Analiza Matematyczna Ćwiczenia
|
|
|
- Kajetan Kubiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności funkcji 9 Całki nieoznaczone 4 Całki oznaczone 6
2 Zestaw. Ciągi i ich własności Zadanie.. Napisz kilka pierwszych wyrazów ciągu a n ) n N określonego następująco: a) a n = b) a n = n + ) n ) c) a n = )n n d) a n = sin nπ e) a n = ) n + sin nπ f) a n = ) n+ + + )n n + g) a n = n )n h) a n = + n sin nπ i) a n = + n n + cos nπ. Zadanie.. Znajdź wzór ogólny ciągu a n ) n N określonego następująco: a),, 6, 4,,... b),,, 4,, 6,... c),, 7,,, 6,... d), 4, 7,,, 6,... e) 8, 4, 4,,,... f),,,,,,,,... g) 4,,,, 4, 8,... h),,,,,,... Zadanie.. Zbadaj czy podany ciąg a n ) n N jest arytmetyczny lub geometryczny, jeśli jest, to oblicz jego sumy częściowe S, S i gdzie można sumę wszystkich wyrazów a) a n = b) a n = n )n c) a n = ) n d) a n = sin nπ e) a n = n + f) a n = n g) a n = n + 7 h) a n = n 6n i) a n = n+ j) a n = 7 n+ k) a n = ) n l) a n = )n m) a n = n! n n q) a n = n n n) a n = nn o) a n n = n p)a n n = )n n r) a n = + n + n n + s) a n = n n + 4. n Zadanie.4. Zbadaj monotoniczność oraz ograniczoność ciągu a n ) n N określonego następująco: a) a n = b) a n = n )n c) a n = ) n d) a n = sin nπ e) a n = n + f) a n = n g) a n = n + 7 h) a n = n + 6n i) a n = n+ j) a n = 7 n+ k) a n = ) n l) a n = )n m) a n = n) a n n = n + q) a n = + )n r) a n = + 4n + n n + o) a n = n p)a n n = )n n s) a n = n 4n + 4. n Renata Wiertelak
3 Zestaw. Granica ciągu Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim n + 6 ) b) lim n + n ) d) lim n + n g) lim n + j) lim n + n n 4n e) lim 4 n4 + 4n h) lim n + n n 4 k) lim n n + c) lim n 7 + n 4 + n ) f) lim n n + 6 i) lim 6n n + n 6 l) lim n n n n + m) lim n 7 n ) n) lim n )n) o) lim n n + n n+ n n+ n+ p) lim q) lim r) lim n 7 n 6 n + 4 n+ 7 n + n n n+ n+ n 7 n+ n s) lim t) lim u) lim n 7 n 6 7 n+ + 4 n 7 n + n+ Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim n + n + ) c) lim n + n e) lim n4 + n 4 + 4n g) lim n4 + n i) lim n n + 6 k) lim 4 4n + n 4 n m) lim n + n n + o) lim n + n n 8 q) lim n n n + 4 b) lim n + n 4 n d) lim 9n4 n 4 + f) lim n n n h) lim n n n n j) lim n4 n + 7 7n + l) lim n + n n) lim 9n 9n4 n 4 + p) lim 9 n4 n n r) lim n n4 + 4n 4 + n Renata Wiertelak
4 Granica ciągu Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim + n n + 4 b) lim n) n n ) n + n d) lim e) lim n n + n ) n n + g) lim h) lim n + n 7 n ) n 7 + n + j) lim k) lim n + n ) n c) lim ) n ) 7n 4 ) n +n f) lim i) lim l) lim n 9 n ) n n ) n + n 4n n ) n n + n ) n 4 n. n + Zadanie.4. Oblicz następujące granice: a) lim ) n n 6 d) lim n n + 7 n sin nπ g) lim n b) lim ) n 6n e) lim n n + n h) lim cosnπ) n + c) lim ) n n n + n f) lim n n + 6 n + i) lim sinn + ) n + n Renata Wiertelak
