2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

Transkrypt

1 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange a), Regułę de l Hospitala, charakteryzacje funkcji wypukłych/wklęsłych (przy pomocy stycznych, drugiej pochodnej) Wyznaczyć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x Zbadać, czy funkcja f(x) = (2x π) sin(2x) ma ekstremum w punkcie x 0 = π Wyznaczyć liczbę rozwiązań poniższych równań. (a) x + 1 = 2 arc tg x, (b) 2x + 1 x = ln x Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale. (a) f(x) = x + 2 x 2, x [1, 4], (b) f(x) = x x, x [0, 9] Znaleźć wymiary otwartego pudła maksymalnej objętości, które można otrzymać z prostokątnego kartonu o wymiarach 2m 1m poprzez wycięcie kwadratów z każdego z czterech rogów Wyznaczyć największą możliwą objętość stożka wpisanego w kulę o promieniu R > O północy statek B znajdował się 100 mil na południe od statku A. Statek A płynie na wschód z prędkością 15 mph, a statek B na północ z prędkością 20 mph. O której godzinie znajdą się najbliżej siebie? 2.8. Jak wysoka powinna być wieża o kwadratowej podstawie i danej objętości V > 0, aby koszt konstrukcji jej ścian i dachu był minimalny? Przyjmujemy, że koszt zależy od pola powierzchni Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 lub wykazać, że styczna nie istnieje Udowodnić nierówności (a) f(x) = ln(3 x) x, x 0 = 4, (b) f(x) = (cos x) x, x 0 = 0, (c) f(x) = x 1, x 0 = 1. (a) a,b R sin a sin b a b, (b) x>0 x 1 + x Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f(x) = arc tg(2x), x R. < ln(1 + x) < x.

2 2.12. Przedstawić wielomian p(x) = x 4 + x 3 + 3x 2 6x + 4 jako kombinację liniową potęg dwumianu x Ile składników w rozwinięciu Taylora funkcji e x należy zsumować aby otrzymać przybliżenie liczby e z dokładnością do 10 5? Podać otrzymane w ten sposób przybliżenie Wyznaczyć wielomian Taylora, który przybliża cos ( ) π 7 z błędem nie przekraczającym Korzystając z wielomianu Taylora stopnia n odpowiedniej funkcji wyznaczyć przybliżoną wartość podanego wyrażenia oraz oszacować błąd. (a) ln(1, 3), n = 4, (b) (1, 1) 1,2, n = Stosując rozwinięcia skończone obliczyć granice. (a) e x sin x x(1 + x), (b) x 3 x x ( ) 3/2 x x 1 2 x, (c) ( 6 x6 + x 5 6 ) x 6 x 5. x *2.17. Obliczyć granicę 1 (cos x) sin x x 2. *2.18. Zbadać zbieżność szeregu n=1 ln 8 n n (2n + 1)π sin Obliczyć granice poniższych ilorazów lub uzasadnić, że nie istnieją. tg π x (a) x 1 x x ; 2 sin x 2 sin x (b) ; x x 1 + e x (c) ; x sin x π 2 arc tg x (d) x ln ( ) ; x x x 1 (e) x 1 + ln x + x 1 ; (f) x 2x sin x x + arc tg x Obliczyć poniższe granice lub uzasadnić, że nie istnieją. (a) sin x ln x; + (b) ( 1 x sin x 1 x 2 (c) x ln x ; (d) (e) xsin x ; + x π +(ctg x)tg x. ) ;

