Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Transkrypt

1 2 grudnia 2014

2 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2 Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie mamy pewności czy dalej będzie na czym stanać. Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporzadkowuje wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy nagłych zmian wartości funkcji, w drugim takie moga być.

3 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2 Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie mamy pewności czy dalej będzie na czym stanać. Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporzadkowuje wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy nagłych zmian wartości funkcji, w drugim takie moga być.

4 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2 Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie mamy pewności czy dalej będzie na czym stanać. Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporzadkowuje wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy nagłych zmian wartości funkcji, w drugim takie moga być.

5 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2 Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie mamy pewności czy dalej będzie na czym stanać. Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporzadkowuje wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy nagłych zmian wartości funkcji, w drugim takie moga być.

6 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2 Dlaczego nie dobiegamy do półki skalnej? Ponieważ nie mamy pewności czy dalej będzie na czym stanać. Rozważmy funkcję, która w każdym punkcie przyporzadkowuje wysokość terenu. W pierwszym wypadku nie mamy nagłych zmian wartości funkcji, w drugim takie moga być.

7 Definicja ciagłości w punkcie. Definicja Funkcję f : D x f (x) R nazywamy ciagł a w punkcie x 0 D jeżeli ɛ>0 δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) < ɛ.

8 Interpretacja pojęcia ciagłości. Niech dziedzina funkcji będzie droga po której poruszamy się samochodem, a wartościa wysokość powierzchni drogi. Funkcja ciagła to taka która nie ma nagłych zmian wartości. Jak interpretować nagła zmianę wartości. Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm (krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako nagłej. Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest akceptowalny. Czym zatem jest ɛ i δ?

9 Interpretacja pojęcia ciagłości. Niech dziedzina funkcji będzie droga po której poruszamy się samochodem, a wartościa wysokość powierzchni drogi. Funkcja ciagła to taka która nie ma nagłych zmian wartości. Jak interpretować nagła zmianę wartości. Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm (krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako nagłej. Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest akceptowalny. Czym zatem jest ɛ i δ?

10 Interpretacja pojęcia ciagłości. Niech dziedzina funkcji będzie droga po której poruszamy się samochodem, a wartościa wysokość powierzchni drogi. Funkcja ciagła to taka która nie ma nagłych zmian wartości. Jak interpretować nagła zmianę wartości. Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm (krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako nagłej. Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest akceptowalny. Czym zatem jest ɛ i δ?

11 Interpretacja pojęcia ciagłości. Niech dziedzina funkcji będzie droga po której poruszamy się samochodem, a wartościa wysokość powierzchni drogi. Funkcja ciagła to taka która nie ma nagłych zmian wartości. Jak interpretować nagła zmianę wartości. Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm (krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako nagłej. Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest akceptowalny. Czym zatem jest ɛ i δ?

12 Interpretacja pojęcia ciagłości. Niech dziedzina funkcji będzie droga po której poruszamy się samochodem, a wartościa wysokość powierzchni drogi. Funkcja ciagła to taka która nie ma nagłych zmian wartości. Jak interpretować nagła zmianę wartości. Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm (krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako nagłej. Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest akceptowalny. Czym zatem jest ɛ i δ?

13 Interpretacja pojęcia ciagłości. Niech dziedzina funkcji będzie droga po której poruszamy się samochodem, a wartościa wysokość powierzchni drogi. Funkcja ciagła to taka która nie ma nagłych zmian wartości. Jak interpretować nagła zmianę wartości. Podczas parkowania różnica wysokości około 12 cm (krawężnik) jest akceptowalna - nie traktujemy jej jako nagłej. Przy podróży po autostradzie uskok 12 cm nie jest akceptowalny. Czym zatem jest ɛ i δ?

14 Interpretacja pojęcia ciagłości - cd. Przyjmijmy ɛ = 15cm. 1 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na krawężnik podczas parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy 2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 2. 2 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na próg spowalniajacy (zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 20cm. 3 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.tym samym δ = 1m. a prawdopodobnie może być większa.

15 Interpretacja pojęcia ciagłości - cd. Przyjmijmy ɛ = 15cm. 1 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na krawężnik podczas parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy 2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 2. 2 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na próg spowalniajacy (zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 20cm. 3 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.tym samym δ = 1m. a prawdopodobnie może być większa.