5 Zestaw. Granica funkcji Zadanie.. Naszkicuj wykres funkcji f : A R gdzie A R) takiej, że: a) lim f) = 7, lim b) lim f) =, lim c) lim f) =, lim d) lim f) =, lim e) lim f) =, lim f) lim f) = 4, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) = 4, lim f) =, lim f) =, lim f) = + f) = 6 + f) = + f) = 4 + f) = 7 + f) = 8. + Zadanie.. Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie podaj granice tej funkcji na krańcach przedziałów określoności: dla < ln dla > a) f) = b) f) = dla > dla < ) dla < +) dla > c) f) = d) f) = dla > ln ) dla <. Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim + 6 c) lim + ) ) d) lim ) ) b) lim e) lim 9 f) lim g) lim 4 h) lim 4 i) lim ln + ) j) lim sin + ) k) lim log 6 4 +) l) lim log ) ) m) lim sin + 4 n) lim cos +7 + o) lim sin 6 π) q) lim e + p) lim cos 4 + π) ) r) lim log + Renata Wiertelak 4 ).
6 Granica funkcji Zadanie.4. Oblicz następujące granice czasem jednostronne -) ): a) lim b) lim c) lim d) lim 9 6 e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim 4 k) lim l) lim m) lim ) + 4 n) lim log + 4 p) lim q) lim + 4 s) lim t) lim ) ++ + o) lim sin 4 π) r) lim + + u) lim Zadanie.. Wyznacz dziedzinę funkcji f i oblicz jej granice w punktach brzegowych dziedziny czyli na krańcach jej przedziałów określoności), gdy: a) f) = b) f) = ln7 ) d) f) = + 4 e) f) = 7 ln + 4) g) f) = h) f) = ln ) j) f) = e 4 k) f) = e 9 c) f) = ln ) ln) + f) f) = ln ln ) ln ) + i) f) = 4 ln ) ln ) + l) f) = e m) f) = e +6 n) f) = e 4 o) f) = e +7 p) f) = e +6 7 q) f) = e 4 r) f) = e Zadanie.6. Oblicz następujące granice: a) lim + ) b) lim d) lim + ) ) g) lim j) lim + + ) c) lim e) lim ) + h) lim ) 7 k) lim ). ) ) f) lim + i) lim ) l) lim + + ) ) Renata Wiertelak.
7 Zestaw 4. Ciągłość funkcji Zadanie 4.. Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie wyznacz jej punkty nieciągłości oraz podaj granice tej funkcji na krańcach przedziałów określoności: ln dla > ln dla > a) f) = b) f) = + dla sin dla c) f) = ctg dla < π cos dla π d) f) = e + dla ln + ) dla >. Zadanie 4.. Zbadaj ciągłość funkcji f:, +, > a) f) = b) f) =, = +, c) f) = e, <, d) f) = +, >, e) f) = sin,, = f) f) = cos, > π sin, π. Zadanie 4.. Znajdź wartość parametru a dla którego funkcja f jest ciągła: 4, +, > a) f) = b) f) = a, = a, e +, <, > c) f) = d) f) = a, + a, e) f) = sin7), a, = f) f) = cos 4, > π a, π g) f) = + e, > a, h) f) = ln + ), a +, < i) f) = sin), > a, j) f) = cos, > a,. Renata Wiertelak 6
8 4 Ciągłość funkcji Zadanie 4.4. Znajdź wartość parametrów a, b dla których funkcja f jest ciągła: +, ), a) f) = a + b, < < b) f) = a + b, < <, ), c) f) = e) f) = sin, π d) f) = a + b, < π + a + b, < f) f) = 4, a sin + b cos, > π 4 + tg, π 4, + a b, > b, < π tg), > g) f) = h) f) = sina), π a + b, a + + b, 8, > 4 i) f) = + j) f) =, > 4 a 4 + b, 4 k) f) = a + b, + ), > l) f) = b, a + ), > a, + a, m) f) = n) f) = + ) b, > b + ), > a + b, ln o) f) = ln p) f) = ln + a, >, > + ln b, a + b, q) f) = r) f) = +, < 7, > 7 a + b, 7. Renata Wiertelak 7
