =. Czy można w powyższych wyrażeniach zastąpić b przez b? Co otrzymamy? Uprościć wyrażenia wymierne: a 6ab + b 6a 6b, b) , c) a a 4, d) + +, e) + 4 +, f) + 4y + y, g) y Przypomnieć i zapamiętać prawa działań na potęgach. Zapisać wyrażenia w prostszej postaci n + n+ 4 n, b) Przekształcić wyrażenie ) n+ 8) n n, b b a a a, w którym a, b > 0, do prostszej postaci, a na- i b =. stępnie obliczyć jego wartość dla a = 7 n 9 n+ + n Wykonać działania. Wynik zapisać w najprostszej postaci. c) b ay + a a by + b, b) a b + ab a b 6 4 ) ), d) b a a + ab + b, W podanych wyrażeniach usunąć niewymierność z mianownika d) 4 + +, b) n n +, c), n + 5n + 4 4n + a b a b, e) + +, f) n n + n +. Jolanta Sulkowska

2 LISTA. Elementy logiki.. Zdanie logiczne. Forma zdaniowa. Kwantyfikatory. Dla zdań, będących zdaniami logicznymi, podać ich wartość logiczną. 5 =, d) 7 < 0, g) + = +, R R {0, } b) 6 4, e) R 7 < 0, h) y = 0, R y R c) 7 < 0, f) R {0, } + = +, i) R y R y = 0... Negacja. Równoważność. Prawa de Morgana dla koniunkcji i alternatywy. Działania na zbiorach. Zapisać przy użyciu spójników logicznych i, lub rozwiązania równań oraz nierówności. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory punktów, których współrzędne spełniają podane warunki. + )y ) = 0, b) + )y ) 0, c) + )y ) > 0, d) 4y < 0, e) a + b a b = 0, f) a + a b + > 0, a + b g) a + b 0, h) a + b a + b Implikacja. Twierdzenie. Prawo kontrapozycji. A) Prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez, to jest podzielna przez. Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia. Na podstawie powyższego twierdzenia podać: warunek wystarczający podzielności przez. Dlaczego nie jest to warunek konieczny? b) warunek konieczny podzielności przez. Dlaczego nie jest to warunek wystarczający? c) Liczba naturalna nie jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? d) Liczba naturalna jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? e) Liczba naturalna nie jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? f) Sformułować warunek konieczny i wystarczający podzielności przez. B) George Bernard Shaw twierdził: Przekłady są jak kochanki - wierne nie są piękne, piękne nie są wierne. Czy wg Bernarda Shaw przekład wierny nie jest piękny, b) jeśli przekład nie jest piękny, to jest wierny, c) jeśli przekład jest piękny, to nie jest wierny, d) jeśli przekład nie jest wierny, to jest piękny, e) żaden przekład nie może być zarazem wierny i piękny?

3 C) Niech, y R. Prawdziwa jest implikacja: Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia. > 0 i y > 0) = y > 0). Wiadomo, że α > i β >. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku iloczynu α ) β + )? A o znaku iloczynu α β? Podać przykłady. b) Wiadomo, że ab > 0. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczby a? Podać przykłady. c) Wiadomo, że uv 0. Jaki wniosek o liczbach u i v pozwala wyciagnąć twierdzenie?.4. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów. Zapisać w równoważnej postaci zdania: =, b) c) d) R <0 = 4 ), n + n M R n N ɛ>0 n 0 N n N < M, ) n n > n 0 ) = n + 5 < ɛ. Zagadnienia dotyczące podstaw logiki, a także praw działań algebraicznych, funkcji elementarnych, rozwiązywania równań i nierówności, można powtórzyć korzystając z jednego z podręczników:. M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław W. Żakowski, Algebra i analiza matematyczna dla licealistów, WNT, Warszawa 999. Jolanta Sulkowska, zad..b Marek Zakrzewski