16 Interpretacja pojęcia ciagłości - cd. Przyjmijmy ɛ = 15cm. 1 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na krawężnik podczas parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy 2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 2. 2 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na próg spowalniajacy (zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 20cm. 3 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.tym samym δ = 1m. a prawdopodobnie może być większa.

17 Interpretacja pojęcia ciagłości - cd. Przyjmijmy ɛ = 15cm. 1 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na krawężnik podczas parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy 2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 2. 2 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na próg spowalniajacy (zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 20cm. 3 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.tym samym δ = 1m. a prawdopodobnie może być większa.

18 Interpretacja pojęcia ciagłości - cd. Przyjmijmy ɛ = 15cm. 1 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na krawężnik podczas parkowania. Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansy 2cm - najeżdżamy na krawężnik, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 2. 2 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na drodze odpowiadajacy najeżdżaniu na próg spowalniajacy (zakładamy, że jest niższy niż 15 cm.) Wówczas wiemy, że po pokonaniu dystansu 20cm - połowa szerokości progu, przyrost wysokości będzie mniejszy niż 13cm. Tym samym δ = 20cm. 3 Rozważmy punkt dziedziny funkcji, jako punkt na autostradzie. Możemy założyć, że na przyrost wysokości około 15cm, potrzeba na pewno ponad 1m drogi.tym samym δ = 1m. a prawdopodobnie może być większa.

19 Definicja ciagłości funkcji. Zwróćmy uwagę, że w każdym punkcie można było dobrać δ do ustalonego ɛ. Jeżeli zmniejszymy ɛ, potrafimy stosownie zmniejszyć δ. Definicja Funkcję nazywamy ciagł a jeżeli jest ciagła w każdym punkcie dziedziny. Czy ta funkcja może być nieciagła? Tak, np. przy idealnie pionowym krawężniku. Czy ciagła jest funkcja f : R \ {0} x 1 x R \ {0}.

20 Definicja ciagłości funkcji. Zwróćmy uwagę, że w każdym punkcie można było dobrać δ do ustalonego ɛ. Jeżeli zmniejszymy ɛ, potrafimy stosownie zmniejszyć δ. Definicja Funkcję nazywamy ciagł a jeżeli jest ciagła w każdym punkcie dziedziny. Czy ta funkcja może być nieciagła? Tak, np. przy idealnie pionowym krawężniku. Czy ciagła jest funkcja f : R \ {0} x 1 x R \ {0}.

21 Definicja ciagłości funkcji. Zwróćmy uwagę, że w każdym punkcie można było dobrać δ do ustalonego ɛ. Jeżeli zmniejszymy ɛ, potrafimy stosownie zmniejszyć δ. Definicja Funkcję nazywamy ciagł a jeżeli jest ciagła w każdym punkcie dziedziny. Czy ta funkcja może być nieciagła? Tak, np. przy idealnie pionowym krawężniku. Czy ciagła jest funkcja f : R \ {0} x 1 x R \ {0}.

22 Definicja ciagłości funkcji. Zwróćmy uwagę, że w każdym punkcie można było dobrać δ do ustalonego ɛ. Jeżeli zmniejszymy ɛ, potrafimy stosownie zmniejszyć δ. Definicja Funkcję nazywamy ciagł a jeżeli jest ciagła w każdym punkcie dziedziny. Czy ta funkcja może być nieciagła? Tak, np. przy idealnie pionowym krawężniku. Czy ciagła jest funkcja f : R \ {0} x 1 x R \ {0}.

23 Definicja ciagłości funkcji. Zwróćmy uwagę, że w każdym punkcie można było dobrać δ do ustalonego ɛ. Jeżeli zmniejszymy ɛ, potrafimy stosownie zmniejszyć δ. Definicja Funkcję nazywamy ciagł a jeżeli jest ciagła w każdym punkcie dziedziny. Czy ta funkcja może być nieciagła? Tak, np. przy idealnie pionowym krawężniku. Czy ciagła jest funkcja f : R \ {0} x 1 x R \ {0}.

24 w/g Heinego Twierdzenie Funkcja f : D x f (x) R jest ciagła w punkcie x 0 D jeżeli (xn) n=k D lim x n = x 0 lim f (x n ) = f (x 0 ). n n Tej definicji używamy raczej do wykazania, że funkcja nie jest ciagła.

