Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Transkrypt

1 Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x Funkcja f jest wielomianem, zatem jest dobrze określona dla każdego x R. Stąd D f = R. (b) Granice na krańcach przedziałów określoności, wnioski dotyczące asymptot poziomych i pionowych Wniosek: brak asymptot poziomych. x x3 3x = x x3 (1 3 1 x x 3 ) = ( )3 = x x3 3x = x x3 (1 3 1 x x 3 ) = ( )3 = Ponieważ funkcja jest określona dla każdego x R, więc nie ma także asymptot pionowych. (c) Miejsca zerowe Rozwiązujemy równanie f(x) = 0 x 3 3x = 0 Pierwszy pierwiastek znajdujemy podstawiając do równania małe liczby całkowite. Otrzymujemy w ten sposób, że f(1) = 0. Następnie dziey x 3 3x przez x 1 otrzymując x 2 2x 2. Licząc z delty otrzymujemy, że pierwiastki x 2 2x 2 to x = 1 3 i x = Zatem wszystkie pierwiastki funkcji f to x = 1, x = 1 3 i x = Możemy więc zapisać funkcję f w następującej postaci iloczynowej f(x) = (x (1 3))(x 1)(x (1 + 3)), z której wynika następujący poglądowy wykres: (d) Funkcję nazywamy parzystą, gdy spełnia f(x) = f( x) dla każdego x z dziedziny, natomiast nieparzystą, gdy dla każdego x zachodzi f(x) = f( x). Funkcję nazywamy okresową, gdy istnieje taka liczba T, że dla 1

2 każdego x zachodzi f(x) = f(x + T ). Najmniejszą taką liczbę dodatnią T nazywamy wtedy okresem funkcji f. Dla przykładu okres funkcji sinus to 2π. Ponieważ f( x) = x 3 3x 2 + 2, więc łatwo znajdziemy x, dla którego f(x) f( x), np. x = 2. Czyli funkcja f nie jest nieparzysta. Podobnie możemy dojść do wniosku, że funkcja f nie jest nieparzysta. Dla wykluczenia okresowości funkcji f należałoby wyliczyć f(x + T ) i sprawdzić, że dla żadnego T nie jest to równe f(x) dla wszystkich x. Jednak, ponieważ funkcja f jest wielomianem, więc jej okresowość możemy wykluczyć od razu. Żaden wielomian nie jest okresowy. Tak samo żadna funkcja wymierna (wielomian podzielony przez wielomian) nie jest okresowa. II Analiza I pochodnej Pochodna funkcji f wynosi f (x) = 3x 2 6x = 3x(x 2). Ponieważ f jest wielomianem, więc D f = R. Z postaci iloczynowej f (x) = 3x(x 2) wynika od razu, że miejsca zerowe pochodnej to x = 0 i x = 2. Poglądowy wykres pochodnej: (c) Przedziały monotoniczności Dla x (, 0) mamy f (x) > 0, więc funkcja f rośnie na przedziale (, 0). Dla x (0, 2) mamy f (x) < 0, więc funkcja f maleje na przedziale (0, 2). Dla x (2, ) mamy f (x) > 0, więc funkcja f rośnie na przedziale (2, ). (d) Ekstrema Funkcja f może posiadać ekstremum tylko w punktach, w których f (x) = 0, czyli w x = 0 i x = 2. Ponieważ pochodna zmienia znak w obu tych punktach, więc w obu jest ekstremum. Funkcja rośnie na lewo od x = 0 i maleje na prawo od tego punktu, zatem w x = 0 funkcja f ma maksimum. Na lewo od punktu x = 2 funkcja f maleje, natomiast na prawo od niego rośnie, zatem w x = 2 funkcja f ma minimum. III Analiza II pochodnej Druga pochodna funkcji f wynosi f (x) = 6x 6 = 6(x 1). 2

3 D f = R Z postaci iloczynowej f (x) = 6(x 1) wynika, że f ma jedno miejsce zerowe x = 1. Poglądowy wykres: (c) Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji Dla x (, 1) mamy f (x) < 0, więc funkcja f jest wklęsła dla x (, 1). Dla x (1, ) mamy f (x) > 0, więc funkcja f jest wypukła dla x (1, ). (d) Punkty przegięcia Druga pochodna zeruje się w punkcie x = 1, więc tylko w tym punkcie może być punkt przegięcia. Ponieważ druga pochodna zmienia też znak w punkcie x = 1, więc funkcja f ma tam punkt przegięcia. (e) Ekstrema Punkty podejrzane o ekstremum to x = 0 i x = 2 (ponieważ f (0) = 0 oraz f (2) = 0). Ponieważ f (0) < 0, więc w punkcie x = 0 funkcja f ma maksimum. Ponieważ f (2) > 0, więc w punkcie x = 2 funkcja f ma minimum. IV Tabelka (, 1 3) 1 3 (1 3, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, 1 + 3) (1 + 3, ) f f f V Wykres 3

