WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

Transkrypt

1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3 n+7n n!, b n+3, c) c n = 5 n + 5 n n n+n +n, c n.. Wyznaczyć cztery początkowe wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie: a) a =, a n+ = a n 3, b) a =, a =, a n+ = na n + a n. 3. Zbadać czy podane ciągi są ograniczone z dołu, są ograniczone z góry, są ograniczone? a) a n = n + 4 n + ; b) b n = 3 n 5 n ; c) c n = n 4 n + ( )n n. 4. Które z podanych ciagów są monotoniczne? Określić rodzaj monotoniczności: a) a n = n n +, b) b n = 0n n!, c) c n = (n!) (n)! ; d) d n = n+ n+3. Który z tych ciągów jest ograniczony? 5. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że n a) ( n 4 3n ) =, b) 3 ( n n) = n 6. Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic obliczyć granice podanych ciągów: a) b n = 4 n n3 n 3 +, b) b n = n n n + c) c n = n + n +5n, d) b n = 5n +4 n 5 n 4 n,

2 e) d n = n n, f) a n = (n ) (n), g) c n = 3 8 n +4 n. 7. Korzystając z twierdzenia o 3 ciagach obliczyć granice podanych ciągów: a) a n = n+sin n 4n+, b) b n = n + n c) b n = n (n ), e) d n = n 5 + n f) d n = n 6 n n, g) g n = ( + n )n, h) c n = n + + n + + n n +n. 8. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność podanych ciągów: a) b) a n = 000n n!, b) b n = n +n. 9. Korzystając z definicji liczby e obliczyć granice podanych ciągów: a) a n = ( n+3 n )n, b) b n = ( n n+ )3n, c) c n = ( n ) n. 0. Wykorzystując twierdzenie o ciągach obliczyć granice podanych ciągów; a) a n = 3 + n n 4, b) b n = 6 n + ( ) n n, c) c n = ( + n )n.. Uzasadnić, podając odpowiednie przykłady, że poniższe wyrażenia są nieoznaczone: 0,, 0,, 0, 0, Dla każdego z ciągów opisanych rekurencyjnie podać jawny wzór na wyraz a n : a) a 0 =, a =, a n = a n + 6a n, n, b) a 0 =, a = 8, a n = 4a n 4a n, n, c) a 0 =, a =, a n = a n + 3a n, n.

3 LISTA ZADAŃ. Narysować wykres funkcji f(x) spełniającej wszystkie podane warunki: a) f(x) =, f(x) = 0, f() = 3, x + x x f(x) =, x f(x) = b) f(x) = 3, f() =, f(x) =, f(x) =, f(x) =, x + x f(x) jest parzysta f(x) ma okres równy. x 4 x 4 c) f(x) =, f() = 0, f(x) =, x + x 3. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji, uzasadnić, że x 5 x =, x x x + x = 5, x = x Uzasadnić, że podane granice nie istnieją x, x 0 x x 4 x, x 0 + sin x, 4. Obliczyć następujące granice cos x x, [x]. x 3 x x 4 x x x 5x,, x 0 + x + x 3 ( x 3 x), x ( x 0 x x ), sin 7x x 0 sin 3x, sin x x 0 x, tg 4x 3 x 0 3x, x x + cos x 3x + sin x, x 0 ( x) x, x ( + 3 x ) x, x tg x tg 3 x 5. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: a)f(x) = x 4 x 6, b)f(x) = cos x, x c)f(x) = x +sin x, d)f(x) = x + + x. 3

4 6. Czy można dobrać parametry a, b tak, aby podane funkcje były ciągłe na R a)f(x) = { ax +, gdy x π, sin x + b, gdy x > π b)f(x) = { ax, gdy x, b x, gdy x >, c)f(x) = { sin x ax, gdy x < 0, x + b, gdy x 0 7. Czy funkcja f(x) = ln x + x gdy x [, e] przyjmuje wartość π? Czy funkcja ta, nad podanym przedziałem przyjmuje wartość najmniejszą? 8. Uzasadnić, że podane równanie na rozwiązanie we wskazanym przedziale: a) x 5 + 6x 3 = 0, (0, ) b) ln x = sin x, (, e). 9. Uzasadnić,że równanie: a) x x = ma tylko jeden pierwiastek dodatni,znaleźć go w przedziale długości 0.5, b) ln x = x ma tylko jeden pierwiastek dodatni,znaleźć go w przedziale długości 0.5. LISTA ZADAŃ 3. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f(x) = x + 3, x 0 =, b) f(x) = cos 3x, x 0 = π, c) f(x) = x+ x 0 = 0.. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji: a) f(x) = x, x > 0, b) f(x) = sin 4x, x R, c) f(x) = cos x, x R. 3. Czy podane funkcje we wskazanych punktach mają pochodne? Czy mają pochodne niewłaściwe? a) f(x) = sin x, x 0 = π, b) f(x) = x, x 0 = 0, 4

