Pochodna funkcji wykład 5

Transkrypt

1 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren kukurdz (zmienna t oznaczać mogłab oznaczać czas wegetacji mierzon w tgodniach, a zmienna masie 100 ziaren kukurdz, wrażonej w gramach). Funkcja logistczna c.d. f(t) t Rsunek 1: Wkres funkcji = f 0 (t) = e 0,5t Chcem: (a) obliczć pochodną funkcji f w punkcie 0 = 5, (b) znaleźć punkt, w którm tempo wzrostu funkcji f przestaje rosnąć. Funkcja logistczna Funkcja logistczna: ogólna postać: f(t) = a 1 + be ct. Zastosowania: modelowanie wzrostu populacji zwierząt, wzrostu mas roślin, zmian w popcie na niektóre artkuł wprowadzane na rnek. Dziedziną naturalną funkcji f jest R, ale w zastosowaniach przjmujem D f = [0, ). 1

2 Prędkość wzrostu w chwili t 0 wartość przbliżona Chcąc znaleźć wartość przbliżoną prędkości wzrostu funkcji f 0 w chwili t 0 = 5 można obliczć iloraz f 0 (5 + ), (1) gdzie jest równa np. 0,01 lub 0,001. Można sprawdzić, że wrażenie (1) dla = 0,01 jest równe 4, a dla = 0,001 jest równe 4, Wrażenie (1), tzw. iloraz różnicow; jego granica prz 0 : pochodna funkcji f 0 w 0 = 5. Iloraz różnicow Definicja 1. Niech 0 R oraz niech funkcja f bedzie określona prznajmniej na otoczeniu O( 0, r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowm funkcji f w punkcie 0 odpowiadajacm przrostowi, gdzie 0 < < r, zmiennej niezależnej nazwam liczbę f = f( 0 + ) f( 0 ). Interpretacja geometrczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicow jest równa współcznnikowi kierunkowemu prostej przechodzącej przez punkt ( 0, f( 0 )) i ( 0 +, f( 0 + )) (tzw. siecznej). Interpretacja geometrczna ilorazu różnicowego c.d Rsunek 2: Sieczne do funkcji f 0 dla 0 = 5 i wartości = 3, 7, i 12. 2

3 Interpretacja geometrczna pochodnej Definicja 2 (stcznej do wkresu funkcji). Niech 0 R oraz niech funkcja cia- gła f będzie określona prznajmniej na otoczeniu 0. Prosta jest stczna do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )), jeżeli jest granicznm położeniem siecznch funkcji f przechodzacch przez punkt ( 0, f( 0 )), (, f()), gd 0. Geometrcznie stczna jest prostą, która w sąsiedztwie punktu stczności najlepiej przbliża wkres funkcji. Nie jest prawdą, że każda prosta która ma tlko jeden punkt wspóln z wkresem jest do niego stczna. Interpretacja geometrczna pochodnej- c.d Rsunek 3: Stczna jako graniczne położenie siecznch Równanie stcznej: = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ), gdzie 0 = 5. Ptanie: jak obliczać f ( 0 ) gd f jest bardziej skomplikowana niż funkcja s dana wzorem s(t) = gt2? Cz korzstając z definicji pochodnej? 2 Pochodne ważniejszch funkcji elementarnch 3

4 Wzór Zakres zmienności (c) = 0 c R ( n ) = n n 1 n N oraz R ( p ) = p p 1 p { 1, 2, 3,...} oraz 0 ( α ) = α α 1 α R \ Z, Zakres zmiennej zależ α (sin ) = cos R (cos ) = sin R (log a ) = 1 0 < a 1 oraz > 0 ln a (ln ) = 1 > 0 (a ) = a ln a 0 < a 1 oraz R (e ) = e R Pochodna f() = n Dla n N,, 0 R, 0 mam: n n 0 0 = n 1 + n n n n 1 0. Gd 0 każd ze składników sum z prawej stron równości dąż do n 1 0. Cała suma dąż zatem do n n 1 0. Uzasadnia to równość ( n ) = n n 1 dla n N. Twierdzenia o pochodnch funkcji Twierdzenie 1. (o pochodnej sum, różnic, ilocznu oraz ilorazu funkcji). Jeżeli funkcje f i g maja pochodne właściwe w punkcie 0, to (f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ); (2) (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 0 ) ; (3) (cf) ( 0 ) = cf ( 0 ), gdzie c R; (4) (f g) ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 ); (5) ( ) f ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ), o ile g( g g 2 0 ) 0. (6) ( 0 ) Pochodna funkcji złożonej Chcąc obliczć pochodną funkcji f() = 2 sin należ skorzstać z następującego twierdzenia. Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f ma pochodna w punkcie 0 i funkcja g ma pochodna w punkcie f( 0 ), to ( (g(f( 0 ))) = g (f( 0 ))f ( 0 ). 4

5 Przkład (2 cos ) = 2 cos ln 2( sin ), (e 2 ) = (e 2 )( 2) = 2e 2 Pochodna funkcji złożonej: przpadek gd funkcja wewnętrzna jest liniowa Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej wnika, że: ( f(α + β) ) = α(f (α + β)). W szczególności: ( e α ) = αe α. Pochodna funkcji logistcznej Pochodna funkcji logistcznej jest równa f(t) = a 1 + be ct. f (t) = (a) (1 + be ct ) a(1 + be ct ) (1 + be ct ) 2 = abce ct (1 + be ct ) 2. Dla a = 40, b = 5 i c = 0,5 oraz 0 = 5 otrzmujem f ( 0 ) = ,5 e 0,5 5 (1 + 5e 0,5 5 ) 2 = 4, Pochodna funkcji na przedziale Definicja 3 (pochodnej funkcji na przedziale otwartm). Funkcja ma pochodna na przedziale wted i tlko wted, gd ma pochodna w każdm punkcie tego zbioru. Funkcję określona na zbiorze, której wartości w punktach tego zbioru sa równe f () nazwam pochodna funkcji na zbiorze i oznaczam przez f. Pojęcie przedziału w analizie matematcznej Przez przedział będziem rozumieć podzbiór prostej będąc odcinkiem postaci [a, b], [a, b), (a, b] lub (a, b); półprostą postaci [a, ), (a, ), (, b] lub (, b); prostą R. 5

6 Pochodna na przedziale nie będacm zbiorem otwartm Pochodną funkcji f na przedziale I = [a, b] (oznaczm ją przez f ) określam f (), (a, b), następująco: f () = pochodna prawostronna w, = a, pochodna lewostronna w, = b. Analogicznie definiujem pochodną na innch tpach przedziałów, nie będącch zbiorami domkniętmi. Pochodną lewostronną funkcji f w 0 definiujem korzstając z pojęcia granic lewostronnej w 0 (zamiast pojęcia granic funkcji w 0 ). Analogicznie definiujem pochodną prawostronną funkcji. Pochodna funkcji logistcznej wkres Rsunek 4: Pochodna funkcji = f 0 (t) = e 0,5t Punkt przegięcia funkcji logistcznej Przedstawione wkres: punkt, w którm tempo wzrostu funkcji f 0 przestaje rosnąć": w przbliżeniu 3,22. Problem: w jaki sposób w sposób bardziej preczjn zdefiniować punkt, w którm tempo wzrostu danej funkcji przestaje rosnąć (tzw. punkt przegięcia); w jaki sposób znajdować punkt przegięcia funkcji (prz użciu metod analitcznch, a nie graficznch). Odpowiedzi: następn wkład. 6