4 LISTA. Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości o funkcjach na ćwiczenia).. Wyznaczyć dziedziny naturalne funkcji. f) = + + 9, b) f) = 6, c) f) =, d) f) =... Przekształcając wykres odpowiedniej funkcji liniowej narysowć wykres podanej funkcji. Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) = 4, b) f) = 4, c) f) = , d) f) = { + dla dla >... Związek między temperaturą C wyrażoną w C, a temperaturą F w F opisuje funkcja liniowa F = ac + b. Wyznaczyć współczynniki a, b, jeśli 0 C to F, a 00 C to F. Jaką temperaturę wskaże termometr wyskalowany w F, jeśli mamy 7 C?.4. Przekształcając wykres funkcji y = a narysować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) = 4 + 5, b) f) = +, c) f) = 4 4, d) f) = sgn )..5. Przekształcając wykres funkcji y = a lub y = a narysować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) =, b) f) = +, c) f) = ), d) f) = Napisać wzory określające funkcje złożone f g, g f, f f, g g dla podanych funkcji f i g. Naszkicować wykresy funkcji y = fg)) oraz y = gf)). f) =, g) =, b) f) =, g) = 4, c) f) =, g) = +, d) f) =, g) = sgn..7. Zaproponować przedstawienie funkcji złożonych w postaci g h. Czy jest tylko jedna para funkcji g, h takich, że f = g h? f) = + 6, b) f) = 4 +, c) f) = 4 +.

5 .8. Obliczyć log, log 0,0, log log 8, log 5 + 0,5 log 64, log tg π 6, ln e, log, log 5 6, ) log, e ln 0, e ln 0, log log Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne, y) spełniają podany warunek log y = log + log, b) log 0,5 y = log 0,5 + ), c) log y = log + log 0,5..0. Narysować wykresy funkcji f) =, ) b) f) = c) f) = + e, d) f) = e, e) f) = log ), f) f) = log0,5, g) f) = ln, h) f) = ln... Rozwiązać równania i nierówności ) ) 5 ) 5 =, 4 b) = 5 +, c) 5 <, d) log =, e) log + ) log >, f) ln + ln... Wyprowadzić wzór określający funkcję odwrotną do funkcji f. Narysować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f) i y = f ). f) = log + ), b) f) =, c) f) =, d) f) = + dla, e) f) = + dla... Wykorzystując okresowość funkcji i koło trygonometryczne obliczyć wartości wyrażeń cos π + sin 4 π, b) sin π + sin π, c) cos π + cos 6 π, d) sin 9 ) 4 π + cos ) 4 π, e) sin 7 7 π + cos π, f) tg0 π + ctg9 π..4. Udowodnić tożsamości. Określić ich dziedziny. cos = + tg, b) sin = tg + tg, c) cos = tg + tg, d) sin = tg + tg, e) + tg + tg + tg = sin + cos, f) sin 4 + cos 4 = 0,5 sin. cos

6 .5. Krzywą daną równaniem y = a sinb + c) + d dla ustalonych parametrów a 0, b 0, c, d nazywamy sinusoidą. Uzasadnić, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą i narysować ją. y = sin cos, b) y = sin + cos ), c) y = cos..6. Narysować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu okres podstawowy oraz zbiór wartości funkcji. f) = cos + π ), b) f) = sin + sin, c) f) = tg, d) f) = ctgπ)..7. Rozwiązać równania i nierówności. cos = 0, b) sin + π ) =, c) tg =, d) sin + π ) 0, 4 e) cos > 0, f) ctg <..8. Obliczyć wartości wyrażeń w = arcsin arccos + arctg, jeśli arcctg = π 6 ; b) w = arcsin ) + arccos + arctg, jeśli arccos = π ; c) tg arccos ) ; d) sin arcsin 5 + arcsin 8 ) Rozwiązać równania wykorzystując funkcje cyklometryczne sin =, b) sin = 4, c) cos + π ) = 5, d) cos =, e) tg = 5. 4 Wszystkie wiadomości szkolne można powtórzyć i uzupełnić korzystając z podręcznika: M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 009. Jolanta Sulkowska

