(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

Transkrypt

1 . Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 ) (7) + 3. w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny. Zadanie 2. Obliczyć f () jeśli () 3 (2) 3 4 (3) 2 e (4) (5) sin cos (6) ln arctg+ 3 (7) sin arctg+ln 3 (8) 3 cos arc sin + 3 (9) arc sin + 5 cos (0) ln + 5 e cos () 2 e 2 (2) (3) arc cos 2 (4) sin(cos 2 ) (5) ln (6) 2 (7) (sin 2) tg. (8) arc cos 2 (9) 3 +2 e 2 (20) arctg 2 (2) 3 sin 2 (22) tg ctg π 4 (23) cos 2 + (24) e2 e 2 + (25) ln 2 e (26) ln 3 (27) + 4 ln (28) cos (3 + ) + (29) + 8 ctg (2 + ) cos(2 + ) (30) 3 + arctg(2 ) (3) ln( (32) arc cos 4 4 ( + 3 ln + 2 (33) arcctg 3 (34) sin (35) (sin ) cos (36) (ln ). 4 + ) ) Zadanie 3. Sprawdzić czy funkcja y() = ln spełnia równanie 2y = y + ln y. Zadanie 4. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie 0 gdy () ln 0 = e (2) = 0 (3) 3 0 = 2 (4) 2 tg 2 0 = π 8 (5) tg 2 π 2 0 = 2 (6) ln( ) 0 = 0 (7) e 2 0 = 0 (8) arctg( 2 ) 0 =. Zadanie 5. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością

2 2 e + dla < () + dla < 0 sin dla 0 < 2π. sin 2 dla 2π < < 0 (2) dla 0 < 2 dla. ( + 3) dla (3) 3 dla < 0 cos ( ) 2 + π 2 dla 0 < < 2π. Zadanie 6. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością sin dla 2π < < 0 2 dla 0 < e dla. Zadanie 7. Dobrać wartości parametrów a b c oraz d tak aby funkcja f : R R określona warunkiem a + b dla 0 c 2 + d dla 0 < dla > 3 była różniczkowalna w całym zbiorze R. Zadanie 8. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak aby funkcja f : R R określona warunkiem a + dla < 2 3 dla 2 < b dla 3 była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R? Zadanie 9. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej 3 ( 2 2) 2 na przedziale 2 3. Zadanie 0. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej ln 2 na przedziale e e. Zadanie. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością () na przedziale 3 (2) sin (2) na przedziale π 2 π 2 (3) + cos 2 na przedziale π π 2 (4) e 2 (+) na przedziale 2 2 (5) 2 na przedziale ( 2 (6) e 2 na przedziale ( 2 (7) 2 na przedziale 2 (8) ln na przedziale e e 2

3 . ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 3 (9) ( ) 2 na przedziale 2. Zadanie 2. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością: () ln ( + 2) (2) 2 ln ( + 2) ln (2 + 3) (3) log (22 +2+) 3 (4) log (32 3+) 2. Zadanie 3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: () (2) 3 ( 2 ) 2 (3) (4) 2 sin (5) 2( ) 2 (6) 4 2 (7) (8) a+b Zadanie 4. Funkcja f określona ( )( 4) osiąga w punkcie o odciętej = 2 ekstremum lokalne równe. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć czy jest to minimum czy maksimum lokalne. Zadanie 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej log (32 3+) 2. Zadanie 6. Walec o promieniu i wysokości h oraz półkula o promieniu złączone podstawami tworzą bryłę o objętości V. Dla jakiego pole powierzchni tej bryły jest najmniejsze? Zadanie 7. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża się k(v) = a + bv 3 gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla każdego statku oddzielnie natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych kosztach? Zadanie 8. Znaleźć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu R. Zadanie 9. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R żeby jego powierzchnia boczna była największa? Zadanie 20. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 00 m 2 którego jeden bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości wynosi 30 zł a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z pozostałych trzech boków jest równy 20 zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary skweru by koszt ogrodzenia był najmniejszy? Zadanie 2. Napisać równanie stycznej do krzywej y = wiedząc że współczynnik kierunkowy tej stycznej jest równy 2. Zadanie 22. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y = 2 2 jest równoległa do prostej y = 2 + 3? Zadanie 23. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach oraz g() = 2? Zadanie 24. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej (+) 2 2 dla R \ {2}. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0 =.

4 4 Zadanie 25. Na wykresie funkcji (a) 3 (b) sin wyznaczyć punkty w których styczna jest równoległa do prostej y =. Zadanie 26. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ( + )2 () 2 + (2) 2 4 (3) 8 2 (4) (5) + 2 (6) (7) ( 2 ) 2 3 ( 2 + ) 2 3 (8) 3 ( ) 2 3 ( + ) 2 (9) (0) 2. Zadanie 27. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej < 3 = > 3 na przedziale 4. Zadanie 28. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { 3 3 ( )2 dla < 3 ( 2) 2 dla 3 na przedziale 0 4. Zadanie 29. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { ln +2 dla < 2 3 (2 2) 2 dla 2 na przedziale 3 3. Zadanie 30. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { ln + dla < 3 (2 4) 2 dla na przedziale 2 4. Zadanie 3. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { 3 (2 + 4) 2 dla ( ) dla > na przedziale 4 3. Zadanie 32. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { 3 (2 + 3) 2 dla 0 dla > 0 na przedziale 4 2.

5 . ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 5 Zadanie 33. Zbadać przebieg zmienności funkcji f określonej 2 e. Zadanie 34. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością: ( ) () ( + )e (+) 2 (3) ln + e (2) ( )e ( ) 2 (4) e 2. Zadanie 35. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: () ln 2 (2) e (3) ln( + 2 ) (4) 3 ( 2 ) 2 3 ( 2 + ) 2 (5) e 2 (6) ln (7) ln 2 2 ln. Zadanie 36. Korzystając z twierdzenia Lagrange a pokazać że dla n N \ {} zachodzi nierówność: nb n (a b) a n b n < na n (a b) Zadanie 37. Korzystając z twierdzenia Lagrange a pokazać że dla 0 < y < 2 π zachodzi nierówność: y y cos 2 tg tg y y cos 2 Zadanie 38. Wykazać że dla < 0 prawdziwa jest nierówność ln( + 2 ) 2arctg. Zadanie 39. Wykazać że dla (0 ) prawdziwa jest nierówność ln 2e.