4 Zadanie 2. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x2 + 7 x 3. Funkcja f nie jest określona dla x = 3 (dzielenie przez 0), zatem D f = R \ {3}. (b) Granice na krańcach przedziałów określoności, wnioski dotyczące asymptot poziomych i pionowych x x 3 = x 2 x x x x x 3 x 3 = = δ 0 δ x x1 + 7 x x x 3 + x 3 = = δ 0 + δ x x 3 = x x 2 x x 1 3 x1 + 7 x 2 x x 1 3 = x = W przypadku granicy lewo- i prawostronnej w punkcie x = 3 patrzymy na wartość licznika i mianownika, gdy x jest bliskie 3. W przypadku obu granic, licznik zbiega wtedy do = 16. Dla granicy lewostronnej, gdy x jest mniejsze od 3 mianownik jest małą liczbą ujemną, natomiast w przypadku granicy prawostronnej mianownik jest małą liczbą dodatnią. Ponieważ granice w nieskończoności są nieskończone, więc funkcja f nie posiada asymptot poziomych. Posiada natomiast asymptotę pionową w x = 3, ponieważ w tym punkcie ucieka do nieskończoności. (c) Miejsca zerowe Rozwiązujemy równanie f(x) = 0 x 3 = 0 4

5 Funkcja wymierna (czyli postaci wielomian przez wielomian) jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy jej licznik jest równy zero, czyli = 0. Ponieważ w tym przypadku = 28, więc funkcja f nie ma pierwiastków rzeczywistych, czyli nie ma miejsc zerowych. (d) Sprawdzając warunki na parzystość i nieparzystość dochodzimy do wniosku, że funkcja f nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Nie jest także okresowa. II Analiza I pochodnej Pochodna funkcji f wynosi D f = R \ {3}. f (x) = ( ) 2x(x 3) () = x 3 (x 3) 2 = x2 6x 7 (x 3) 2. Pochodna jest równa zero wtedy i tylko wtedy,gdy x 2 6x 7 = 0. Pierwiastki tego wielomianu to x = 1 i x = 7, zatem f (x) = (x + 1)(x 7) (x 3) 2. Aby narysować poglądowy wykres pochodnej musimy znać jej znak na poszczególnych przedziałach. Na ten znak wpływ ma licznik i mianownik. Jednak mianownik (x 3) 2 poza punktem x = 3 jest zawsze dodatni. A zatem za znak całej pochodnej będzie odpowiadał tylko licznik. Prawdziwy wykres wygląda inaczej niż zamieszczony poniżej, jednak nas interesuje tylko znak pochodnej. (c) Przedziały monotoniczności Dla x (, 1) mamy f (x) > 0, więc funkcja f rośnie na przedziale (, 1). Dla x ( 1, 7) \ {3} mamy f (x) < 0, więc funkcja f maleje na przedziale ( 1, 3) oraz (3, 7). Punkt x = 3 odrzuciliśmy, ponieważ ani funkcja, ani pochodna nie jest tam określona. Dla x (7, ) mamy f (x) > 0, więc funkcja f rośnie na przedziale (7, ). (d) Ekstrema 5

6 Funkcja f może posiadać ekstremum tylko w punktach, w których f (x) = 0, czyli w x = 1 i x = 7. Ponieważ pochodna zmienia znak w obu tych punktach, więc w obu jest ekstremum. Funkcja rośnie na lewo od x = 1 i maleje na prawo od tego punktu, zatem w x = 1 funkcja f ma maksimum. Na lewo od punktu x = 7 funkcja f maleje, natomiast na prawo od niego rośnie, zatem w x = 7 funkcja f ma minimum. III Analiza II pochodnej Druga pochodna funkcji f wynosi f (x) = ( x 2 6x 7 ) (2x 6)(x 3) 2 (x 2 6x 7)2(x 3) = (x 3) 2 (x 3) 4 = (x 3)[(2x 6)(x 3) 2(x2 6x 7)] 32(x 3) (x 3) 4 = (x 3) 4 = 32 (x 3) 3. D f = R \ {3} Licznik nigdy się nie zeruje, a zatem druga pochodna nie ma miejsc zerowych. Jednak mianownik zmienia znak w punkcie x = 3. Na lewo od tego punktu druga pochodna jest ujemna, na prawo dodatnia. Poglądowy wykres (ponownie bardzo odbiegający od rzeczywistości, jednak nas interesuje znak): (c) Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji Dla x (, 3) mamy f (x) < 0, więc funkcja f jest wklęsła dla x (, 3). Dla x (3, ) mamy f (x) > 0, więc funkcja f jest wypukła dla x (3, ). (d) Punkty przegięcia Ponieważ druga pochodna się nie zeruje, więc funkcja f nie ma punktów przegięcia. (e) Ekstrema Punkty podejrzane o ekstremum to x = 1 i x = 7 (ponieważ f ( 1) = 0 oraz f (7) = 0). Ponieważ f ( 1) < 0, więc w punkcie x = 1 funkcja f ma maksimum. Ponieważ f (7) > 0, więc w punkcie x = 7 funkcja f ma minimum. 6

7 IV Tabelka (, 1) 1 ( 1, 3) 3 (3, 7) 7 (7, ) f X f + 0 X 0 + f X V Wykres 7