9 Zestaw. Szeregi Zadanie.. Napisz kilka pierwszych wyrazów oraz oblicz n-tą sumę częściową szeregu określonego następująco: a) b) n) c) + ) n n=4 d) n= sin nπ e) ) + cos nπ f) ) g) ) n h) n i) )n. ) n + sin nπ Zadanie.. Zbadaj zbieżność następujących szeregów geometrycznych i gdzie to możliwe oblicz sumę tego szeregu: a) ) n b) ) n+ c) ) n 4 7 d) ) n 7 e) ) n+ f) ) 7n+ g) ) n h) ) n+ π ) n i) ) n ) n+ j) 7) n+ ) k) ) n n+4 9 ) l) 7 ) n+ n ). n+ Zadanie.. Czy podane szeregi spełniają warunek konieczny zbieżności szeregów? a) b) n) c) n=4 sinn) d) cos n e) n=6 sin n f) g) n n + ) n h) j) n + n k) n+ n n + n + 4n + ) n i) n= sin nπ n + n + )n ) l) + ) n n+ Zadanie.4. Na podstawie kryterium porównawczego zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) 7 9n + b) n 7n + c) 4n + 7 n n d) ) n n e) g) 7 ) n 9n h) n ) n n 4 + n 4n4 + n f) )n 9n + i) )n+ 4n +. Renata Wiertelak 8
10 Szeregi Zadanie.. Na podstawie kryterium d Alemberta zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) n n! b) n n n! c) n! n n n d) n! e n e) n 7 f) n n n n g) n)! n!) j) n h) ) n+4 7 k) n n ) n 4 i) 4n 4) 7n+ ) n 4 l) n! ) 7n+ 4. Zadanie.6. Na podstawie kryterium Cauchy ego zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) ) n b) ) n n + c) 7n ) n n 7 n 4 + n d) ) 7n+ e) g) n n h) n j) ) n n + f) n ) 7n n 4 n 6n + n ) n + i) 7n + n 4 4n + n lnn + ) n 4 n+ k) )n e n l) ) n ) n 4 ) 6n. Zadanie.7. Zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) sinn!) b) n)! n+ )n+ n!n + )! c) cosn!) 4 n+ d) n n 6n g) n n 6n j) )n 7n 9n e) 7n n 6 + n h) n + )n+ n 4 k) )n+ 4 n + f) n + n 7 i) ) n+ n n 4 l) )n + n 7n + Renata Wiertelak 9
11 Zestaw 6. Pochodna funkcji Zadanie 6.. Oblicz pochodną funkcji określonej wzorem: a) f) = b) f) = + c) f) = d) f) = sin) + ln e) f) = e arc tg f) f) = 4 cos + 6 arc cos g) f) = sin + ) cos) h) f) = + e ) arc tg) i) f) = ) ln j) f) = + 6 k) f) = ln l) f) = + sin cos m) f) = + 7) n) f) = ) o) f) = lnsin ). Zadanie 6.. Oblicz pochodną funkcji określonej wzorem: 4 8 a) f) = ln) b) f) = + e c) f) = d) f) = arc sin) + e e) f) = 9e + f) f) = ln) + ln g) f) = sin 7 ) h) f) = sin 7 ) i) f) = arc tg) j) f) = 7 sin) k) f) = 4 e + + e l) f) = e + cos ) m) f) = e sin ) e cos ) n) f) = e cos) o) f) = sin) cos ) p) f) = e tg+) cos ) Zadanie 6.. Podaj wzór ogólny na n-tą pochodną funkcji f) określonej wzorem: a) f) =, b) f) = )e, c) f) = ln + ), d) f) = e, e) f) = sin, f) f) = e cos, g) f) =, h) f) = e, i) f) = cos Renata Wiertelak
