ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

Transkrypt

1 ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 6 6 Całki nieoznaczone 8 7 Całki oznaczone 9 8 Zadania trudniejsze 0 9 Powtórzenie 3 0 Pierwsze kolokwium 7 Drugie kolokwium Egzamin 3 Elementy logiki, zbiory, funkcje Określ jako zdanie, funkcję inaczej: formę, formułę zdaniową na podanym zbiorze X lub jako żadne z powyższych dwóch wyrażenie: a tydzień ma siedem dni, b tydzień ma osiem dni, c 3 < 0, d >, X = 0,, e >, X = R Zdania określ jako prawdziwe lub fałszywe oraz podaj ich wartości logiczne Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie

2 a p q p q, b [p q r] [p q p r], c [p q r] [p r q] Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki 3 Niech oznacza spójnik Pierce a, tzn p q = p q Za pomocą spójnika Pierce a jedyny, obok kreski Shefera, spójnik dwuargumentowy o tej własności wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację 4 Zbadaj prawdziwość zdania: [ y 0 < 0 ], a R y R [ y = < 0 ] b R y R 5 Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a [A B \ C] [A C \ B] oraz A B C, b A \ B A \ C oraz A B C Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna a Zdanie prawdziwe o wartości logicznej, b zdanie fałszywe o wartości logicznej 0, c zdanie prawdziwe o wartości logicznej, d funkcja zdaniowa, e ani zdanie, ani funkcja zdaniowa a nie, b tak, c tak, d tak 3 Np p = p p, p q = p p q q, p q = p q p q 4 a zdanie prawdziwe, b zdanie fałszywe 5 L lewa strona, P prawa strona, a L P, b L P =

3 Funkcje trygonometryczne Niech oznacza miarę łukową kąta Naszkicuj na płaszczyźnie okrąg o środku w 0, 0 i promieniu, a następnie kąt a Wyjaśnij znaczenie liczby b Zaznacz na osiach współrzędnych sin, cos, tg, ctg o ile dwie ostatnie wartości istnieją c Załóżmy, że 0, π Udowodnij, że sin < < tg Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a f = ctg sin, b f = ctg + tg π, 5 c f = cos π + arc sin, d f = tg arc cos a Jest to długość łuku okręgu, odpowiadającego kątowi b Dla zaznaczenia sin, cos wykorzystaj trójkąt prostokątny o jednostkowej długości przeciwprostokątnej Dla zaznaczenia tg, ctg wykorzystaj trójkąty prostokątne o jednostkowych przyprostokątnych c Porównaj pola wycinka koła i odpowiednich trójkątów a Dziedzina { D f = R \ {kπ : k Z}, cos dla kπ, k + π, f = cos dla k + π, k + π, zbiór wartości W f =,, { ctg dla kπ, π b D f = R \ {kπ : k Z}, f = + kπ, 0 dla [ π + kπ, kπ, W f = [0,, c D f = [, ], f =, W f = [, ], d D f = [, 0 0, ], f = 3 Ciągi W f = R Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach dla [, 0, dla 0, ], a a n = 7 + arc tg arc tg n + arc tg n, n b f n = k!, k=0 gdzie n N Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a a n = n 3 n 5 n + 7 n, 3

4 b a n = n + n + + n + n n + n n + n 3 Rozważmy niektóre symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a, b 0, c 0 0, d Dla dowolnego λ [, ] podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granic niewłaściwych do λ Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłaściwej 4 Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n n+3 n a a n =, n n n 3 + n + b a n = n + n + 5 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny a 7, b 3 Np lim n + λ n = λ R, lim n n =, n n lim n n =, lim n + n n n n nie istnieje 4 a e, b e 4 Granice funkcji, ciągłość Wyznacz granicę funkcji lim 0 f, jeśli a f = sin π, 0 = π, b f = 3 sin π, 0 = π, c f = d f = 3 e f = + sin, 0 = 0, 3 + 3, 0 =, tg , 0 = 0 Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji 4

5 + 3 a f = , b f = 4 + arc sin 5, c f = 3 + ln +, 4 d f = + arc tg, e f = cos + π 3 Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji f = + π cos 4 Naszkicuj wykres funkcji f : R R, spełniającej warunki: lim f = lim f =, lim f =, lim f =, + f = f Czy może być ona ciągła w całej swojej dziedzinie? 5 Wyznacz zbiór punktów ciągłości funkcji f = sin π, gdzie symbol oznacza część całkowitą, a m m jest liczbą całkowitą, różną od 0 6 Dla jakich wartości parametru a R w podpunkcie a i parametrów a, b R w pozostałych podpunktach, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli { a a f = dla 0, ln dla = 0, ln 4 dla < 0, b f = a + dla = 0, tgb dla S + 0, gdzie S + 0 oznacza pewne sąsiedztwo prawostronne punktu 0 = 0, sinb dla < 0, c f = dla = 0, a + ln + e dla > 0 7 Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja sin dla < 0, f = a + b dla 0 5, cos jest ciągła na R? π 3 dla 5 < 8 Wyznacz granicę ciągu lim n lnn + ln n n 9 Udowodnij, że równanie arctg + 3 = ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0, 0 Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania = 0 a π, b e 3, c e, d, e 4 a = 4 asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w i w, 5

