Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Transkrypt

1 Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a jest stałą i a > 0.. Podać przykłady ciągów (a n ) i (b n ) takich, że a) a n = b a n n = + = a R n + n + n + b n rozważyć również przypadek gdy a = 0 b) a n = b a n n = + = + n + n + n + b n c) d) e) f) g) a n = 0 b n = a nb n = 0 n + n + n + a n = 0 b n = a nb n = a 0 n + n + n + a n = 0 b n = a nb n = n + n + n + a n = b n = + a n b n = + n + n + n + a n = b n = + a n b n = a n + n + n +

2 Agata Boratyńska Zadania z matematyki h) i) a n = + n + n + a n = 0 n + n + n an = a n an = a j) a n = 0 b n = a nb n n + n + n + nie istnieje 3. Obliczyć granicę ciągu (a n ) lub uzasadnić brak granicy, jeśli a n = n 3 6n + n 4n 3 +3n 5 (n+) 3 +(n ) 3 n (3n ) n ( ) n n+ n + n n n + (n+) 4 (n ) 4 cos n 3 (n+) 3 n+ 3n + 3n n 3 n 3 4 n n 3 n + n+ +( ) n 3 n+ + n (n ) n 3n +3n+ 3 3/ n+5 n 3 +5n(n ) 4 3n(n+3) (n +n) + n cos(n π) 3 n 3 n+ +( 0,5) n ( ) n + n+3 3 n 4 n n n 3 3n n +4 n ( ) n + n n 3 3n n +4 n n n 3 n 4 n +( ) n +n 3 n 4 n ( 3 )n n ( 4 )n + n n n 3 n + 3n n 6 n + 5 n 0 4n n n n 4n 3 n n 7n+3 ( n ( ) n n ) + 5 n 3 3 n + 3 n+ ( ) n 4 ( ) n ( ) n 3n 3n+/, n 0, n ( ) 0 0 3n 0... (n+9) (n ) ( ) n+ ( + cos(nπ)) n 3n n+6 ( n+ n ) 3n ( sin(n + π ) ) n n

3 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 3 4. Wyznaczyć granice ciągów (a n ) w zależności od parametru t, jeśli a n = + t n n + sin t n + t n ( + cos t) n ( ) n+ tn ( ) n 3n n+3 tn+ 5. Wskazać przykład ciągu (a n ) o wyrazach dodatnich malejącego i ograniczonego takiego, że ciąg o wyrazie ogólnym n = ( ) n a n jest a) zbieżny b) rozbieżny. 6. Niech a = i a n+ = + a n. Udowodnić, że ciąg (a n ) jest zbieżny i wyznaczyć jego granicę. Granica i ciągłość funkcji, asymptoty 7. Funkcja f dana jest wzorem { 4 gdy < 0 f() = gdy 0 + Naszkicuj wykres funkcji f i odczytaj z wykresu: ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności, obraz zbioru [, ], przeciwobraz zbioru [, /]. 8. Naszkicuj wykresy funkcji f i g danych wzorami f() = 6 g() =. Korzystając z wykresów a) wyznaczyć zbiór { R : f() > g()}; b) dla każdej funkcji wyznaczyć punkty, w których osiąga ona ekstrema; c) dla każdej z funkcji wyznaczyć przedziały, w których funkcji jest rosnąca; d) zbadać różnowartościowość każdej z tych funkcji; e) określić zbiory wartości funkcji oraz przeciwobrazy zbioru (0, + ). 9. Obliczyć granice lub pokazać, że granica nie istnieje: cos 0 sin tg 3 sin

4 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 4 arc tg + 0 ep( ) + + cos + cos 3 ln( + 5) e 0. Obliczyć granice w zależności od parametru a: a a a ( + a) + a a e e 0. Zbadać ciągłość funkcji { sin gdy 0 a) f() = 0 gdy = 0 { ( ) ep gdy < b) f() = ln gdy { ( ) ep gdy < c) f() = gdy. Dla jakiej wartości parametru a funkcja f jest ciągła, gdy f() = { a+ gdy gdy > 3. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji danej wzorem: a) f() = b) f() = 4 3 c) f() = 4 ) d) f() = e) f() = ep ( 3 f) f() = 3 + (+3)( ) g) f() = 4 h) f() = ln(( e)) i) f() = ep( 3 + ) 4. Wykazać, że równanie e = + ma co najmniej dwa pierwiastki. 5. Wykazać, że równanie e = ma rozwiązanie. 6. Pokazać, że funkcja f() = ma wartość najmniejszą. 7. Pokazać, że jeżeli funkcja f : R R jest ciągła i nierosnąca to istnieje taki, że f() =.