7 LISTA na ćwiczenia) Ciągi liczbowe.. Uzasadnić, że podane ciągi są monotoniczne i ograniczone. a n = e) e n = n n +, b) b n = n n +, c) c n = n!) n)!, d) d π n = sin n +, n + ), f) f n+ n = n + 8 n +, g) g n = n.. Korzystając z odpowiedniej definicji granicy ciagu liczbowego, uzasadnić, że n n lim n + =, n + b) lim n n n + 4 = +, c) n lim n +... Uzasadnić, podając odpowiednie przykłady, że poniższe wyrażenia są nieoznaczone 0 0,, 0,,, 0, Obliczyć granice ciągów liczbowych. a n = n n + 4, b) b n = n + n 8, c) c n = n + n n + 5 n + n +, d) d n = n + ) 8 n 4 + 7) 6, e) e n = n + n + 7 n n, f) f n = 8n+ + n n+ + n + 4, g) g n = n n, h) h n = n + 8 n +, i) i n = n + 4n + n +, j) j n = n + n +, k) k n = 9 n + 4 n + 9 n +, l) l n = n 0 n n 9 +, ) n + 4 n+ n m) m n = 7 n 5 n 9 n , n) m n =, o) o n =, n + n + ) n + n ) 4n + n+6 n + n ) n p) p n =, r) r n =, s) s n =. n + 5 n 5 n + n.5. Dla danego ciągu a n ) dobrać ciąg b n ) postaci b n = n p lub b n = α n tak, aby ciągi a n ) i b n ) a n były tego samego rzędu. Mówimy, że ciągi a n ), b n ) są tego samego rzędu, jeśli lim = k, n b n dla pewnej liczby dodatniej k.) a n = d) a n = n + 4n +, b) a n = n n + 7, c) a n = n + 9 n +, n +, e) a n n = n 4 n + 5, f) a 4 n+ n n = 5 n+ +. n Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział. ) n Jolanta Sulkowska

8 LISTA 4 Granice funkcji. Asymptoty. Funkcje ciągłe na ćwiczenia) 4.. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki f0) =, b) g0) = 4, c) lim h) =, lim lim f) = +, lim lim g) = 0, lim f) =, lim 0 g) = +, lim h) nie istnieje, lim 0 f) =, lim g) = 0, lim + h) h0), lim f) = π; + g) + nie istnieje; h) = +, h) < Obliczyć granice lim + +, b) lim + e) lim, f) lim + 8, c) lim 4, e, g) lim + + +, 8 d) lim 4, h) lim , sin π i) lim 0, j) lim 0 sin, k) lim + tg tg, l) lim π cos sin Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją lim 0,5 4, b) lim 0 /, c) lim π sgnsin ), d) lim Korzystając z odpowiednich twierdzeń o trzech funkcjach, o iloczynie funkcji ograniczonej i funkcji zbieżnej do zera, o dwóch funkcjach) wyznaczyć granice lim cos, b) lim 0 + sin + sin, c) lim + + cos, 4.5. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki + sin d) lim. 0 + prosta = jest asymptotą pionową obustronną funkcji f, y = jest asymptotą poziomą w, y = + jest asymptotą ukośną w + ; b) prosta = jest asymptotą pionową lewostronną funkcji g i nie jest asymptotą pionową prawostronną, funkcja g nie ma asymptoty w, g) = ; lim + c) prosta = 0 jest asymptotą pionową obustronną funkcji h, lim h) nie istnieje, 0 lim [h) + ] = 0, lim [h) + ] = 0. +

9 4.6. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji f f) = 8 + 4, b) f) = 6, c) f) = 8, d) f) = e e, e) f) =, f) f) = cos π Czy można dobrać parametry a, b R tak, aby podana funkcja była ciągła na R. Wykonać rysunek. f) = { + dla < 0 a dla 0, b) f) = { arctg dla a + b dla >, 4 c) f) = dla a dla =, d) f) = + dla a dla = b dla = Uzasadnić, korzystając z twierdzenia Darbou, że równanie ma rozwiązanie we wskazanym przedziale. Podać graficzną interpretację równania. W którym przykładzie rozwiązanie jest jednoznaczne? Podać rozwiązanie równania z przykładu d) z błędem nie przekraczającym 0,5. sin =, 0, π ); b) e = ),, ; c) = ln, 0, + ); d) + 6 = 0,, + ); e) 0 sinπ) = +, ), ; f) 5 cosπ) =,, ). Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział. Jolanta Sulkowska