6 b y = 4 asymptota ukośna w i w, c = asymptota pionowa lewostronna, = asymptota pionowa prawostronna, y = 3 asymptota ukośna w i w, d y = + π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w, e = 0 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota ukośna pozioma w i w 3 = π + kπ, k Z \ {0} 4 Nie może być ciągła w punkcje 0 = 5 Funkcja f jest ciągła na zbiorze R \ Z {km : k Z} 6 a a =, b a =, b = 0, c a = 0, b = 7 a = 3 0, b = 8 9 Wykorzystaj własność Darbou na przedziale [0, ] Dla uzasadnienia jednoznaczności zauważ monotoniczność występującej funkcji 0 Jedno rozwiązanie, Rachunek różniczkowy Oblicz pochodną f 0, jeśli a f = sin π, 0 =, b f = sin + π, 0 = π Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0, jeśli a f = , 5ln + 0, 5, 0 = 0, 5, b f = + e ln+, 0 = 0 3 Za pomocą różniczki zupełnej wyznacz przybliżoną wartość funkcji f = e + sin w punkcie = 0, 4 Napisz równanie takiej stycznej do wykresu funkcji f = 3 3 +, która jest prostopadła do 3 prostej y = + 5 Wyznacz kąt, pod którym przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wykresy funkcji f = i g = + 6 Wykaż, że funkcja f ma dokładnie jedno mejsce zerowe w przedziale I, jeśli a f = tg 3 +, I = 0, π, 4 b f = arc tg, I =, 7 Udowodnij, że dla > zachodzi nierówność ln < 8 Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji 6

7 a f = + + e, b f = e 9 Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a f = 64, b f = sin cos 0 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale I, jeśli [ ] 3 a f = , I = 4,3 [ b f = 3 3, I = 3, 3 ] Za pomocą wzoru Taylora oblicz sin 0, z dokładnością do 0 0 Wyznacz wzór [ wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji cos w przedziale π 4, π ] z dokładnością do Wyznacz granicę lim 0 f, jeśli a f = ln tg, 0 = 0 +, b f = a, b a y = + 9, b y = + 3 f0,, 4 y = + 5 π 4 ln +, 0 = 0 6 Do uzasadnienia istnienia miejsca zerowego można wykorzystać własność Darbou na przedziale I domknięcie przedziału I, czyli w tym przypadku przedział wraz z końcami w podpunktach a i b, a w podpunkcie c na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała Jedyność miejsca zerowego można uzasadnić za pomocą ścisłej monotoniczności każdej z funkcji, wykazanej za pomocą pochodnej 7 Obie strony nierówności są funkcjami są ciągłymi na [, Porównaj pochodne tych funkcji na przedziale, i wartości w punkcie lub równoważnie, rozważ różnicę tych funkcji, jej pochodną na, i wartość w 8 a Funkcja f maleje na przedziałach, 0], [,, rośnie na przedziale [0, ] i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne właściwe w punkcie 0 = 0, 3 e maksimum lokalne właściwe w punkcie 0 =, b f maleje na przedziałach [, 0, 0, ], rośnie na przedziałach, ], [, i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: e minimum lokalne właściwe w punkcie 0 =, e maksimum lokalne właściwe w punkcie 0 = 7

8 9 a Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziałach, 0, [4,, ściśle wklęsła na przedziale 0, 4], a punktem przegięcia wykresu funkcji jest 4, 0, b f jest ściśle wypukła na przedziale [ π, π], przedziałach postaci [kπ, k + π] i przedziałach postaci [ k + π, kπ], gdzie k N + = {,, 3, }, f jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [k π, kπ] i przedziałach postaci [ kπ, k π, ], gdzie k N +, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci kπ, dla k Z \ {0} oraz k + π, dla k Z 0 a Największą wartością jest 5, a najmniejszą 0, b największą wartością jest, a najmniejszą 3 sin 0, 0, 0,3 3! + 0,5 5! cos! + 4 4! 6 6! + 8 8! 0 0! 3 a 0, b 6 Całki nieoznaczone Oblicz f d, jeśli a f = cos, b f = + c f = cos4 Oblicz całkę f d z funkcji wymiernej a f = , b f = Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej a f = 3 sin sin, b f = 7tg sin, c f = ctg cos a tg + ln cos + C, b ln ln + + C a arc tg + + C, b ln + arc tg + + C, c ln + ln + + arc tg + + C 3 a ln 3 3sin + C, b ln 7 7tg + C, c ln ctg + C 8