5 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 5 Pochodna funkcji i jej zastosowania 8. Wyznacz dziedziny funkcji i korzystając z wzorów na pochodne wyznacz pochodne funkcji f() = a) b) sin + c) ( 3)e d) e) ln e f) sin + tg g) ( ) 9 + h) ln( + + ) i) ep(( ) ) j) sin( )+3 sin k) + 3 arc tg( + ) l) m) cos + n) o) p) cos 3 + sin 3 r) (sin + cos 3) 6 s) + + ln( + ) 3 ln() ( ) Funkcja f określona jest wzorem f() = { gdy > gdy a) Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji, wyznaczyć pochodną w punktach, w których istnieje. b) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej = Funkcja f określona jest wzorem f() =, a funkcja g określona jest wzorem g() = 9+. a) Wyznaczyć dziedziny funkcji f, g i funkcji h = g f. b) Wyznaczyć punkty, w których styczna do wykresu funkcji g jest równoległa do prostej o równaniu y =. c) Zbadać różniczkowalność funkcji h, wyznaczyć pochodną w punktach, w których istnieje.. Funkcja f : R R dana jest wzorem f() = gdzie a i b są pewnymi stałymi. { + gdy a + + b gdy >

6 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 6 a) Wyznacz a i b tak, aby funkcja f była różniczkowalna w punkcie 0 =. b) Czy istnieje punkt o odciętej <, w którym styczna do wykresu jest równoległa do prostej o równaniu y = 0, 5. Jeśli tak, wyznacz równanie tej stycznej.. Funkcja f : R R określona jest wzorem gdzie a jest pewną stałą. f() = { + ln(3+) a gdy 0 gdy > 0 a) Dobrać stałą a tak, aby funkcja f była ciągła w punkcie = 0. b) Zbadać różniczkowalność funkcji f i wyznaczyć pochodną w punktach, w których istnieje. 3. Zbadać różniczkowalość funkcji f danej wzorem { f() = sin gdy 0 0 gdy = 0 Wyznaczyć pochodną w punktach, w których istnieje. 4. Oblicz granice: ln 0 + ln ctg 3 ( ) +( ) ep ( 0 e ) ln(3 + 4) + 3 ln tg + + ln ) + 3 e e 4 tg sin π + + sin + 3 tg sin (π/) (tg )tg π 4 ln + 0 ln( + ) 5. Zbadać ciągłość i wyznaczyć asymptoty funkcji { gdy (0, ) (, + ) f() = ln + e gdy 0 ( ) f() = ln + e f() = + e

7 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 7 6. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji danej wzorem: f() = f() = e f() = + f() = ep (( + )) f() = ln + ln + f() = ln ln + 7. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f danej wzorem na zbiorze [ 4, ]. f() = ( + 7)e 8. Niech f() = { ln( ) gdy > gdy Wyznaczyć ekstrema lokalne funcji f i obraz zbioru a) [, ] b) [0, ]. 9. Zbadać ciągłość i wyznaczyć ekstrema lokalne funcji f() = Wyznaczyć obrazy zbiorów [, 4] i [, 3]. { e gdy gdy > 30. Zbadać ciągłość i wyznaczyć ekstrema lokalne funcji f() = Wyznaczyć obraz zbioru [ 3, ] { ln gdy > 0 3 gdy 0 3. Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f danej wzorem f() = 3 ln3 ln +. Czy funkcja f ma w przedziale [e 3, e] miejsca zerowe? Odpowiedź uzasadnij. 3. Dla jakich wartości parametru a funkcja f() = a ln ma ekstremum. Wyznacz te ekstrema. 33. Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie = Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f danej wzorem f() = e c w zależnosci od parametru c R

8 Agata Boratyńska Zadania z matematyki Zbadać tempo zmian funkcji f, gdzie f() = 3 ( ) 4 f() = ln f() = + cos f() = n n f() = 3 arc tg f() = 3 + f() = e 3 ( ) 36. Wyznaczyć wartość parametru c, dla których funkcja określona wzorem jest wklęsła w przedziale (0, ). f() = ( + ) c f() = n ( ) 37. Zbadać tempo zmian funkcji f() = e c + e c w zależności od parametru c. 38. Wykażać, że dla dowolnych i y prawdziwa jest nierówność ( 50 + y 50) ( ) + y Wykazać, że dla dowolnych, y, z (0, π) zachodzi nierówność ( ) + y + z sin + sin y + sin z < 4 sin Funkcja f : R R określona jest wzorem ep ( ) c gdy < 0 f() = ln(+) gdy 0 3+ gdzie c R jest parametrem. a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie = 0 w zależności od parametru c. b) Zbadać tempo zmian funkcji f dla < 0 w zależności od parametru c. 4. Zbadać przebieg zmienności funkcji f danej wzorem: f() = ln f() = ep( ) f() = ep ( ) f() = e + f() = ln (e) ln(e) f() = e ( ) f() = 3 + f() = e f() = ep( ) f() = ( + )

