Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Transkrypt

1 Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz

2 Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w sąsiedztwie punktu 0 to liczba g jest granicą funkcji f () w punkcie 0, gdy: ɛ>0 σ>0 ( 0 σ, 0 ) ( 0, 0 +σ) Oznaczenie: lim f () = g 0 Inne przykłady definicji granic to: lim f () = g f () = M lim + 0 ɛ>0 M σ>0 >M g ɛ < f () < g + ɛ g ɛ < f () < g + ɛ ( 0, 0 +σ) f () > M

3 Granica funkcji Granica funkcji f () w punkcie 0 istnieje i jest równa g wtedy i tylko wtedy gdy istnieją granice jednostronne i są sobie równe czyli lim f () = lim f () = g Jeżeli istnieją granice: lim f 1 () = g 1 oraz lim f 2 () = g 2 to: 0 0 lim [f 1 () + f 2 ()] = g 1 + g 2 lim [f 1 () f 2 ()] = g 1 g f lim f 1 () f 2 () = g 1 g 2 lim 1 () 0 0 f 2 () = g 1 g 2 Analogicznie dla: 0 +, 0,,. Jeżeli istnieją granice: lim f 1 () = c oraz lim f 2 () = g to przy 0 c odpowiednich założeniach: lim 0 f 2 [f 1 ()] = g

4 Granica funkcji Wyrażenia nieoznaczone: [ 0 0 ], [ ], [0 ], [ ], [00 ], [1 ], [ 0 ], [ 1 0 ] Jeśli w jakiejkolwiek granicy po podstawieniu liczby do której dąży zmienna (lub nieskończoności) pojawi się którekolwiek z powyższych wyrażeń, oznacza to, że z policzeniem granicy musimy poradzić sobie jakoś sprytniej.

5 Przykłady obliczania typowych granic - Typ 1 3 lim W wypadku gdy zmienna dąży do ± a 3 funkcja jest wymierna (czyli postaci wielomian przez wielomian ), wystarczy wyłączyć przed nawias najwyższą potęgę w liczniku i mianowniku lub też podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika (w drugim sposobie należy pamiętać, że granica wielomianu w nieskończoności zależy wyłącznie od najwyższej potęgi tego wielomianu). Ogólniejsza zasada podziel przez największy kawałek mianownika często sprawdza się też w przypadku funkcji innych niż wymierne (uwaga: mowa tylko o granicy w 3+ nieskończoności!)... = lim 1 2 = = 3

6 Przykłady obliczania typowych granic - Typ 2 lim W wypadku gdy liczymy granicę funkcji wymiernej w punkcie a i wychodzi nam nieoznaczoność typu [ 0 ] 0 możemy wyłączyć z licznika i mianownika czynnik a (co wynika z tw. Bezout) i skrócić ( 2)(... = lim ) 2 ( 2)( 3) = lim = 12 1 = 12

7 Przykłady obliczania typowych granic - Typ 3 lim Jeśli pojawiają się pierwiastki oraz nieoznaczoność typu [ 0 ], 0 to najczęściej przydatne będzie pomnożenie licznika i mianownika przez tzw. sprzężenie. Sprzężeniem wyrażenia a b jest a + b. Dzięki temu po przekształceniu zerujące się wyrażenia nie będą już ( +1 2)( +1+2)(4+ 1+5) zawierały pierwiastka:... = lim 3 (4 1+5)(4+ 1+5)( +1+2) ( 3)(4+ 1+5) = lim 3 (15 5)( = lim ) 3 5( = ) 5

8 Przykłady obliczania typowych granic - Typ 4 Ważną granicą, którą trzeba zapamiętać jest: sin t t lim t 0 t = lim t 0 sin t = 1 W miejsce t może stać dowolne wyrażenie, byle było zbieżne do zera. sin 4 Przykładowe zadanie: lim 0 sin 3 Najpierw do każdego sinusa dorzucamy argument tego sinusa, a potem korygujemy wszystko, by wartość wyrażenia się nie zmieniła: sin = lim 0 4 sin = = 4 3

9 Przykłady obliczania typowych granic - Typ 5 W sytuacji gdy mamy do czynienia z nieoznaczonością typu 1, będziemy mieć do czynienia z liczbą e. Najczęściej należy wówczas skorzystać z którejś z granic: lim t ± (1 + 1 t )t = e lim t ± (1 1 t )t = 1 e

10 Przykłady obliczania typowych granic - Typ 5 Na przykład: lim ( )3 Wyrażenie w nawiasie dąży do jedynki (dlaczego?), a wykładnik do nieskończoności. Stąd wniosek, że zapewne gdzieś tu się czai e i trzeba przekształcić naszą funkcję do postaci takiej jak w którejś z dwóch powyższych podstawowych granic:... = lim ( )3 = lim ( = lim ( ) = ) = lim [( ) ] Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do e, natomiast wykładnik do 6, dlatego ostatecznie ta granica jest równa e 6