9 7 Całki oznaczone Niech symbol oznacza część całkowitą Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b a f d, jeśli: a f =, a = 0, b = 9, b f =, a =, b =, c f =, a =, b = Za pomocą całki oznaczonej oblicz lim n n tg π π 3π n π + tg + tg + + tg 4n 4n 4n 4n Uwaga: nie ma pomyłki w zapisie ostatniego składnika { dla 0, 3 Wyznacz funkcje H pierwotne na R do funkcji h = cos dla 0 < 4 Udowodnij, że πe 5 Oblicz d π e π cos arc tg d 3πe 6 Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: a y = oraz y = ln, e b oś OX, y = ln, = e, c y = ln, y = 0, =, d y =, y = ln, y = 0, e y = cos, y = π 4, f y = sin dla [ 0, π 3 ], oś OX, = π 3 7 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji a f = tg dla [ π 4, ] π 3, b f = ctg [ ] π dla,, c f = 3 [ cos dla 0, π ] 4 8 Wyznacz długość wykresu funkcji: [ a f = 3, ograniczonej do przedziału, 7 ], 3 b f = 3 3, ograniczonej do przedziału [,3] 9

10 a 3, b 5 ln ln 3, c 5 3 π ln 3 H = { + C dla 0, sin + C dla 0 < 4 Wskazówka: oszacuj największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale arc tg a 4 e 3, b e + 4, c ln, d e 5 3, e + π3 6, f π 36 3π a 3 π π, b π, c π30,5π ln 3 +ln 3 8 a 56 7, b Zadania trudniejsze T Przyjmuje się, że a dla dowolnego zbioru X i obiektu a: a X lub a / X oraz b jeśli ϕ jest dowolną formułą zdaniową na zbiorze X tzn po podstawieniu elementu a X, wyrażenie ϕa jest zdaniem, to elementy ze zbioru X, spełniające formułę ϕ, tworzą zbiór Z powyższych dwóch przesłanek wywnioskuj, że nie istnieje twór będący zbiorem złożonym ze wszystkich zbiorów tzw paradoks Russela T Udowodnij, że różnica symetryczna zbiorów jest działaniem łącznym i przemiennym T3 Udowodnij, że różnica symetryczna skończonej ilości zbiorów składa się z elementów należących do nieparzystej liczby zbiorów T4 Wyprowadź wzory na sinus i kosinus sumy kątów T5 Udowodnij następujące twierdzenia o granicach ciągów: a lim n n =, n b dla 0 < a < zachodzi lim a n =, n n r c dla < a < i r R zachodzi lim n a n = 0 0

11 T6 Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach e n = + n n, n N + = {,, 3, } T7 Oznaczmy lim e n = e, lim f n = f, gdzie ciągi e n, f n zostały określone w poprzednich dwóch zadaniach Udowodnij, że e = f n n T8 Udowodnij, że jeśli lim a n =, to lim + an n n a n = e T9 Niech oznacza miarę łukową kąta Wykaż, że lim 0 sin = T0 Załóżmy, że funkcja f : O 0 R jest określona w pewnym otoczeniu O 0 punktu 0 R oraz że przyjmuje w 0 ekstremum lokalne właściwe lub nie Udowodnij, że jeśli istnieje pochodna f 0, to f 0 = 0 twierdzenie Fermata T Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], różniczkowalna na a, b oraz że fa = fb, gdzie a < b R Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego f c = 0 twierdzenie Rolle a T Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna na a, b, gdzie a < b R Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego f fb fa c = twierdzenie Lagrange a b a T3 Załóżmy, że funkcje f, g : [a, b] R są ciągłe na [a, b] i różniczkowalne na a, b, gdzie a < b R Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego [gb ga]f c = [fb fa]g c twierdzenie Cauchy ego T4 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = sinh 5 na przedziale I = [0, ], gdzie 4 funkcja sinh = e e oznacza sinus hiperboliczny T5 Oblicz: arc ch d, gdzie symbol arc ch oznacza funkcję odwrotną do ograniczonej do przedziału [0, funkcji kosinus hiperboliczny T6 Wyznacz długość wykresu funkcji: a f = ln +, ograniczonej do przedziału [ 0, ], b f = e, ograniczonej do przedziału [, lne] T Gdyby taki zbiór X istniał, to zbiorem byłby rownież Y = {A X : A / A}, a wtedy jednocześnie Y Y oraz Y / Y T Wynika to z łączności i przemienności spójnika logicznego albo T3 Różnica symetryczna n zbiorów powstaje w wyniku obliczenia n razy różnicy symetrycznej Zauważ, że jeśli element należy do parzystej ilości zbiorów, to przy kolejnym obliczeniu pojawia się, znika lub pozostaje bez miany, a po ostatniej zmianie znika Podobnie dla przynależności do nieparzystej ilości zbiorow T4 Niech, y 0, π dla innych, y można wykorzystać wzory redukcyjne a Naszkicuj trójkąt, aby kąt α przy jednym z jego wierzchołków wynosił α = + y, a wysokość opuszczona z tego wierzchołka dzieliła α na kąty i y b Oblicz pole dużego trójkąta na dwa sposoby: bezpośrednio i jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów Z równości pól wyprowadź wzór na sinus sumy kątów