25 w/g Heinego Twierdzenie Funkcja f : D x f (x) R jest ciagła w punkcie x 0 D jeżeli (xn) n=k D lim x n = x 0 lim f (x n ) = f (x 0 ). n n Tej definicji używamy raczej do wykazania, że funkcja nie jest ciagła.

26 o zachowaniu ciagłości funkcji ze względu na działania Twierdzenie Niech f, g : D x f (x) R będa funkcjami ciagłymi w pewnym punkcie x 0 D oraz λ R. Wówczas funkcje f + g, sa ciagłe w punkcie x 0. Ponadto jeżeli g(x 0 ) 0 to funkcja f g, jest prawidłowo określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 i jest w tym punkcie ciagła. fg, λf f g

27 Ciagłość złożenia funkcji i funkcji odwrotnej Twierdzenie Niech f : R D G R, g : G R. Jeżeli funkcja f jest ciagła w pewnym punkcie x 0 D oraz funkcja g jest ciagła w y 0 = f (x 0 ) G to funkcja f g jest ciagła w x 0. Twierdzenie Niech f : R a, b c, d R będzie funkcja ciagł a i wzajemnie jednoznaczna. Wówczas funkcja do niej odwrotna jest również ciagła. Uwaga Twierdzenie nie zachodzi jeżeli przedział nie jest domknięty.

28 Ciagłość złożenia funkcji i funkcji odwrotnej Twierdzenie Niech f : R D G R, g : G R. Jeżeli funkcja f jest ciagła w pewnym punkcie x 0 D oraz funkcja g jest ciagła w y 0 = f (x 0 ) G to funkcja f g jest ciagła w x 0. Twierdzenie Niech f : R a, b c, d R będzie funkcja ciagł a i wzajemnie jednoznaczna. Wówczas funkcja do niej odwrotna jest również ciagła. Uwaga Twierdzenie nie zachodzi jeżeli przedział nie jest domknięty.

29 Ciagłość złożenia funkcji i funkcji odwrotnej Twierdzenie Niech f : R D G R, g : G R. Jeżeli funkcja f jest ciagła w pewnym punkcie x 0 D oraz funkcja g jest ciagła w y 0 = f (x 0 ) G to funkcja f g jest ciagła w x 0. Twierdzenie Niech f : R a, b c, d R będzie funkcja ciagł a i wzajemnie jednoznaczna. Wówczas funkcja do niej odwrotna jest również ciagła. Uwaga Twierdzenie nie zachodzi jeżeli przedział nie jest domknięty.

30 Przykład Przykład Niech { ctgx, dla x π f (x) = 2, 0) ; 1 x, dla x > 0, wówczas { arcctgx π, dla x (, 0 ; f 1 (x) = 1 x, dla x > 0. Funkcja f jest ciagła, ale f 1 nie jest ciagła w x = 0.

31 Przykład Przykład Niech { ctgx, dla x π f (x) = 2, 0) ; 1 x, dla x > 0, wówczas { arcctgx π, dla x (, 0 ; f 1 (x) = 1 x, dla x > 0. Funkcja f jest ciagła, ale f 1 nie jest ciagła w x = 0.

32 Własność Darboux Twierdzenie Niech będzie dana ciagła funkcja taka, że f : R a, b R f (a) < 0 < f (b). Istnieje wówczas przynajmniej jeden punkt c a, b taki, że f (x) = 0. Własność powyższa można wzmocnić, stwierdzajac, że dla każdej wartości C f (a), f (b) istnieje przynajmniej jeden argument c a, b ja osiagaj acy tzn. taki, że f (c) = C.

33 Własność Darboux Twierdzenie Niech będzie dana ciagła funkcja taka, że f : R a, b R f (a) < 0 < f (b). Istnieje wówczas przynajmniej jeden punkt c a, b taki, że f (x) = 0. Własność powyższa można wzmocnić, stwierdzajac, że dla każdej wartości C f (a), f (b) istnieje przynajmniej jeden argument c a, b ja osiagaj acy tzn. taki, że f (c) = C.

34 Weierstrassa o osiaganiu kresów Twierdzenie Niech będzie dana ciagła funkcja f : R a, b R. Istnieja wówczas c, d a, b takie, że dla dowolnego x a, b zachodza nierówności f (c) f (x) f (d). Twierdzenie to mówi, że dla każdej funkcji ciagłej określonej na przedziale domkniętym istnieja argumenty w których funkcja taka osiaga wartość maksymalna i minimalna.

