Pochodna i jej zastosowania
|
|
- Zdzisław Baranowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h) f( 0) to h 0 h nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie 0 i oznaczamy f ( 0 ). Jeżeli pochodna istnieje w każdym puncie pewnego zbioru D, to przyporządkowanie każdemu D liczby f () nazywamy funkcją pochodną. Mówimy, że f() jest różniczkowalna w D. Interpretacja geometryczna pochodnej Pochodna f ( 0 ) jest równa tangensowi kąta jaki tworzy styczna do wykresu f() z osią układu O w punkcie 0. Równanie tej stycznej to: y y 0 = f ( 0 )( 0 ). Funkcja różniczkowalna jest ciągła. Twierdzenie odwrotne jest nieprawdziwe (np. f() = nie jest różniczkowalna chociaż jest ciągła w punkcie 0 = 0). Interpretacja fizyczna pochodnej Jeżeli t oznacza czas a s(t) jest długością drogi od początku ruchu do chwili t wtedy s (t 0 ) t 0 s(t 0+ t) s(t 0) t jest prędkością chwilową tego ruchu w chwili t 0. Definicja pochodnej Formalnie rzecz biorąc pochodna w punkcie jest granicą ilorazów różnicowych. Jednak do praktycznego liczenia pochodnych wystarczy znać wyłącznie pochodne funkcji elementarnych oraz kilka podstawowych wzorów. Pochodne funkcji elementarnych ˆ ( n ) = n n dla n R, w szczególności: (c) = 0 () = ( ) = ( ) = 2 ˆ (e ) = e, (a ) = a ln a, (ln ) =, (log a ) = ln a ˆ (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tg ) = cos 2, (ctg ) = sin 2 ˆ (arcsin ) =, (arccos ) =, (arc tan ) = +, (arc ctg ) = + Tych wzorów warto nauczyć się na pamięć, bo sprawdzanie za każdym razem pochodnej danej funkcji w tablicach (nawet jeśli te tablice ma się akurat pod ręką) jest czasochłonne. Liczenie pochodnych ˆ Pochodna sumy (różnicy) funkcji to suma (różnica) pochodnych: (f() ± g()) = f () ± g () ˆ Stałą zawsze można wyłączyć przed pochodną: (af()) = af () ˆ Pochodną iloczynu oblicza się według wzoru: (f()g()) = f ()g() + f()g () Liczenie pochodnych ˆ Pochodną ilorazu oblicza się według wzoru: ( f() g() ) = f ()g() f()g () (g()) 2 ˆ Pochodną funkcji złożonej oblicza się według wzoru: [f(g())] = f (g()) g () ˆ Pochodna funkcji odwrotnej przy pewnych założeniach to: (f ) ( 0 ) = Przykładowe pochodne ( sin ln ) = cos ( e ) = ( ) e + (e ) = 2e + e = e (2 + ) ( 2 ) = (2 ) e (e ) = 2e e = 2 2 e (e ) 2 e 2 e Nieznacznie trudniejsze jest obliczanie pochodnej funkcji złożonych: (sin(ln( + 4))) =... Póki nie nabierze się wprawy można podstawić za wnętrze funkcji zmienną t, tak aby nowa funkcja od t była funkcją elementarną:... = (sin t) t=ln(2 +4)=... Przykładowe pochodne Następnie obliczamy pochodną funkcji elementarnej, pamiętając o domnożeniu przez pochodną funkcji wewnętrznej (czyli tej za którą wstawiliśmy zmienną t):... = cos t t t=ln(2 +4)=... i wracamy do podstawienia: f (y 0)
2 Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 2... = cos(ln( + 4)) (ln( + 4)) =... I tak dalej. Jeśli nabierze się już wprawy, to można darować sobie wprowadzanie nowej zmiennej i liczyć w pamięci - pochodna logarytmu to odwrotność tego co w środku razy pochodna tego co w środku :... = cos(ln( + 4)) +4 (2 + 4) Kolejne przykłady pochodnych (2 ln tg 2 ) = 2 ln tg 2 ln 2 tg cos 2 2 (najbardziej zewnętrzną funkcją jest 2 t, stąd zaczynamy od liczenia jej pochodnej, a następnie domnażamy przez pochodną funkcji wewnętrznej) (e 2 arcsin ) = (e 2 ) arcsin + e 2 (arcsin ) = e 2 2 arcsin + e 2 Kolejne przykłady pochodnych Jeszcze jednym typem pochodnej jest pochodna z funkcji typu f() g() Oblicza się ją korzystając z przekształcenia: f() = e ln f() skąd f() g() = e g() ln f() i już mamy do czynienia