12 c Zastosuj otrzymany wzór na sinus sumy kątów i wzory redukcyjne sin ϕ + π = cos ϕ, cos ϕ + π = sin ϕ do przekształcania cos + y = sin + y + π T5 a Z jednej strony, n n > dla dowolnego n N + Z drugiej strony, niech δ > 0 będzie dowolną liczbą Dla dostatecznie dużych n, n n < + δ, gdyż + δ n = + nδ + nn δ + + δ n > nn δ > n T6 b Dla a, a n < n n od pewnego miejsca c Oznaczmy a = + δ, gdzie δ > 0 Ustalmy liczbę k, r < k N + Dla dostatecznie dużych n, a n = + δ n = +nδ+ nn δ + + nn n n k k+! δ k+ + +δ n > nn n n k k+! δ k+ > δ k+ n k+ k+! a Wykorzystując wzór Newtona na potęgę dwumianu zauważ, że e n = + + n + n n n n n b Wywnioskuj, że ciąg e n jest rosnący c Udowodnij, że e n + n k=0 n 3 n k oraz że ciag e n jest ograniczony T7 a Zauważ, że e n f n dla n N + Wywnioskuj, że e f b Ustalmy dowolne n 0 N + Rozważ ciąg g n o wyrazach g n = + + n + n n n n n 0 n 3 n 0, określonych dla n n 0 Zauważ, że g n e n Udowodnij, że lim g n = f n0 i n dalej, że f n0 e Wywnioskuj, że f e T8 Niech oznacza część całkowitą liczby R Dla wystarczająco dużych n zachodzi a n > Jeśli a n, to + a n + an + a n + a n an + Dla a n < wykorzystaj równość + an a n = + a n an + a n + a n + + an a n T9 Zauważ, że lim cos = Za pomocą twierdzenia o trzech funkcjach i nierówności z zadania wywnioskuj, że lim 0 + sin 0 + = Dla < 0 skorzystaj z nieparzystości funkcji sin i T0 Oznaczmy I = f f0 0 iloraz różnicowy dla S 0 = O 0 \{ 0 } sąsiedztwo punktu Zauważ, że ilorazy różnicowe I z jednej strony punktu 0 są niedodatnie, a z drugiej nieujemne T W pewnym punkcie c a, b funkcja f przyjmuje najmniejszą lub największą wartość na całym przedziale [a, b]; wartość ta jest równocześnie ekstremum lokalnym, zatem f c = 0 T Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji h = f fb fa b a a T3 Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji h = [fb fa]g [gb ga]f T4 Największą wartością jest 0, a najmniejszą T5 8 ln ln ln 4 T6 a 5 + ln + 5 +, b 5 + ln ln + 5 +

13 9 Powtórzenie Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [ p q r ] [ p q p r ], gdzie symbol oznacza albo alternatywę wykluczającą koniunkcję Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki Niech oznacza kreskę Shefera, tzn p q = p q Za pomocą kreski Shefera wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację 3 Zbadaj prawdziwość zdania: a R b R y R y R [ + y > 0 + y < 0], [y = 0 y = ] 4 Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a A B A C oraz A B A C, gdzie różnica symetryczną jest określona wzorem X Y = X \ Y Y \ X, b [A \ B C] oraz [A \ B C] A B C Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna 5 Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a f = tg + tg, b f = tg + π sin, π c f = ctg + arc tg, d f = ctg arc sin 6 Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a a n = n 00n + sin n 3 n + 0 n, b a n = n n n n n n n 3 + n 7 Rozważmy symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a, b 0 0, c 0 Dla dowolnego λ [0, ] w a, λ [0, ] w b oraz λ [, ] w c, podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granicy niewłaściwej do λ Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłasciwej 8 Wyznacz granicę funkcji lim 0 f, jeśli 3