9 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 9 f() = 4 f() = 4 ( ) f() = ep ( + ) 3 f() = ln f() = f() = e f() = ln f() = e f() = arc tg f() = + ln +

10 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 0 Całka nieoznaczona i oznaczona 4. Obliczyć f()d, jeśli f() = ( + ) e + sin 3 ( ) e + 3( + ) cos ( + )e 4 ln ln e 3 cos sin cos sin( + )e ( + ) 0 sin e cos tg ( + 3) e +e ep ( ) arc tg 4 + sin cos + e e ln arc tg ln( + ) ln( + ) sin(ln ) ep( ) e e Wyznaczyć funkcję pierwotną funkcji f() = +, która przyjmuje wartość 6, gdy = Obliczyć i podać interpretację geometryczną: a) 0 d + b) 3 d c) 4 f()d, gdzie f() =, gdy [, 0], f() = [], gdy (0, ] i f() =, gdy > d) 4 d

11 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 45. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach: a) y = i y = b) y = 5 i y = 0 c) y = 3 i y = 3 d) y = ln( + ), y = ln( ) i y = 0 e) y = i y = 5 f) y =, y = oraz y = 4 g) y = 3 i y = Niech f() = ( )e. a) Obliczyć ( )e d b) Wyznaczyć funkcję pierwotną funkcji f, której największa wartość na przedziale [, ] jest równa 4. c) Wyznaczyć przedziały, w których otrzymana funkcja pierwotna rośnie coraz szybciej. 47. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych + d + 0 e d + 0 d 4+ + d 4 + d + + e d 48. Obliczyć pole obszaru między osią OX i wykresem funkcji { e gdy f() = gdy > 3

12 Agata Boratyńska Zadania z matematyki Działania na macierzach 49. Niech A = Obliczyć: 4 i= (a i a i4 ), B = 4i= (a i a i3 + b ii ), i= (b i,4 i + a ii ) 50. Niech A = 3 B = 3 C = 0 [ 5 ] 4 D = [ 4 0 ] 3 Obliczyć: D T + B, AB, (C T D 3B T ) T, DB, BD + I, BB T, B T B, C I, BA 5. Niech = [ 4 5 ] T i y = [ y y... y n ] T. Obliczyć: T, T, yy T, y T y. 5. Wykonując operacje elementarne na wierszach macierzy sprowadzić je do postaci bazowej: A = 4 B = Metodą operacji elementarnych wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A = [ ] B = 54. Wiedząc, że macierze A i B są odwracalne wyznaczyć macierz X z równania: a) AX + 4I = A b) XB T + A = I B T c) A T X(A B) T ( 4 A)T = (B) T d) B(I X T )( 3 I) = (B + I) e) (A T ) (A T X) T + 3(A ) T = (B A T ) A

13 Agata Boratyńska Zadania z matematyki Dane są wektory Wektory, prosta i płaszczyzna, rząd macierzy = 3 y = Obliczyć: y + z, 3 y z. 4 z = Sprawdzić czy wektor y jest kombinacją liniową wektorów,,..., n, gdy a) y = [ ] T, = [ ] T, = [ 5] T ; 3 b) y = [ 3] T, = [ ] T, = [a ] T, gdzie a R jest parametrem; c) y = [ ] T, = [ 3] T, = [ 0] T ; d) y = [ ] T, = [ 3] T, = [0 4 ] T. 57. Sprawdzić czy wektory,,..., n sa liniowo niezależne, jeśli a) = [ ] T, = [ ] T ; b) = [ ] T, = [ 3 3] T ; c) = [ 4] T, = [ 3] T, 3 = [0 ] T ; d) = [0 ] T, = [ 0 3] T, 3 = [ ] T ; e) = [ 0 4] T, = [ 3 0] T, 3 = [0 0 ] T, dobierz wektor 4, aby był liniowo niezależny z pozostałymi; f) = [ 0 4] T, = [ 3 0] T, 3 = [ 3 4] T. 58. Wektory, y, z są liniowo niezależne. Pokazać, że wektory a) 3 z, z y, y b), + y, + y + z są liniowo niezależne. 59. Wyznaczyć rząd macierzy: A = 0 3 B = C = 60. Wyznaczyć rząd macierzy w zależności od parametru a: a 0 0 A = a B = 0 a C = 4 a 0 a a a 0 0 a