ze zwykłą funkcją złożoną. Przykładowo: ( sin ) = (e sin ln ) = e sin ln (sin ln ) = sin (cos ln + sin ) Reguła de l Hospitala Jednym z wielu zastosowań pochodnych jest reguła de l Hospitala, czyli metoda obliczania granic w przypadku niektórych wyrażeń nieoznaczonych. Reguła ta to jedno z najsilniejszych narzędzi do obliczania granic. f() Jeśli obliczamy granicę (w punkcie lub w nieskończoności): i obie funkcje f, g dążą jednocześnie do zera lub a g() do nieskończoności, czyli mamy do czynienia z nieoznaczonością typu [ 0 0 ] lub [ ], to granicę można obliczyć według f() wzoru: a g() f () (o ile granica po prawej stronie istnieje) a g () Reguła de l Hospitala Przykłady: e e l Hospitala: (e e )... = (H) () ln sin 2 ln sin 2 tg tg 2 = (H) = 2 cos 2 2 cos 2 2 =... Łatwo widać, że mamy do czynienia z nieoznaczonością typu [ 0 ], zatem możemy użyć reguły de 0 = (H) = e + e = 2 2 cos 2 sin 2 cos sin = cos 2 2 cos 2 = Reguła de l Hospitala Niektóre inny typy nieoznaczoności można doprowadzić do postaci w której można użyć reguły de l Hospitala: ˆ Nieoznaczoność typu [0 ] Jeśli w iloczynie dwóch funkcji jedna dąży do zera, a druga do nieskończoności, możemy odwrócić (w sensie liczbowym) którąkolwiek z nich i w ten sposób otrzymać nieskończoność z założeń reguły de l Hospitala: (e ) ctg =... Oczywiście e dąży w zerze do zera, a ctg do nieskończoności. Ale: ctg = tg więc nasza granica jest równa: e = (H) tg Reguła de l Hospitala e cos 2 = ˆ Nieoznaczoność typu [ ] W takim wypadku można sprowadzić wyrażenie z którego liczymy granicę do wspólnego mianownika: ( sin ) sin sin = (H) = cos sin = (H) sin + cos 2 cos sin = 0 ˆ Nieoznaczoności typu [0 0 ], [ 0 ], [ ] W takim wypadku używamy podobnego przekształcenia jak w wypadku liczenia pochodnej funkcji typu f() g() : e ln ln = e (ostatnie przekształcenie wynika z ciągłości funkcji e ) Policzymy osobno granicę z wykładnika: 2
3 Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 3 ln ln = (H) więc nasza granica to: e 0 = ( ) = 0 Reguła de l Hospitala Zadanie: Obliczyć ln( + ) Po prostu należy wyłączyć przed nawias. Ćwiczenia Oblicz pochodne funkcji: 2 ln( + ) 2 ( ln( + )) = ln( + ) = a) f() = e sin g) f() = b) f() = sin h) f() = e 2 + sin cos e c) f() = 2 tg i) f() = earcsin sin 3 2 d) f() = sin e 2 + j) f() = ln sin( + ) e) f() = ( + ) 202 k) f() = arcsin f) f() = arcsin ln arc tan l) f() = (sin ) Ćwiczenia Oblicz granice: a) cos e b) sin 2 c) arc tan d) e) ( ctg ) (e e ) 2 f) cos g) ( sin 2 ) h) tg 2 π i) ( ) tg 2 π j) ( ln ( + )) k) +( + )ln + 2 ( ) = = 2 l) ( 2 π arc tan ) Ekstremum funkcji i monotoniczność Funkcja f() ma w punkcie 0 maksimum lokalne jeżeli istnieje sąsiedztwo S punktu 0, że S że S przedziału to f ( 0 ) = 0. f() < f( 0 ). Funkcja f() ma w punkcie 0 minimum lokalne jeżeli istnieje sąsiedztwo S punktu 0, f() > f( 0 ). Jeżeli funkcja f() jest różniczkowalna w przedziale otwartym i ma ekstremum w puncie 0 z tego Ekstremum funkcji i monotoniczność Jeżeli f() jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu 0 i jest ciągła w puncie 0 wtedy: ˆ gdy pochodna f () przy przejściu przez punkt 0 zmienia znak z + na -, to funkcja ma maksimum w tym punkcie. Tak samo jest gdy f () > 0. ˆ gdy pochodna f () przy przejściu przez punkt 0 zmienia znak z - na +, to funkcja ma minimum w tym punkcie. Tak samo jest gdy f () < 0. Ekstremum funkcji i monotoniczność Jeżeli f() jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu 0 i jest ciągła w puncie 0 wtedy: ˆ funkcja jest rosnąca w przedziale (a,b) gdy ˆ funkcja jest malejąca w przedziale (a,b) gdy f () > 0. (a,b) f () < 0. (a,b)