14 ln a f = 4, 0 =, b f = + sin, 0 = 0, c f = , 0 =, d f = cos ln +, 0 = 0, e f = ln + sin5 ln + sin, 0 = 0 Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala 9 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f : D R, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R, jeśli a f = + arc tg3, b f = 5 + arc tg 7, c f = cos + ln +, d f = 3 + sin π 0 Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli e a dla < 0, a f = b dla = 0, sin dla > 0, b f = c f = a ln dla < 0, dla = 0, sinb 4 dla > 0, a ln 4 dla < 0, b dla = 0, dla > 0? sin arc tg8 Udowodnij, że równanie π a ln = sin 4, π b = sin 3, ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0, Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 = 4 3 Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0, jeśli a f = + e +, 0 = 0, b f = + ln, 0 = 4 Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f = Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji 4

15 a f = e sin, b f = e arc tg 6 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = 8 ln na przedziale I = [, 3] 7 Wyznacz granicę lim 0 f, jeśli a f = ln sin ln sin 3, 0 = π, b f = tg 3, 0 = 0 8 Oblicz f d, jeśli a f = e 4, b f = 3 cos 9 Oblicz całkę f d z funkcji wymiernej f = Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej a f = cos sin + 9, sin b f = cos cos + Niech symbol oznacza część całkowitą Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b a f d, jeśli: a f =, a = 0, b = 4, b f = e, a = 0, b = ln Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: a y = 0, 3y = 0, b 5 + 4y = 0, + y = 0, c y = e, y =, =, d =, y =, y = 8, 8 e y = ln, y = ln + 3 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji a f = [ cos dla 0, π ], b f = e +, dla [0,], c y = lne + dla [0, e] 5

16 Tautologia Np p = p p, p q = p p q q 3 a Zdanie prawdziwe, b zdanie fałszywe 4 L lewa strona, P prawa strona, a L P =, b L = P 5 a Dziedzina D f { = R \ { π + kπ : k Z}, 0 dla π wzór f = + kπ, kπ, tg dla [kπ, π + kπ, zbiór wartości W f = [0,, { cos dla kπ, π b D f = R \ {kπ : k Z}, f = + kπ, cos dla [ π + kπ, kπ, W f =,, c D f = [, ], f =, W f = [, ], d D f = [, 0 0, ], f = 6 a 0, b 7 Np lim lim n W f = R n 8 a 4, b e, c 3, d, e 5 + ln λ n n = λ 0,, lim + n n = n dla [, 0, dla 0, ], n n = 0, 9 a y = + π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w, b y = 5 asymptota ukośna w i w, c = asymptota pionowa prawostronna, = asymptota pionowa lewostronna, d = π asymptota pionowa, y = + π asymptota ukośna w i w 0 a a = b =, b a =, b = 8, c a = ln, b = 4 Dla różnicy funkcji wykorzystaj własność Darbou na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała Dla uzasadnienia jednoznaczności wykaż ścisłą monotoniczność różnicy funkcji na przedziale 0, Jedno rozwiązanie,

17 3 a y = +, b y = ln ln 3 4 f maleje na przedziałach, 3], [, ], rośnie na przedziałach [ 3, ], [,, przyjmuje ekstrema lokalne: 0 dwukrotnie jako minimum lokalne właściwe w punktach 0 = 3 i 0 =, 6 maksimum lokalne właściwe w punkcie 0 = 5 a f [ jest ściśle wypukła na przedziałach postaci 3 4 π + kπ, 4 π + k + π] dla k Z, f jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [ 4 π + kπ, 3 4 π + kπ] dla k Z, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci 4 π + kπ, e oraz 3 4 π + kπ, e dla k Z, b f jest ściśle wypukła na przedziale, ], ściśle wklęsła na przedziale [,, a wykres ma jeden punkt przegięcia:, e π 6 Największą wartością jest 8 ln 4, a najmniejszą 7 a, b 3 8 a 4 e 4 8 e4 + 3 e4 + C, b 3 4+ln 3 [ sin4 + 6 cos4 + C sin + ln 3 4 cos] + 3 ln 3 + C 0 a sin 3 arc tg 3 + C, b ln cos + ln cos + + C a 5, b 5 ln ln 3 a 6, b 5, c e ln, d 8 ln 7 3, e 5 3 ln 3 a π3 6 π 4, b πe6 4, c πe ln 0 Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału Zestaw A Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p q Wyznacz granicę lim a n 7 n ciągu o wyrazach a n = n + 9 n n n 3 n n 3 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = arc sin, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R 7