10 POWTÓRKA.. Naszkicować wykresy funkcji. f) = 4, b) f) =, c) f) = 4 + 7, d) f) =, e) f) =, f) f) = log ), g) f) = + tg, h) f) = cos + π ), i) f) = sin sin, j) f) = ctg ctg, k) f) = π arctg, l) f) = π + arcsin... Wyznaczyć dziedzinę funkcji. f) = , b) f) =, c) f) = ln sin, 4 d) f) = 5 log ), e) f) =, f) f) = tg + π ), 5 g) f) = ctg 4, h) f) = e, i) f) = arcsin ln. π 6arctg.. Rozwiązać równania i nierówności. ) < + ), b) 4 5 4, c) 8, d) e =, e) >, f) ln <, g) sin + π ) 0, h) cos =, i) tg = Uzasadnić tożsamość trygonometryczną i podać jej dziedzinę. cos tg + ctg) = sin, b) tg ctg = cos sin, c) sin cos = ctg..5. Napisać wzory określające funkcje złożone f g, g f oraz naszkicować ich wykresy. f) = 4, g) =, b) f) = e, g) = +, c) f) = log 0,5, g) = +, d) f) = cos, g) = 0,5, e) f) = sin + π ), g) =, f) f) =, g) =. 4

11 .6. Wyprowadzić wzór funkcji odwrotnej do funkcji f. Naszkicować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f) i y = f ). f) = 4, b) f) = +, c) f) = +, d) f) = ln + ), e) f) = + dla, f) f) = + dla..7. Uzasadnić, że ciąg a n ) jest monotoniczny od pewnego miejsca) i ograniczony a n = n + n + 4, d) a n = cos b) a n = n + 4 n 5 n, c) a n = n n + )!, π 4n + 7, e) a n = n + 4 n, f) a n = n..8. Obliczyć granice ciągów liczbowych: a n = 5n + 4 4n + 5, b) a n = n+ + 6 n 5 4 n n, c) a n = 4n + n 4 n + 4, d) a n = 7 n+4 9 n+7, e) a n = g) a n = + n n, f) a n = n n + n + 9, n n ) n+ ) + n n, h) a n n =, i) a n = + n n + j) a n = π n e n, k) a n = ) n + 5 5n, n + arctgn + ) + arcctgn, l) a n = ln4n + 5) lnn + )..9. Naszkicować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki lim f) =, lim 0 + f) = +, lim f) = +, f jest funkcją nieparzystą; + b) prosta y = jest asymptotą poziomą w, prosta = 0 jest asymptotą pionową obustronną, lim g) nie istnieje, g jest funkcją parzystą; c) lim [h) + ] = 0, lim h nie jest ciągła w punkcie 0 = 0. h) =, lim h) =, lim + h) =, +

12 .0. Obliczyć granice funkcji: lim, b) lim e) i) lim + lim + +, f) lim 4 + sin + π, sin j) lim π π,, c) lim + +, g) lim 4 + k) lim 0 5, d) lim, 9 9 9, h) lim ), sin 5 sin 5, l) lim 0 tg Zbadać, czy istnieją granice: sinπ) lim, b) lim e +, 0 c) lim 0 arcctg, d) lim e ln... Wyznaczyć asymptoty funkcji: f) = e) f) =, b) f) = +, c) f) =, d) f) = 4, 4, f) f) = ln sin, g) f) =, h) f) = +. + ln.. Czy można dobrać parametry a, b R tak, aby funkcja f była ciągła na R? Obliczyć odpowiednie granice i narysować wykres funkcji f. + dla < f) = b dla = + a + dla >, b) f) = { a + b dla < arctg dla,.4. Korzystając z twierdzenia Darbou uzasadnić, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie na wskazanym przedziale. Przedstawić graficzną interpretację równania. 4 =, 0,5, ); b) ln =, 0,5, ); c) =,, 0,5); d) = 4,, ). Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 009. Jolanta Sulkowska