35 Weierstrassa o osiaganiu kresów Twierdzenie Niech będzie dana ciagła funkcja f : R a, b R. Istnieja wówczas c, d a, b takie, że dla dowolnego x a, b zachodza nierówności f (c) f (x) f (d). Twierdzenie to mówi, że dla każdej funkcji ciagłej określonej na przedziale domkniętym istnieja argumenty w których funkcja taka osiaga wartość maksymalna i minimalna.

36 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy D. Zbiór i zbiór jego punktów skupienia moga być różne, tzn. nie można postawić inkluzji w żadna ze stron.

37 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy D. Zbiór i zbiór jego punktów skupienia moga być różne, tzn. nie można postawić inkluzji w żadna ze stron.

38 Granica funkcji Definicja Niech D x f (x) R, liczbę g R taka, że x 0 D. Granica funkcji f w punkcie x 0 nazywamy ɛ>0 δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) g < ɛ.

39 definicja granicy funkcji w/g Heinego Twierdzenie Funkcja f : D x f (x) R posiada granicę g w punkcie x 0 D wtedy, i tylko wtedy gdy (xn) n=k D : lim x n = x 0 lim f (x n ) = g. n n Twierdzenie Granica funkcji jest jedyna.

40 definicja granicy funkcji w/g Heinego Twierdzenie Funkcja f : D x f (x) R posiada granicę g w punkcie x 0 D wtedy, i tylko wtedy gdy (xn) n=k D : lim x n = x 0 lim f (x n ) = g. n n Twierdzenie Granica funkcji jest jedyna.

41 ciagłość funkcji a istnienie granicy Twierdzenie Niech f : R D x f (x) R, x 0 D D. Funkcja f jest ciagła w punkcie x 0 wtedy, i tylko wtedy gdy istnieje granica funkcji w tym punkcie i jest równa jej wartości tzn. lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

42 granica funkcji a działania Twierdzenie Niech f, g : R D R, x 0 D. Jeżeli funkcje f i g posiadaja w punkcie x 0 granice - lim f (x) = a, lim g(x) = b to: x x0 x x0 1 lim x x0 (f + g)(x) = a + b, 2 lim x x0 (f g)(x) = a b, 3 lim x x0 fg(x) = ab, 4 dla każdej liczby λ R zachodzi lim x x0 λf (x) = λa, 5 f jeżeli b 0 to lim x x0 g (x) = a b, przy czym funkcja f g otoczeniu punktu x 0. jest określona w pewnym

43 twierdzenie o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim g(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi zwiazek f g h czyli istnieje ɛ taki, że dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) D zachodza nierówności f (x) g(x) h(x) to istnieje granica funkcji g w punkcie x 0 i jest równa granicy funkcji f i h w tym punkcie.

44 twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D R która posiada granicę w punkcie x 0 D. 1 Jeżeli dla pewnego a R istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi nierówność f a (tzn. istnieje ɛ > 0 taki, że dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) zachodzi nierówność f (x) a) to lim x x0 f (x) a. 2 Jeżeli lim x x0 f (x) > 0 to istnieje otoczenie x 0 w którym f > 0. Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego otoczenia x 0 otrzymamy nierówność silna f > a to dla granicy dalej mamy tylko nierówność słaba lim f (x) a. x x 0

45 twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D R która posiada granicę w punkcie x 0 D. 1 Jeżeli dla pewnego a R istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi nierówność f a (tzn. istnieje ɛ > 0 taki, że dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) zachodzi nierówność f (x) a) to lim x x0 f (x) a. 2 Jeżeli lim x x0 f (x) > 0 to istnieje otoczenie x 0 w którym f > 0. Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego otoczenia x 0 otrzymamy nierówność silna f > a to dla granicy dalej mamy tylko nierówność słaba lim f (x) a. x x 0

46 WYBRANE GRANICE FUNKCJI 1 lim x 0 a x = 1, dla a > 0, 2 lim x 0 sin x x = 1, ( ) 3 lim x x x = e, ( ) x x = e, 4 lim x 5 lim x 0 a x 1 x = ln a, dla a > 0.