18 4 Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli f = sinb dla < 0, dla = 0, a + ln + e dla > 0 Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i r oraz fałszywości q 3 Po wyłączeniu przed pierwiastek 9/3 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach 3 Dziedziną naturalną jest zbiór, ] [, Nie ma asymptot pionowych Prosta o równaniu y = jest asymptotą ukośną w oraz w 4 b =, a = 0 Zestaw B Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [A B \ C] A C oraz A B C Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n n + arc tg n + arc tg n + arc tg n a n = n + n + + n 3 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = + ln, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R Uwaga: można wykorzystać wzór lim ln = 0 4 Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli arc tgb dla < 0, f = dla = 0, a + sin + 3π dla > 0 Zbiory są równe Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach 3 Dziedziną naturalną jest przedział 0, Prosta o równaniu = 0 jest asymptotą pionową prawostronną Nie ma asymptot ukośnych 4 b =, a = Zestaw C Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = sin 3π tg Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n arc tgn n sin n 8

19 3 Wyznacz granicę funkcji lim f, jeśli f = cos 0 3π oraz 0 = 3π Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala 4 Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania = 0 Dziedzina D = R \ 3 4 Jedno rozwiązanie, Zestaw D { π + kπ : k Z }, f = f + kπ = sin dla π, π, k Z Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg + Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n sin n + + n sin n n sin n n + n tg + π 3 Wyznacz granicę funkcji lim f, jeśli f = ctg 0 5π oraz 0 = 5π Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala 4 Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg = 0 Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ctg dla kπ, kπ + π f =, k Z, 0 dla kπ + π, k + π, k Z 3 4 Jedno rozwiązanie, Zestaw E Używając symboli negacji i alternatywy oraz nawiasów wyraź koniunkcję Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg π sin 3 Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n n + sin n 4 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = + arc tg, rozpatrywanej z dziedziną naturalną + D R 9

20 p q = [ p q] Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, cos dla kπ, kπ + π f =, k Z, cos dla kπ + π, k + π, k Z 3 4 Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = Zestaw F Używając symboli negacji i koniunkcji oraz nawiasów wyraź równoważność Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki π Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg arc tg 3 Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n n n n n n 3 + n 4 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = D R p q = { [p q] [ p q]} Dziedzina D = R, f = 3 + +ln, rozpatrywanej z dziedziną naturalną 4 4 Asymptota pionowa obustronna o równaniu = 0, asymptota pionowa prawostronna o równaniu =, asymptota pionowa lewostronna o równaniu = Wskazówka: dziedziną naturalną jest D =, 0 0, Zestaw G Używając symbli negacji i alternatywy, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź koniunkcję Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg + 7π sin 3 Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach a n = ln + n nn + n n 4 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = arc ctg, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R 0

21 p q = [ p q] Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, cos dla kπ, kπ + π f =, k Z, cos dla kπ + π, k + π, k Z 3 4 Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = + Zestaw H Używając symboli negacji i koniunkcji, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź alternatywę Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki 3π Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg + arc ctg 3 Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n a n = n + n 3 + n + n n + n n 3 n 4 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = naturalną D R p q = [ p q] Dziedzina D = R, f = ln, rozpatrywanej z dziedziną 9 4 Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptota pionowa prawostronna o równaniu = 3, asymptota pionowa lewostronna o równaniu = 3 Wskazówka: dziedziną naturalną jest D = 3,, 3 Drugie kolokwium Zestaw A Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0, jeśli f = ln + cos, 0 = 0 Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3y = 0 4 Oblicz e cos d

22 y = [ Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach, 3 ], [,, f jest ściśle malejąca na przedziałach, ], [ 3 ], ; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem 3 Punkty przecięcia wykresów to,, 4,, pole to np P = 3y y dy = 6 4 Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na jedą stronę, I = C Zestaw B sin + cos e + Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0, jeśli f = sin π + ln, 0 = Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f = 64 3 Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5+4y = 0, + y = 0, 4 Oblicz e 4 d y = +, 0, [4, ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd 3 Punkty przecięcia wykresów to 0, 0, 5, 5, pole to np P = y + y dy = 5 4 Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = 4 e 4 8 e4 + 3 e4 + C Zestaw C Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0, jeśli f = ln + sin, 0 = π Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = + 3 Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3 y = 0 4 Oblicz e sin d

23 y = π π + + ln π + Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach [, ], [0,, f jest ściśle malejąca na przedziałach, ], [, 0]; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem 3 Punkty przecięcia wykresów to,,, 4, pole to np P = 3 d = 6 4 Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na jedą stronę, I = C Zestaw D sin cos e + Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0, jeśli f = cos π + ln, 0 = Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5y+4 = 0, y + = 0, 4 Oblicz e d y =, 0, [ 4 3, ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd 5 3 Punkty przecięcia wykresów to 0, 0,, 5, pole to np 5 P = d = Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = e e + 4 e + C Egzamin Zestaw A Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R [p q r] p r f = + arc sin 5, 3