3 2.21. Czy da się tak dobrać wartości a, b R aby funkcje f i g były ciągłe w całej dziedzinie? f(x) = Udowodnić, że x>0 k N ln x < kx 1/k. { { a+cos x dla x > 0 x 2 x bx 3 dla x 0, g(x) = +a dla x > 1 ln x bx 2 dla x Wykazać, że arc tg 1 x + arc tg x = π 2 dla x > Wyznaczyć asymptoty podanych funkcji. (a) f(x) = x3 4 x 2, (b) g(x) = xe1/x Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia poniższych funkcji. (a) f(x) = 3x+ln(1+x 2 ), (b) g(x) = ln ( x 2 + 2x + 1 dla x e x), (c) f(x) = x dla x < 1 2x x 2 dla x (Badanie przebiegu zmienności funkcji) Wyznaczyć asymptoty, przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne, przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia, a następnie naszkicować wykres funkcji. (a) f(x) = exp ( x2 2 ), (b) g(x) = x ln x, (c) h(x) = 3 x Korzystając z wypukłości/wklęsłości odpowiednich funkcji wykazać, że: (a) 2 2 x < sin x dla x ( ) 0, π π 4, (b) ( ) x π 4 < tg x dla π < x < π, 4 2 (c) ln x < 1 2 (x2 1) dla 0 < x 1, (d) ( ) x+y < 1 2 (x100 + y 100 ) dla x y. *2.28. Korzystając z wypukłości/wklęsłości odpowiednich funkcji wykazać, że ( ) 1 x + y + z 3 (sin x + sin y + sin z) sin 3 dla x, y, z [0, π], przy czym nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy gdy x = y = z W pewnym państwie poddany, który zarobił x dukatów, płaci władcy podatek wynoszący 1 2 ( x ) dukatów. Czy małżeństwu opłaca się wspólne opodatkowanie, jeśli małżonkowie płacą podwojony podatek od połowy sumy swych dochodów? Wykazać, że jeśli funkcje f i g są wypukłe oraz funkcja g jest niemalejąca, to funkcja g f jest wypukła.

4 ZADANIA DODATKOWE D2.1. Wykazać, że log 2 3 > log 3 4. D2.2. Pokazać, że punkty przegięcia funkcji f(x) = x sin x (jeśli istnieją) leżą na krzywej o równaniu y 2 (x 2 + 4) = 4x 2. D2.3. Czy funkcja wypukła musi być ciągła? D2.4. Czy da się tak dobrać wartości a, b, c R aby funkcja f była różniczkowalna w całej dziedzinie? { x a dla x 1 f(x) = ln x bxe x + c dla x < 1.

5 Pomocnik teoretyczny Twierdzenie. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x 0, być może z wyjątkiem punktu x 0. Jeśli f zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie x 0, to x 0 jest minimum lokalnym funkcji f. Jeśli f zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie x 0, to x 0 jest maksimum lokalnym funkcji f. Twierdzenie. Załóżmy, że funkcja f jest klasy C 2 w pewnym otoczeniu punktu x 0 oraz f (x 0 ) = 0. Jeśli f (x 0 ) > 0, to x 0 jest minimum lokalnym funkcji f. Jeśli f (x 0 ) < 0, to x 0 jest maksimum lokalnym funkcji f. Twierdzenie (Reguła de l Hospitala). Przypuśćmy, że funkcje f i g są różniczkowalne w otoczeniu punktu x 0 oraz zachodzi Wówczas f(x) = g(x) = 0 lub f(x) = g(x) = ±. x x 0 x x0 x x0 x x0 f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x), pod warunkiem, że druga granica istnieje. Analogiczna własność zachodzi przy x ±. Definicja. Funkcja f ma asymptotę pionową o równaniu x = x 0 jeśli f(x) = ± lub f(x) = ±. x x 0 + x x 0 Funkcja f ma asymptotę poziomą o równaniu y = a, gdzie a R, w + jeśli f(x) = a. x Analogicznie definiujemy asymptotę poziomą w. Jeśli istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że f(x) x + x = a oraz (f(x) ax) = b, x + to funkcja f ma asymptotę y = ax + b w +. Analogicznie dla. Definicja. Niech U będzie zbiorem wypukłym. Funkcję f : U R nazywamy wypukłą, jeśli x,y U λ [0,1] f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Funkcję f : U R nazywamy ściśle wypukłą, jeśli x,y U, x y λ (0,1) f(λx + (1 λ)y) < λf(x) + (1 λ)f(y).

6 Twierdzenie. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest wypukła, a jej wykres ma w punkcie x 0 (a, b) styczną, to wykres leży nie niżej niż ta styczna, tzn.: W przypadku funkcji ściśle wypukłej: x (a,b) f(x) f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). x (a,x0 ) (x 0,b) f(x) > f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Twierdzenie. Jeśli funkcja f : (a, b) R posiada na (a, b) drugą pochodną (przy czym może być a = i/lub b = + ), która jest nieujemna (dodatnia), to funkcja f jest wypukła (ściśle wypukła) na (a,b).