11 Przykłady obliczania typowych granic Nieoznaczoność typu [ 1 ] 0 jest nieco innego typu niż pozostałe. W przypadku takiej nieoznaczoności należy policzyć granice lewo- i prawostronną: jeśli istnieją, to równe są + lub. Granica funkcji będzie istniała wyłącznie, jeśli granice jednostronne będą istniały i będą równe. 1 Przykładowo, jeśli chcemy policzyć: lim to z uwagi na pojawiającą się nieoznaczoność [ 1 ] 0 badamy granice jednostronne:

12 Przykłady obliczania typowych granic lim = lim 1 2 ( 2)(+2) = [ 1 ( 0) 4 ] = [ 1 ] 0 = + Skoro dążymy do dwójki z lewej strony, czyli po iksach mniejszych od dwóch, to 2 < 0, czyli 2 dąży do zera, ale jest stale ujemne. Ten fakt zapisuje się właśnie w powyższy sposób, stawiając znak minus przed zerem. Analogicznie: lim = lim ( 2)(+2) = [ 1 (+0) 4 ] = [ 1 ] +0 = Skoro granica lewo- i prawostronna są inne, to znaczy, że wyjściowa granica nie istnieje.

13 Ciągłość funkcji Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie 0 jeśli: Istnieje wartość w tym punkcie, czyli f ( 0 ) Istnieje granica w tym punkcie, czyli lim f () 0 Granica jest równa wartości, czyli lim f () = f ( 0 ) 0 Ponadto, jeśli funkcja jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, wtedy mówimy że funkcja jest ciągła. sin dla 0 Przykładowo funkcja: f () = nie jest ciągła 3 dla = 0 w zerze, bo co prawda ma tam wartość f (0) = 3 oraz granicę sin f () = lim = 1, ale granica nie jest równa wartości. 0 lim 0

14 Asymptoty funkcji Granice funkcji są też przydatne do wyznaczania asymptot funkcji, czyli takich prostych, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności (to znaczy gdy do nieskończoności dążą wartości lub argumenty funkcji). By znaleźć asymptoty funkcji, należy wyznaczyć najpierw dziedzinę funkcji i zapisać ją jako sumę przedziałów, następnie policzyć granice na wszystkich końcach tych przedziałów, a następnie na tej podstawie rozpoznać asymptoty: Jeśli w jakimś punkcie granica funkcji to nieskończoność, czyli: lim f () = ± to funkcja ma w tym punkcie a ± asymptotę pionową = a Jeśli w którejś nieskończoności granica funkcji jest liczbą, czyli: lim f () = a to funkcja ma w tym punkcie ± asymptotę poziomą y = a

15 Asymptoty funkcji Jeśli funkcja nie ma w którejś nieskończoności asymptoty poziomej, to można sprawdzić czy istnieją asymptoty ukośne. Jeśli poniższa granica jest niezerową liczbą: lim ± f () = a 0 oraz istnieje granica: b = lim ± (f () a) to wówczas asymptotą ukośną jest prosta y = a + b

16 Asymptoty funkcji Prześledźmy to na przykładzie. Załóżmy, że chcemy znaleźć asymptoty funkcji: f () = Oczywiście dziedziną funkcji jest D f = (, 1) (1, + ). Policzmy więc granice na wszystkich końcach przedziałów określoności: lim = lim + 1 = lim = [ 2 0 ] = lim = [ 2 ] = + lim = lim + 1 = Możemy stąd wywnioskować, że funkcja ma asymptotę pionową = 1, ale nie ma asymptot poziomych.

17 Asymptoty funkcji Skoro nie ma asymptot poziomych, to sprawdźmy czy są ukośne: f () lim = lim ± ± 2 = lim = 1 ± 1 1 oraz: b = lim ± (2 ) = lim 1 ± 1 = 1 skąd wniosek, że asymptotą ukośną jest y = + 1

18 Ćwiczenia Oblicz granice: a) lim c) lim Oblicz granice: a) lim c) lim b) lim d) lim b) lim d) lim

19 Ćwiczenia Oblicz granice: a) lim c) lim 3 Oblicz granice: a) lim 0 sin 2 sin 3 c) lim 0 ctg 5 tg 2 b) lim 1 d) lim 2 b) lim 0 tg 3 sin 4 d)* lim sin 2 2 cos cos 3 + 3

20 Ćwiczenia Oblicz granice: a) lim ( ) b) lim ( ) c) lim ( ) d) lim ( ) Znajdź asymptoty funkcji: a) f () = b) f () = +3 c) f () = d) f () = 2 + 1

21 Ćwiczenia a) Sprawdź czy następująca funkcja jest ciągła: dla 1 f () = 1 dla = 1 b) Wyznacz wartości parametru a dla którego funkcja jest ciągła w jedynce: sin( 2 1) 1 dla 1 f () = a 2 + a dla = 1