24 3 Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0 = 0, jeśli f = ln + sin 4 Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3y = 0 6 Oblicz e cos d Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i q oraz fałszywości r Dziedziną naturalną jest D =, 5] [5, Nie ma asymptot pionowych Prosta o równaniu y = jest asymptotą ukośną w oraz w 3 y = 4 f = , f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 5, ], [, lub przedziały otwarte, f jest ściśle malejąca na przedziałach, 5], [, ] lub przedziały otwarte; suma, np [ 5, ] [,, to błąd 5 Punkty przecięcia to,,, pole to np P = 3y y, dy = = 6 Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = Zestaw B sin + cos e + C 5 Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji π f = sin tg Wyznacz dwa pierwsze wyrazy ciągu a n n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + 3 arc cos n + n + 3 arc cos n + + n + 3 arc cos n n 3 Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 4 Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji 3 =, f =

25 5 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji dla [0,] f = e 5 6 Oblicz + e d Dziedzina D = R \ dla π, π { π + kπ : k Z }, f = sin, funkcja jest okresowa o okresie π a =, a = π 3 = + π 4 4, lim a n = n Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach 3 Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f = 3, przynajmniej jedno z własności Darbou: f0 > 0, f < 0, f < 0 Odpowiedź: f = [ 3, f = , przedziałami ścisłej wypukłości są, 0, 3, ten drugi przedział może być otwarty Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd 5 V = π e Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = + e + e + 4 e + C Zestaw C Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [A C \ B] A B, A B C Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach n 3 n + 5 n n a n = 7 n + 0 n 3 Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli f = a arc tg dla < 0, 5 dla = 0, b + sin + 7π dla > 0 4 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = ln na przedziale I = [, e] 5 Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5+y = 0, 5 + y = 0 6 Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej f = cos sin + 5

26 Zbiory są równe Po wyłączeniu przed pierwiastek 5/0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach 3 a = 5, b = 7 4 f = =, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = {f, f, fe} = {, ln, e} Łatwo f < fe Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od = maleje, zatem m =, M = ln 5 Punkty przecięcia to 5,, 0, 0, pole to np P = 0 5 y + 5 y dy = = 5 6 Podstawienie t = sin, zatem I = t + dt = 5 sin5 3 sin3 sin + C Zestaw D Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg + tg + π Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + arc tg n + n + n + arc tg n + n + + n + arc tg n n + n 3 Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg 3 = ln + e ln cos4 4 Wyznacz granicę lim f, jeśli f = 0, 0 = 0 5 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji y = ln dla [, e] 6 Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej f = Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ctg dla kπ, kπ + π f =, k Z, 0 dla [ kπ + π, k + π, k Z sin cos + 5 a = 4 + π, lim 8 a n =, można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach n 6

27 3 Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f = arc tg 3 +ln + e, przynajmniej jedno z własności Darbou: f0 = < 0, f = π 3 > 0 Odpowiedź: 0 4 Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0, otrzymujemy po pierwszym kroku 0 l 4 sin4 m = cos4 = e 5 V = π 0 8 cos4 sin4 8 4 ln d = π [ ln ] e = = π 6 Podstawienie t = 5 + cos, zatem dt I = dt = ln 5 + cos + C t + 5 Zestaw E Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p r Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0 = 0, jeśli f = ln + arc tg 3 Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y 4 = 0, 3y 4 = 0 5 Oblicz e sin d 6 Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f = sin w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku Nie jest tautologią, jest fałszywe przy fałszywości zdań p i r zdanie q dowolne f0 = 0, f = + + arc tg, f 0 =, y = 3 f = , f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 4, ], [0, lub przedziały otwarte, f jest ściśle malejąca na przedziałach, 4], [, 0] lub przedziały otwarte; suma, np [ 4, ] [0,, to błąd 4 Punkty przecięcia to,,, pole to np P = 3y 4 y 4 4, dy = = 4 7

28 5 np I = C e sin d = e cos e cos d = e cos e sin I, skąd I = 6 R k+ = k cos c k +! k+ stąd wystarczy k =, zatem sin 3 6 Zestaw F Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji π f = cos + ctg cos + sin e + Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n n arc tg n arc tg n arc tg n a n = n + n + + n 3 Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji f = Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji dla [0,] f = 5 Oblicz + 3 sin d 6 Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f = ln + w przedziale [0, ] z dokładnością do trzech miejsc po przecinku Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = cos dla 0, π, funkcja jest okresowa o okresie π a = π 4, n π n a n, lim n a n = 3 f = , f = , przedziałami ścisłej wypukłości są, 0, przedział może być otwarty Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd [ 3, ten drugi 4 V = π d = 3π ln + 3 sin d = + 3 cos cos d = + 3 cos sin + cos + C 6 R n = n n stąd wystarczy n = 3, zatem ln + n + c n 8