13 LISTA 5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej na -4 ćwiczenia) 5.. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne jednostronne oraz pochodna podanej funkcji we wskazanym punkcie. Narysować wykres funkcji. y) = 4, 0 = ; b) f) = sin, 0 = 0; { c) g) = dla sgn, 0 = 0; d) h) = ) dla >, 0 =. 5.. Korzystając z wzoru na pochodną funkcji f) = α i reguł różniczkowania, obliczyć pochodną funkcji: y = , b) y = , c) y = ; d) y = 8 9 ) Korzystając z wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu, obliczyć pochodną funkcji: y = e cos, b) y = ln, c) y = sin, d) y = tg arctg, e) y = + +, f) y = 4, g) y =, h) y = sin + cos sin cos Obliczyć pochodną funkcji: y = ln), b) y = ), c) y = sin 5 π ), d) y = arctg 4, e) y = + +, f) y = sin, g) y = cos π ), h) y = cos π Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = f) w punkcie 0, f 0 )). Sporządzić rysunek. f) = sin, 0 = 0; b) f) = ctg, 0 =,5π; c) f) = ln ), f 0 ) = Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji y = f), która ma podaną własność. f) = ln, styczna jest równoległa do prostej 5 + 5y = 0; b) f) = +, styczna jest prostopadła do prostej y = 0; c) f) =, styczna jest pozioma; + d) f) =, styczna tworzy kąt π z dodatnim kierunkiem osi OX.

14 5.7. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: ln sin π lim )) ln ln + ) ), b) lim, c) lim 0 ctg, d) lim + ln ), e) lim 0 + ln, f) lim π π ) tg Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: f) = arctg, b) f) = ln + ), c) f) = arctg, d) f) = ln 4 ) Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji. Naszkicować ich wykresy. y) = 4 4, b) y) = +, c) f) = e, d) g) = ln Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale: f) =, [0, 5], b) f) = arctg, [0, ], c) f) = sin + sin, [ 0, π ]. 5.. Wyznaczyć dwie liczby dodatnie, których suma jest równa 0, a iloczyn kwadratu pierwszej i trzeciej potęgi drugiej ma wartość największą. b) Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i danym polu powierzchni całkowitej ma największą objętość. c) Firma spedycyjna przyjmuje zlecenie przewozu prostopadłościennych paczek, dla których suma wysokości i obwodu podstawy jest nie większa niż 08 cm. Znaleźć wymiary paczki o kwadratowej podstawie i największej objętości, która może być przesłana za pośrednictwem tej firmy. d) Przez punkt P =, ) poprowadzić prostą tak, aby wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych tworzyła trójkąt o najmniejszym polu. 5.. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji: f) = +, b) g) = + ) e, c) h) = ln, d) h) = sin sin. 5.. Wyznaczyć przedziały wklęsłości, wypukłości i punkty przegięcia funkcji f) = +, b) f) = earctg, c) f) = ln, d) f) = sin + 0,5 sin.

15 5.4. Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić ich wykresy: f) =, ln b) f) =, c) f) =, d) f) = 4e e Napisać wzory Taylora z drugą i trzecią resztą dla podanych funkcji i punktów. Narysować wykres funkcji oraz wielomianu Taylora pierwszego i drugiego rzędu. f) =, 0 = ; b) f) =, 0 = Oszacować dokładność przybliżeń na wskazanych przedziałach: ln + ) +, 0,; b) + +, 0,0; c) cos, 0,; d) e +, 0,5. Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział 4, 5, 6. Jolanta Sulkowska

16 LISTA 6. na -4 ćwiczenia) Całka nieoznaczona i oznaczona 6.. Korzystając z definicji i wzorów na pochodne podstawowych funkcji odgadnąć funkcje pierwotne F funkcji f: f) =, b) f) = +, c) f) = sin + π ), d) f) = e Obliczyć całki: 4 + d, d) 4 d, e) g) ctg d, ) ) ) b) d, c) + + d, d, f) h) sin cos d, i) cos cos sin d, 4 sin + π ) ) 6 cos + d Obliczyć całki stosując odpowiednie podstawienie 4 + d, b) 4 d, c) ) 5 d, ln e) d, f) e d, g) sin cos d, d) h) sin cos d, d Obliczyć całki, korzystając z tego, że + d, b) f ) f) + d, c) d = ln f) + C. ln d, d) e e + d Obliczyć całki, stosując wzór na całkowanie przez części e d, b) cos d, c) sin + π ) d, d) ln + ) d, e) ln d, f) ln d, g) arcctg d, h) e sin d Zapisać sumę całkową dla podanej całki oznaczonej. Zastosować równomierny podział przedziału całkowania. Wykorzystać wartość funkcji podcałkowej w prawych końcach podprzedziałów. Korzystając z definicji obliczyć całki z przykładów, b). 0 d, b) d, c) π 0 sin d, d) 0 + d.