12 Zestaw 7. Zastosowania pochodnej funkcji Zadanie 7.. Napisz równanie stycznej do krzywej y = f) w punkcie, f )) określonej wzorem: a) f) = +, = b) f) = + )e, = c) f) = ln ) ln), = d) f) = ln + e), = e) f) = +, = f) f) = e tg, = π 4 g) f) = ln), = e h) f) = e +, = i) f) = arc tg +, = j) f) = + +, =. Zadanie 7.. Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz następujące granice: a) lim + ln b) lim + e c) lim sin ln + d) lim ln + e) lim ln) f) lim + + e sin) g) lim h) lim 7 π cos) tg) π i) lim 9 j) lim sin 7 ) sin 4 ) k) lim π cos7) cos) l) lim π ctg) ctg) m) lim sin ) n) lim e sin e ln p) lim q) lim e e cos) cos) o) lim ln ) r) lim e e) s lim + e t) lim + ln ln u) lim + Zadanie 7.. Napisz wzór Taylora dla funkcji f) określonej wzorem: a) f) = ln, =, n = 4 b) f) =, =, n = c) f) = sin, = π, n = 6 d) f) = +, =, n = e) f) =, =, n = f) f) =, =, n = g) f) =, =, n = h) f) = +, =, n = 4 Renata Wiertelak
13 7 Zastosowania pochodnej funkcji Zadanie 7.4. Stosując wzór Maclaurina dla funkcji f) określonej wzorem: a) f) = ln + ), ln, ), n = 4 b) f) = cos, cos, ), n = c) f) = sin, sin, ), n = 4 d) f) = +, f, ), n = e) f) =, f, ), n = 4 f) f) = +, f, ), n = g) f) =, f, ), n = 4 h) f) = +, f, ), n = 4 Zadanie 7.. Wykazać, że funkcja f nie posiada ekstremów, gdy: a) f) = 4 + b) f) = 7 c) f) = + 7 d) f) = + 4 Zadanie 7.6. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: a) y = b) y = c) y = ln d) y = ln e) y = ln f) y = ln) g) y = e h) y = e i) y = e ++ + j) y = ln k) y = l) y = sin e. Zadanie 7.7. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale: a) f) = + 6, [, ] b) f) =, [, ] c) f) = 6, [, 6] d) f) = e 4, [ 4, ] e) f) = +, [, ] f) f) = ) e, [, 4] g) f) =, [, ] h) f) =, [, ] + 9 i) f) =, [, ] j) f) =, [, ] k) f) =, [, ] l) f) =, [, ] Renata Wiertelak
14 Zestaw 8. Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 8.. Wyznacz asymptoty funkcji: a) y = b) y = c) y = ln d) y = ln e) y = f) y = + 7 g) y = 7 h) y = + i) y = + j) y = k) y = + l) y = Zadanie 8.. Określ przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f) = + b) f) = 4 + c) f) = + d) f) = 4 + e) f) = f) f) = g) f) = + h) f) = j) f) = k) f) = 7 l) f) = m) f) = + + n) f) = o) f) = + p) f) = q) f) = tg r) f) = ln 6) s) f) = ln + ) t) f) = e u) f) = 4 + )e w) f) = 9 + ) ln ) f) = e 4+ y) f) = 9 + )e z) f) = 4 + ) ln Zadanie 8.. Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) y = b) y = c) y = ln e d) y = + ) e) y = ln f) y = ln) g) y = e h) y = e i) y = e + j) y = ln k) y = l) y = sin e m) y = n) y = 4 o) y = + ) + ). Renata Wiertelak
15 Zestaw 9. Całki nieoznaczone Zadanie 9.. Oblicz całki nieoznaczone: a) ) d b) ) d c) d) ) d e) ) d f) g) e + sin ) d h) 4 cos e ) d i) + 4 ) d ) + ) d cos sin ) d + ) j) d k) d l) + d m) d n) d o) d + Zadanie 9.. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części oblicz: a) e d b) e d c) + )e d d) g) j) m) e d e) sin d h) cos) d k) ln d n) e d f) + ) cos d i) sin + ) d l) ln d o) e d sin d e sin d ln + ) d ln ln ln) p) d q) d r) s) arc sin d t) arc tg d u) arc cos d Renata Wiertelak 4
16 9 Całki nieoznaczone Zadanie 9.. Stosując odpowiednie podstawienia oblicz: a) 7 ) d b) + 8) 6 ) d c) e) g) i) k) m) o) q) s) u) w) y) 4 d a) c) e) 7 d f) d) d h) ) cos + 7) d j) sin ) d l) e + d n) e d p) ln + ) d r) e 6e + 4 e 9 + e d d t) v) cos sin d ) ln d z) d b) d d) + 6 tg d f) 7 d + + d 4 d 4 + ) cos + ) d ) sin ) d + )e + d e 4 d ln4 ) d sin cos d cos 4 sin + d sin cos ln ln d d 4 6 d e sin cos d Renata Wiertelak