29 Zestaw G Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [B C \ A] B A, B A C Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach 3 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji a n = n 3 n + 5 n + 7 n + 0 n n na przedziale I = [, e ] f = ln 4 Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5+8y = 0, 5 + 4y = 0 5 Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej f = sin tg + 6 Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f = cos w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku Zbiory są równe 0 Po wyłączeniu przed pierwiastek 0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach 3 f = =, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = {f/, f, fe/} = { /, ln, e/} Łatwo f/ < fe/ Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od = maleje, zatem m = /, M = ln 4 Punkty przecięcia to 5,, 0, 0, pole to np P = 0 5 I = 85 y + 45 y dy = = 30 sin cos d = cos + C 6 R k = k cos c k stąd wystarczy k = 3, zatem cos / + 4 /4 k! 9

30 Zestaw H Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg + ctg + π Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + arc ctg n + n + n + arc ctg n + n + + n + arc ctg n n + n ln cos 3 Wyznacz granicę lim f, jeśli f = 0, 0 = 0 4 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji dla [, e] 5 Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej y = ln f = cos + ctg 6 Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f = e w przedziale [0, ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku Dziedzina D = R \ a = 3 + π, n { π + kπ : k Z }, f = n + n a n n + π n + n, lim n a n = { tg, gdy tg 0, 0, gdy tg < 0 3 Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0 0, otrzymujemy l m = e 4 V = π 0 sin cos = cos sin ln e d = π [ ln ] = = π e 5 I = sin cos d = 3 sin3 + C 6 R n = ec n! n, stąd wystarczy n = 5, zatem e 4 n=0 n n! 30

31 Zestaw I Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach 0 n 3 n n a n = n + 5 n Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja sina + dla < 0 f = 0 dla = 0 b + cos ln + e 5 dla > 0 jest ciągła w punkcie 0 = 0? 3 Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej 0 = 0 f = lncos + sin 4 Oblicz sin z dokładnością do trzech miejsc po przecinku 5 Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y 8 = 0, 3y 8 = 0 6 Oblicz e cos4 d Po wyłączeniu 0 5 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 = a {3, 3}, b = 3 y = 4 Reszta we wzorze Maclaurina dla f = sin : R n c < n! n 0 3, wystarczy n = 5, sin 48 = Punkty przecięcia to 8,,,, pole to np P = 3y 8 y 8 dy = = 48 6 Po dwukrotnym całkowaniu przez części, 4 sin4 + cos4 I = e + C 7 3

32 Zestaw J Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n7 n n7 n n7 n n 8 + n Wyznacz dziedzinę naturalną D R oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f = 3 + arc tg 3 Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji + f = Wyznacz ln, 5 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku 5 Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji dla [0,] f = 5 6 Oblicz e d Z tw o trzech ciągach, granica wynosi D = R \ { }, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = 3 3 f = , funkcja rośnie na przedziałach [ 3, ], [,, maleje na przedziałach, 3, ], [, ] dopuszczalne są przedziały otwarte Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd 4 Reszta R n c we wzorze Maclaurina dla f = ln + : R n c < n n 0, wystarczy n = 5, ln, V = π ln 5 6 Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = e e + e + C Zestaw K Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach 4 n 3 n n a n = 8 n 5 n Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja a + cos π dla < 0 f = 8 dla = 0 ln+b +4 dla > 0 jest ciągła w punkcie 0 = 0? 3

33 3 Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej 0 = 0 f = sin ln + 4 Oblicz cos z dokładnością do trzech miejsc po przecinku 5 Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 8y = 0, 3 8y = 0 6 Oblicz 7 sin d Po wyłączeniu 4 8 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 = b {, }, a = 8 3 y = 4 Reszta R n c we wzorze Maclaurina dla f = cos : R n c < n! n 0 3, wystarczy n = 5, cos 5 Punkty przecięcia to P = 3 8, 8,,, pole to np d = = 48 6 Po dwukrotnym całkowaniu przez części, cos + ln 7 sin I = + ln 7 + C 7 Zestaw L Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach + 4! 4 a n = n5 + n 6 + n5 + n n5 + n n 6 n Wyznacz dziedzinę naturalną D R oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f = + cos 3 Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji + 4 f = Wyznacz ln, z dokładnością do trzech miejsc po przecinku 5 Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji dla [0,] 6 Oblicz f = e + 7 d 33

34 Z tw o trzech ciągach, granica wynosi D = R \ { 4}, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = + 3 f = , funkcja rośnie na przedziałach [ 5, ], [,, maleje na przedziałach, 5, ], [, ] dopuszczalne są przedziały otwarte Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd 4 Reszta R n c we wzorze Maclaurina dla f = ln + : R n c < n 5 n 0 3, wystarczy n = 4, ln, V = π e Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = ln 7 ln 7 + ln C 7 34