4 Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 4 D D Ekstrema globalne Liczbę M nazywamy wartością największa (maksimum globalnym) funkcji f() w zbiorze D, jeśli f( ) = M f() M. D Liczbę M nazywamy wartością najmniejszą (minimum globalnym) funkcji f() w zbiorze D, jeśli f() M. Wklęsłość i wypukłość funkcji Jeżeli f() ma pochodną w puncie 0 wtedy: f( ) = M D ˆ funkcja jest wypukła w puncie 0, gdy dla pewnego sąsiedztwa punktu 0 wykres tej funkcji leży całkowicie nad styczną w tym puncie. ˆ funkcja jest wklęsła w puncie 0, gdy dla pewnego sąsiedztwa punktu 0 wykres tej funkcji leży całkowicie pod styczną w tym puncie. Mówimy, że punkt ( 0, f( 0 )) jest puntem przegięcia funkcji gdy wypukłość zmienia się na wklęsłość w 0 lub odwrotnie tzn. wklęsłość na wypukłość. Wklęsłość i wypukłość funkcji Jeżeli f () jest ciągła w pewnym przedziale otwartym (a,b) wtedy: ˆ gdy pochodna f () > 0 w tym przedziale to f() jest w tym przedziale wypukła. ˆ gdy pochodna f () < 0 w tym przedziale to f() jest w tym przedziale wklęsła. Przebieg zmienności funkcji Badając pierwszą i drugą pochodną funkcji można uzyskać informacje o samej funkcji. ˆ Pierwsza pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f () > 0, to w tym przedziale f() jest rosnąca. Jeśli w jakimś przedziale jest f () < 0, to w tym przedziale f() jest malejąca. Jeśli w jakimś punkcie jest f ( 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f () zmienia znak, to w tym punkcie jest ekstremum lokalne. Przebieg zmienności funkcji ˆ Druga pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f () > 0, to w tym przedziale f() jest wypukła. Jeśli w jakimś przedziale jest f () < 0, to w tym przedziale f() jest wklęsła. Jeśli w jakimś punkcie jest f ( 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f () zmienia znak, to w tym punkcie jest punkt przegięcia. Przykład Przykładowo jeśli chcemy znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f() =, to (po zauważeniu, że dziedzina to R) liczymy pierwszą pochodną: + f () = = 2 = ( )(+) Widać stąd, że pochodna zeruje się tylko w punktach = i w =. Nietrudno ( +) 2 ( +) 2 ( +) 2 też zbadać (metodą wężyka ), że f () > 0 w przedziale (, ) oraz f () < 0 w przedziałach (, ) i (, + ). Przykład Wnioski na temat samej funkcji można sformułować słownie, ale najwygodniej jest przedstawić je w tabelce: (, ) (, ) (, ) f () f() min ma Z tabelki można odczytać gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, a także, że ma minimum lokalne w = (równe f( ) = 2 ) oraz maksimum lokalne w = (równe f() = 2 ). Przykład Gdybyśmy natomiast chcieli znaleźć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji f() = , to trzeba znaleźć drugą pochodną: f () = f () = 2 2 = 2( )( + ) Jak poprzednio bardzo łatwo sprawdzić gdzie druga pochodna się zeruje, gdzie jest dodatnia i gdzie jest ujemna. I jak poprzednio wnioski najwygodniej zamieścić w tabelce:
5 Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 5 (, ) (, ) (, ) f () f() p.p. p.p. Jak widać punkty przegięcia są w = (wówczas f() = 2) oraz w = (wówczas f( ) = 2). Uwaga!: Jeśli badamy pełen przebieg zmienności funkcji, to w pierwszym wierszu punktami wyróżnionymi muszą być miejsca zerowe obu pochodnych oraz punkty spoza dziedziny. Przebieg zmienności funkcji Wykorzystując całą zebraną do tej pory wiedzy możemy wyciągnąć wszystkie informacje o zachowaniu funkcji, czyli zbadać tytułowy przebieg zmienności funkcji. Schemat postępowania wygląda mniej więcej