17 Zestaw. Całki oznaczone Zadanie.. Oblicz całki oznaczone: a) ) 9 d b) + 4d c) d d) g) j) m) p) π/4 4 e sin d e) e d h) k) π/ / d + n) ln d q) e cos sin d f) e d i) e π d l) 4 d + 9 o) ln d r) / e ln d sin e cos d d + 4 d d + 9 ln Zadanie.. Korzystając z parzystości lub nieparzystości funkcji podcałkowej oblicz: a) d) g) j) 4 4 sin d b) + d e) 4 4 d h) π π d + k) e d c) sin 4 d f) e sin d i) d + 4 l) Zadanie.. Oblicz pola obszarów ograniczonych krzywymi: π π e e+ a) y = +, y = b) y =, y = 4 e + e )d sin cos d ln + )d d + 4 c) y = +, y =, =, = 4 d) y =, + y = e) y = /, y =, = e, = f) y =, y =, y = g) = y y, = h) y = e, =, y = i) y = + sin, y =, π) j) y = /, y =, y = 4 k) y =, + y = l) y =, + y = m) y =, y = n) y = 9, + y = o) y = 6, y = 4 p) y = 7, + y = Renata Wiertelak 6
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Lista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Lista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Lista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Pochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Spis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Analiza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
![sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),](/thumbs/96/129188795.jpg "sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),")
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
ANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Pochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna
REGUŁA DE L HOSPITALA Rguła d L Hospitala Oblicz granicę: a lim b lim + f lim ln+ k lim l lim p u lim z lim + ln ln c lim g lim ln h lim ln sin q lim + v lim lim arc ctg π ln sin lnln sin d lim lim i lim
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Ćwiczenia r.
Ćwiczenia 9..8 r.. Wyznaczyć wskazane wartości, gdy spełnione są podane równania: a)sin=?,tg=; b)ctg=?,sin= π ) 7 ; π c)sin5=?,sin + =tg ; d)cos=?,+tg9 tg + π ).. Rozwiązać nierówności: a)+4 +
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
ANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia
Uniwersytet Śląski w Katowicach str.. Nazwa kierunku informatyka 2. Cykl rozpoczęcia 207/208Z 3. Poziom kształcenia studia pierwszego stopnia (inżynierskie) 4. Profil kształcenia ogólnoakademicki 5. Forma
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:
Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].
![Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].](/thumbs/52/29403268.jpg "Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].")
RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY I KOLOKIUM Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. Symbol p oznacza zaprzeczenie zdaniap.