10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

Transkrypt

1 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f() jest określona równaniem f() 4 f'() 6 ( ) Miejsca zerowe pochodnej to: Wykres f '() : 0, Z wykresu odczytujemy, że w przedziale 0, funkcja f() jest malejąca, a w przedziale, funkcja ta jest rosnąca Czy istnieje liczba a R, dla której funkcja dana wzorem 8 dla f() jest ciągła w punkcie? Odpowiedź uzasadnij a dla f() jest ciągła w punkcie, jeżeli istnieje granica limf() i granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie, czyli liczbie a Wykorzystując definicję wartości bezwzględnej, otrzymujemy: dla > ( ) dla < 8 ( )( ) dla > dla 8 ( )( ) Stąd: f() dla < dla ( ) ( ) a dla a dla > <

2 ( ) dla > ( ) dla < a dla Funkcja f() jest określona różnymi wzorami po lewej i po prawej stronie punktu, dlatego liczymy granice jednostronne: lim f() lim [ ( )] 8 lim f() lim ( ) 8 Granice jednostronne są różne, więc granica funkcji f() w punkcie nie istnieje Wobec tego nie istnieje taka wartość parametru a, dla którego f() byłaby ciągła w punkcie Styczna do wykresu funkcji danej wzorem f() 4 5 jest równoległa do prostej o równaniu y Wyznacz współrzędne punktu styczności Styczna ma równanie y b, a współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej funkcji w punkcie styczności: '( ),f( ) jest punktem styczności f'() f f 0, gdzie ( ) P 0 0 '( ) 6 8 5, stąd mamy: , lub f f () Otrzymaliśmy dwa punkty styczności: P,, P (,) 7 4 Wyznacz asymptoty wykresu funkcji danej wzorem y y f(), Df R \ {} A Sprawdzamy, czy istnieje asymptota pionowa w punkcie lim f() lim, bo licznik dąży do 4, a mianownik do zera po wartościach ujemnych lim f() lim, bo licznik dąży do 4, a mianownik do zera po wartościach dodatnich Wniosek: prosta o równaniu jest asymptotą pionową wykresu funkcji B Sprawdzamy, czy istnieje asymptota pozioma

3 lim f() lim lim i lim f() lim lim Wniosek: asymptota pozioma nie istnieje C Sprawdzamy, czy istnieje asymptota ukośna o równaniu y a b f() a lim lim lim f() Podobnie licząc: lim lim lim a b lim ( f() a) lim lim lim Podobnie: b lim ( f() a) lim lim lim Wniosek: Istnieje asymptota ukośna o równaniu y 5 Wyznacz ekstrema funkcji danej wzorem f() Dziedzina funkcji: < 0, ) D f f'(), D f ' (0, ) f '() Dla 0, : f '() > 0 4 Dla, : f '() < 0 4 Wniosek: Dla funkcja f osiąga maksimum, które wynosi f Przez punkt A (0,0) przechodzą dwie styczne do paraboli y 4 Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie B,C są punktami styczności Styczne mają równania y a Układ równań: y a ma dokładnie jedno y 4 rozwiązanie, bo styczna ma jeden punkt wspólny z parabolą 4 a (4 a) 0 (4 a) 0 (ma być jedno rozwiązanie)

4 (4 a) 4 a lub 4 a a 4 lub a 4 Wyznaczymy teraz współrzędne punktów styczności a) 0, więc rozwiązaniem równania (4 a) 0 jest 4 4 a 4 daje: a 4 4 ( ) 6 y a 4 4 a, co dla b) Gdy zaś weźmiemy, to rozwiązaniem równania (4 a) 0 4 a 4 4 jest y a ( 4 )( ) 4 6 Otrzymaliśmy współrzędne punktów styczności: B (, 4 6), C (,4 6) Pole trójkąta ABC: P det( AB,AC ) AB det [, 4 6], AC [, 4 6] 4 6 ( AB,AC ) ( 4 6) ( 4 6) 4 6 ( AB,AC ) 6 P det 7 Na kuli o promieniu R opisano stożek Jaka musi być wysokość stożka, aby miał on najmniejszą objętość? Dane: R SD, BD y

5 π Ile musi wynosić R, aby objętość stożka V r (R ) była najmniejsza? W BCD : r (R ) y, stąd y r (R ) Trójkąty SPD i BCD są podobne (mają takie same kąty) Wynika stąd, że: R r Ry r R r (R ) r R r (R ) r y r R r Objętość stożka: π R (R ) V R R (R ) (R ) r (R ) R R (R ) R, gdzie > R ( ) (R ) ( R)( R) (R ) R (R ) Należy teraz obliczyć, dla jakiego > R, funkcja V() osiąga minimum R ( R)( R) ( R R ) R R V'() ( R) ( R) Znak pochodnej zależy od znaku wyrażenia y R R R 4R R 4R 4R R 6R, R, R Z wykresu wynika, że dla R funkcja V () osiąga minimum R wynosi wtedy 4 R, i taka jest wysokość stożka o najmniejszej objętości 8 Wydajność pracy pewnego pracownika zmienia się w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy, i po t godzinach od jej rozpoczęcia osiąga wartość w(t) 50 9t t t O której 9 godzinie jego wydajność jest największa, jeżeli rozpoczyna pracę o godzinie 8 00? Pracownik pracuje 8 godzin, więc t 0, 8 5 w (0) 50, w(8) Wyznaczymy ekstrema funkcji w (t) w przedziale ( 0,8) w'(t) 9 t t 6, t, t 9

6 Z wykresu wynika, że funkcja w (t) osiąga maksimum dla t Wynosi ono w () Z trzech wartości: 50,, 65 największa jest 65 Wydajność pracy jest największa po 9 trzech godzinach pracy, czyli o godzinie 00 9 Wykaż, że równanie 6 0 ma w przedziale ( 0,) dokładnie jeden pierwiastek Funkcja f() 6 przyjmuje dla 0 wartość f(0), oraz dla wartość f () Zbadamy zachowanie się funkcji w przedziale ( 0,) f'() < 0 Wynika stąd, że pochodna przyjmuje tylko wartości dodatnie Stąd wniosek, że f() jest w przedziale ( 0,) rosnąca Ponieważ jest to funkcja ciągła, przyjmuje w przedziale ( 0,) każdą z wartości z przedziału (,) dokładnie jeden raz, w tym też wartość 0 Ma więc dokładnie jedno miejsce zerowe w tym przedziale 0 Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y sin sin w przedziale 0, π y(0) sin0 sin0 0 π π y sin sinπ ( ) 0 y'() cos cos cos cos cos ( ) ( cos) Zbadamy znak pochodnej Przyjmijmy cos t, t, y' (t t ), 9, t, t Z wykresu funkcji kwadratowej wynika, że funkcja osiąga ekstremum, gdy t cos W przedziale 0, π π : cos dla Wartość funkcji dla tego argumentu wynosi: Tak więc w przedziale a najmniejszą: π π π y sin sin 0, π funkcja przyjmuje największą wartość,