17 6.7. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną, wykonując odpowiedni rysunek. + ) d, b) π sin d, c) e d, d) π ctg d, e) e ln d. 0 0 π 4 e 6.8. Wyznaczyć średnią wartość funkcji f na przedziale [a, b]. Wykonać rysunek. f) = sin, [a, b] = [0, π]; b) f) =, [a, b] = [0, ] Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek. y = +, y = + ; b) y = 4 +, y = ; c) y =, y =, y = ; d) y = ln + ), = 0, y = Napisać wzór na długość łuku wykresu funkcji różniczkowalnej i obliczyć długości podanych krzywych. Narysować je. y = [, 0, 4 ] ; b) y = 4 9, [, ]; [ π c) y = ln sin,, π ] ; d) y = ln, [, e]. 6.. Napisać wzór na objętość bryły obrotowej powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru ograniczonego wykresem ciągłej funkcji nieujemnej y = f), osią OX i prostymi = a, = b. Korzystając z tego wzoru obliczyć objętość: kuli o promienu R, b) stożka ściętego o promieniach podstaw r, R i wysokości H, c) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru T = {, y) R : 0 π } 4, 0 y tg, d) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru T = {, y) R : π π }, 0 y cos. 6.. Stosując całkę oznaczoną, obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, aby opróżnić napełniony do połowy wodą zbiornik w kształcie walca o poziomej osi. Otwór znajduje się na górze zbiornika. Średnica walca D = m, długość L = 6 m, gęstość wody γ = 000 kg/m.

18 6.. Obliczyć całki funkcji wymiernych d) 8 d, d, b) e) d, c) + d, d, f) d Obliczyć całki funkcji trygonometrycznych e) sin 5 d, 5 cos d, e) b) sin cos d, π π sin sin d, c) f) π π cos sin d, d) sin cos 4 d, g) π π sin d, sin d. Podobne zadania z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział 7, 8, 9. Jolanta Sulkowska

19 POWTÓRKA.. Obliczyć pochodne funkcji: f) =.. arctg ln + ), b) f) = e sin sin, c) f) = cos ), d) f) = Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f) = arctg ) w miejscach zerowych funkcji. Pod jakimi kątami wykres przecina oś OX? b) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = ln 0,5, która jest równoległa do osi OX. c) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = ln + e ), która jest równoległa do prostej l : y = 5. d) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = tg), π 4, π ), która 4 jest prostopadła do prostej l : + 5y = 0. e) Dla jakich wartości parametrów a, b parabola o równaniu y = + a + b jest styczna w punkcie, ) do prostej y =? Wykonać rysunek... Zbadać istnienie asymptoty cos o równaniu = 0 funkcji f) = sin 4, b) o równaniu = π ln + cos ) funkcji f) =, π c) poziomej w + funkcji f) = ) 6, d) o równaniu = 0 funkcji f) = sin..4. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale. f) = + e, [ 7, 0]; b) y) = c) g) = cos + sin, [ 0, π, [, ]; ]; d) y) = + ), [, ]..5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f. Naszkicować jej wykres. f) = ln + ), b) f) = ln 4, c) f) = e, d) f) = e ln.

20 .6. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji. Naszkicować jej wykres. y) = ) ), b) f) = + ln ), c) f) = 4, d) f) =..7. W obszar ograniczony parabolą y = 6 i osią OX wpisano prostokąt tak, że jeden z jego boków leży na osi OX. Jakie wymiary ma prostokąt o największym polu? b) Metodami rachunku różniczkowego uzasadnić, że prostopadłościan o danej sumie długości krawędzi, kwadratowej podstawie i największej objętości jest sześcianem. c) Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu?.8. Obliczyć całki: cosπ + ) d, b) e ) d, c) ln d, d) g) sin tgln ) d, e) d, e + ln + ln d, f) d, + h) + cos ) sin d, i) sin d..9. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną. Wykonać rysunek. e d, b) π sin cos d, c) e ln d, d) π tg d. 0 e 0.0. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek. y =, y = + 4; b) y =, y = 5 + ) ; c) y =, y = ; d) y = 4 +, y = ; e) + y = 4, y = ; f) y = sin, y =, = π; g) y = ln + ), y =, = e; h) y = ln + ), y =, y =. Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 005. Jolanta Sulkowska