5 c) f(x) = 4 3 { x, x 0 = 0, x, gdy x, d) f(x) = (x ), gdy x <, x 0 = Czy istnieje prosta styczna do wymienionych funkcji w podanych punktach? 4. Czy można dobrać parametry a, b, tak aby podane funkcje miały prostą styczną w każdym argumencie z dziedziny: a)f(x) = { x x, gdy x, ax + b, gdy x > b)f(x) = { cos x, gdy x π, ax + b, gdy x > π, 5. Korzystając z twierdzeń o różniczkowaniu obliczyć pochodne funkcji: a) f(x) = x + x + x 3 x x 3, b) f(x) = x+ x x 3, c) f(x) = ln x x d) f(x) = x cos x, e) f(x) = 3 xe x, g) f(x) = (x 4 x) tg x h) f(x) = x sin x, x 3x i) f(x) =, j) f(x) = x, 3x+ x k) f(x) = cos x, l) f(x) = (3x 4 x) 5 m) f(x) = sin( x 3 ), n) f(x) = ln(x + x + 3), p) f(x) = x 3 + 6x r) f(x) = e x +x 3, s) f(x) = x 0 x cos x t) f(x) = x x, u) f(x) = (lnx + ) x. 6. Napisać równania stycznych do podanych funkcji we wskazanyh punktach: a) f(x) = x x +, x 0 =, b) f(x) = x ln x, x 0 = e. c) f(x) = 3 x 3 +3x, x 0 =. 7. Na wykresie f(x) znaleźć punkt, w którym prosta styczna nachylona jest do osi 0x pod kątem α; a) f(x) = ln x x, α = 0, b) f(x) = x +x, α = 3 4 π. 5

6 8. Pod jakim kątem przecinają się wykresy f(x) = x oraz g(x) = x? 9. Pod jakim kątem wykres f(x) = ln x przecina oś Ox? 0. Pod jakim kątem wykres funkcji f(x) = cos(x + π ) przecina oś Oy? 6. Znaleźć pochodną rzędu n dla funkcji: a) f(x) = x, b) f(x) = x, c) f(x) = sin x 3. LISTA ZADAŃ 4. Napisać wielomian Taylora stopnia n w punkcie x 0 oraz podać postać reszty dla: a) f(x) = x +, x 0 = 3, n = 3, b) f(x) = x + ln x, x 0 =, n = 3.. Wykorzystując wzór Maclaurina obliczyć: a) sin 0. z dokładnością do , b) cos z dokładnością do , c) z dokładnością do Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na podanych przedziałach: a) sin x x x3 + x5, x 0., 6 0 b) x + + x x, x Obliczyć granice wykorzystując regulę de Hospitala: ln(cos 5x) x 0 ln(cos x), tg 4x x 0 3x, x π cos 3x x π, x ln x 00 x, ( x 0 sin x x ), x 0 x e x, + x 0 x ln x, x x, + x x e x x 00, 6

7 5. Uporządkować rosnąco ( n N, n duże): ln n, n,, n, 5 n, n, n, n n, n!, n 3, 0 n. n 6. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: a) f(x) = x ln x, b) f(x) = cos x x, c) f(x) = x d) f(x) =. x 4x 3 x +, 7. Wyznaczyć lokalne ekstrema funkcji oraz zbiór wartości funkcji: a) f(x) = x e x, b) f(x) = cos 3x + 3 cos x, c) f(x) =, x 3 +4x 4 d) f(x) = 9 x. 8. Znaleźć najwiekszą i najmniejszą wartość funkcji na podanym przedziale: a) f(x) = 3 3x x 3, x [, 3] b) f(x) = x x, x [, 4]. 9. Znaleźć wymiary prostokąta wpisanego w półkole o promieniu R, którego pole powierzchni jest największe? 0. Znaleźć wymiary pojemnika w kształcie walca o objętości V = 6πm 3, do wykonania którego zużyje się najmniej blachy.. Danych jest n liczb a, a,..., a n. Znaleźć x, dla którego suma nk= (x a k ) jest najmniejsza.. Określić przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: ln x a) f(x) = sin x, b) f(x) =, c) f(x) = x + 3 x x 5, d) f(x) = x Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i sporządzić ich wykresy: a) f(x) = x + 4x, b) f(x) = x + ln(x + ), c) f(x) = e x. LISTA ZADAŃ 5. Obliczyć całki nieoznaczone. Sprawdzić poprawność obliczeń różniczkując funkcję pierwotną: a) (x 3 3 x+x x)dx, b) ( x + x )dx, c) x 4 sin x dx, d) ctg xdx 7

8 x e) ( x 3 x )dx, f) (x + x + x )dx, g) x + dx, h) dx. x. Wyznaczyć funkcję pierwotną F (x) dla funkcji f(x) gdy; a) f(x) = x + e x i F () =, b) f(x) = x + sin x i F (0) =. 3. Metodą całkowania przez części obliczyć całki. Sprawdzić poprawność obliczeń: a) x x dx, b) x cos xdx, c) sin xdx, d) log xdx, e) ln x dx, f) x ln xdx, g) e x cos xdx, h) xarctgxdx. 4. Wykorzystując podane podstawienie obliczyć całki; a) 3x x + 7 dx, t = x +7, b) x + 3xdx, t = +3x, c) xe x dx, t = x d) x 3 e x dx, t = x e) cos 3 xdx, t = sin x f) sin 3 x cos xdx, t = sin x g) sin x cos xdx, t = sin x h) 4 x dx, x = sin t. 5. Metodą całkowania przez podstawienie obliczyć całki: a) sin 3xdx, b) cos x 3 dx, c) 4 3x dx, d) x x dx, e) x x 3 dx, f) e x ln + e dx, g) x x x dx, h) ctgxdx, 8

9 x + 3 x + 3 i) x + 3x dx, j) x + dx, k) x dx 6. Obliczyć całki z funkcji wymiernych; a) x + 7 dx, b) x x + x + 3 dx, c) + 3 x dx, d) x + x + 3x + dx, e) x x x + dx, f) x 3 + x + x dx. I to już wszystko. Wiesława Wawrzyniak-Kosz 9