tak: Zebranie wstępnych informacji o funkcji: ˆ Dziedzina (koniecznie) ˆ Miejsca zerowe (niekoniecznie, ale warto wiedzieć gdzie wykres przecina oś OX) ˆ Parzystość, nieparzystość, okresowość (opcjonalnie) Asymptoty ˆ Granice na wszystkich końcach przedziałów określoności ˆ Wnioski na temat asymptot pionowych i poziomych ˆ Ewentualne szukanie asymptot ukośnych Przebieg zmienności funkcji Badanie pierwszej pochodnej ˆ Doprowadzenie pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) ˆ Zbadanie miejsc zerowych pochodnej oraz jej znaku Badanie drugiej pochodnej ˆ Doprowadzenie drugiej pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) ˆ Zbadanie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz jej znaku Tabelka Wykres ˆ Informacje o obu pochodnych zamieszczamy w tabelce i na ich podstawie wnioskujemy na temat zachowania funkcji W rozwiązaniu powinny być uwzględnione wszystkie istotne rzeczy choć nie koniecznie w podanej kolejności. Przykład Zbadajmy funkcję f() = e. Oczywiście jej dziedzina to D f = (, 0) (0, + ). Widać też, że w dziedzinie funkcja nie ma miejsc zerowych. Poszukajmy zatem asymptot, zaczynając od liczenia granic na końcach przedziałów określoności: e = [ 0 ] = 0 + e = (H) + e = + e = [ 0 ] = + e = [ ] = + Możemy zatem wywnioskować, że obustronną asymptotą pionową jest +0 = 0, lewostronną asymptotą poziomą jest y = 0, natomiast nie ma asymptoty poziomej prawostronnej. Analogiczny rachunek (dwukrotnie użyta reguła de l Hospitala) pokazuje, że nie ma też prawostronnej asymptoty ukośnej. Przykład Przejdźmy więc do analizy pochodnych. Mamy: oraz f () = e e f () = e e ( ) 2 = e ( ) Łatwo widać, że pierwsza pochodna zeruje się w jedynce, dla argumentów mniejszych 4 od jedynki jest ujemna, a dla większych od jedynki dodatnia. Natomiast druga pochodna nie ma miejsc zerowych, ale jest dodatnia dla iksów dodatnich i ujemna dla ujemnych. Zamieśćmy te informacje w tabelce: Przykład = e ( 2+2) 3 (, 0) 0 (0, ) (, ) f () 0 + f () + + f() min
6 Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str 6 Minimum lokalne w jedynce jest równe f() = e Wypełnianie tabelki należy zacząć od pierwszego miejsca - wyróżniamy w nim wszystkie miejsca zerowe obu pochodnych, punkty które wypadły z dziedziny oraz wszystkie przedziały między tymi punktami. Następnie uwzględniamy dziedzinę, to znaczy wykreślamy te miejsca, w których funkcja i jej pochodne nie istnieją. Później wypełniamy kolejne wiersze, zapisując w nich informacje uzyskane przy badaniu obu pochodnych (tzn. znak i miejsca zerowe), a na koniec uzupełniamy ostatni wiersz na podstawie dwóch wcześniejszych. Przykład Na końcu na podstawie asymptot i tabelki możemy zrobić wykres funkcji: Ćwiczenia Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: a) f() = b) f() = 3 +2 c) f() = +2 d) f() = ( 3)e Znajdź przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f() = b) f() = ln( + 4) c) f() = ( + )e d) f() = ln Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) f() = e b) f() = 2
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy:
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Granica funkcji
Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoWYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoII. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPoziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu
Plan wynikowy klasa 2g - Jolanta Pająk Matematyka 2. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowo1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
Bardziej szczegółowo