47 Granice jednostronne Definicja Niech f : R D R oraz x 0 D : 1 jeżeli dla każdej liczby δ > 0 zbiór (x 0 δ, x 0 ) D, tzn. zbiór skupia się po lewej stronie punktu x 0, oraz ɛ>0 δ>0 : x D (0 < x 0 x < δ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica lewostronna funkcji f w punkcie x 0 co oznaczamy lim f (x). x x 0 2 jeżeli dla każdej liczby δ > 0 zbiór (x 0, x 0 + δ) D, tzn. zbiór skupia się po prawej stronie punktu x 0, oraz ɛ>0 δ>0 : x D (0 < x x 0 < δ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica prawostronna funkcji f w punkcie x 0 co oznaczamy lim f (x). x x + 0

48 Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę funkcji rozumiemy odpowiednia granicę jednostronna. Jeżeli ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to zachodzi następujace twierdzenie: Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D R oraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.

49 Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę funkcji rozumiemy odpowiednia granicę jednostronna. Jeżeli ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to zachodzi następujace twierdzenie: Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D R oraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.

50 Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę funkcji rozumiemy odpowiednia granicę jednostronna. Jeżeli ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to zachodzi następujace twierdzenie: Twierdzenie Niech będzie dana funkcja f : R D R oraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.

51 Granice w ± Definicja Niech f : R D R : 1 jeżeli dla każdej liczby M > 0 zbiór (M, ) D jest niepusty, oraz ɛ>0 M>0 : x D (M, ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica funkcji f w. 2 jeżeli dla każdej liczby M < 0 zbiór (, M) D jest niepusty, oraz ɛ>0 M<0 : x D (,M) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica funkcji f w.

52 Rozbieżność funkcji Definicja Niech D x f (x) R, x 0 D. Jeżeli K R δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) > K to mówimy, że funkcja f jest w x 0 rozbieżna do. Jeżeli K R δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) < K to mówimy, że funkcja f jest w x 0 rozbieżna do.

53 Rozbieżność w nieskończoności Definicja Niech f : R D R. Załóżmy, że dla dowolnego M zachodzi (M, + ) D. Wtedy: 1 lim x + f (x) = +, jeśli K R M R x D x > M = f (x) > K, 2 lim f (x) =, jeśli K R M R x D x > M = f (x) < K. Załóżmy że x + dla dowolnego M zachodzi (, M) D, wtedy 3 lim x f (x) = +, jeśli K R M R x D x < M = f (x) > K, 4 lim x f (x) =, jeśli K R M R x D x < M = f (x) < K.

54 Symbole nieoznaczone Dla szacowania granic funkcji zarówno jednostronnych jak i dwustronnych można stosować tabele znane z twierdzenia o ciagach.

55 Asymptoty poziome Definicja Niech f : R D R. Przyjmijmy, że sa spełnione założenia dotyczace dziedziny przy których poniższe granice maja sens. 1 Jeśli lim f (x) = b R, to mówimy, że funkcja f ma w + asymptotę x + pozioma o równaniu y = b. 2 Jeśli lim f (x) = b R, to mówimy, że funkcja f ma w asymptotę x pozioma o równaniu y = b. 3 Jeśli lim f (x) = b = lim f (x), to mówimy, że funkcja f ma asymptotę x + x pozioma (obustronna) o równaniu y = b.

56 Asymptoty pionowe Definicja Niech f : R D R. Przyjmijmy, że sa spełnione założenia dotyczace dziedziny przy których poniższe granice maja sens. 1 Jeśli lim x x + 0 f (x) = ±, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionowa prawostronna o równaniu x = x 0. 2 Jeśli lim x x 0 f (x) = ±, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionowa lewostronna o równaniu x = x 0. 3 Jeśli lim f (x) = ± i lim f (x) = ±, to mówimy, że funkcja f ma x x + 0 x x 0 asymptotę pionowa (obustronna) o równaniu x = x 0.

57 Asymptoty ukośne Definicja Niech f : R D R. Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptota ukośna w ( ), jeśli: lim (f (x) (ax + b)) = 0, lim x (f (x) (ax + b)) = 0. x Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptota ukośna(obustronn a), jeśli sa spełnione oba warunki. WZÓR a = f (x) lim x + x, b = lim (f (x) ax). x +

58 Przykłady asymptot Oblicz asymptoty funkcji: f (x) = x x+1, g(x) = x + e, h(x) = xarctgx, ( ) k(x) = arctg x x+1.