14 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 4 6. Wyznaczyć równanie parametryczne prostej a) przechodzącej przez punkty (,, 3) i (,, 0); b) przechodzącej przez punkt (,,, ) i równoległej do wektora [ 3 0] T. 6. Sprawdzic czy punkty, y, z należą do jednej prostej, jeśli a) = (, ), y = (, 3), z = (, 5); b) = (,, 3), y = (4, 4, 4), z = (, 0, ) c) = (,,, ), y = (,, 0, ), z = (,,, ) 63. Sprawdzic czy punkt należy do odcinka o końcach y, z jeśli: a) = (, 4, ), y = (3, 6, ) i z = ( 3, 0, ); b) = (6, 9, ), y = (3, 6, ) i z = ( 3, 0, 4). 64. Sprawdzić czy wektor y jest kombinacją wypukłą wektorów,,..., n, gdy a) y = [ ] T, = [ ] T, = [ 5] T ; b) y = [3 ] T, = [ ] T, = [4 ] T ; c) y = [3 ] T, = [4 ] T, = [3 3] T, 3 = [0 0] T ; d) y = [ 0] T, = [ 3] T, = [ 0] T, 3 = [3 ] T. 65. Napisz równanie parametryczne płaszczyzny przechodzacej przez punkty a) = (,, 3), y = (4, 4, 4), z = (, 0, ); b) = (,,, ), y = (,, 0, ), z = (,,, ). 66. Podaj interpretację geometryczną zbioru V a = {(, y, z) R 3 : y + 3z = a}, gdy a = 0 i a =. Wyznaczniki 67. Obliczyc wyznaczniki macierzy: A = [ D = ] B = G = C =

15 Agata Boratyńska Zadania z matematyki Obliczyć wyznaczniki macierzy a) (AB T ) B T b) B D, gdzie B D to macierz dopełnień algebraicznych macierzy B, wiedząc, że deta = 3, detb = 4 i macierze A, B są macierzami stopnia Obliczyć wyznacznik macierzy X spełniającej równanie 3A XB T = A T B wiedząc, że A = 0 0, B = A Dana jest macierz A A = k k k. Wyznaczyć rząd macierzy w zależności od parametru k. 7. Wyznaczyć c, aby wektory c c c c c c były liniowo niezależne. 7. Dana jest macierz A = a) Obliczyć wyznacznik macierzy A. Korzystając z metody dopełnień algebraicznych wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A. b) Oznaczmy kolumny macierzy A przez k, k, k 3. Macierz B ma postać B = [k k k k + k + 3k 3 ]. Obliczyć wyznacznik macierzy X, która jest rozwiązaniem równania 4(XA) T B = 3B T. 73. Wyznaczyć macierz X spełniająca równanie B (AX) T 3B = I, gdzie A, B są macierzami nieosobliwymi stopnia 3, a I jest macierzą jednostkową. 0 3 Zbadać, czy otrzymana macierz X jest odwracalna, jeśli B =

16 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 6 Układy równań liniowych 74. Rozwiązać układy równań a) Wykorzystać wzory Cramera + y + z = 4 + y + z = y + z = + y 4z = 4 3y + z = 0 + y z = b) = 8 { 4 y z = = y + z = = = = = 5 Wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe. Wyznaczyć rząd macierzy, której wierszami są rozwiązania bazowe. c) { = = = = = Wskazać rozwiązanie szczególne (o ile istnieje), w którym =. Podaj interpretację geometryczną rozwiązania ogólnego. d) = = = 0 Czy wśród wektorów rozwiązania są wektory o końcu leżącym na odcinku łączącym punkty (,,, 3) i (, 5,, 6). 75. Przedstaw wektor [ 7 6 8] T jako kombinację liniową wektorów [ ] T, [ 0] T, [ 3 ] T. 76. Rozważamy niejednorodny układ równiań liniowych A = b, który ma nieskończenie wiele rozwiazań. Niech y i z będą dwoma rozwiązaniami szczególnymi. Czy suma y + z jest rozwiązaniem tego układu, a różnica y z? Dla jakich wartości parametrów a i b wektor ay + bz jest rozwiązaniem tego układu?

17 Agata Boratyńska Zadania z matematyki Znaleźć liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k k + y = + ky z = y + z = k k y + z = ky + z = 3 3y + z = k k + k 4 6 k + 3 = = 0 k + + 3k 3 = { + ky + z = k k + y + z = k y z = 78. Wyznaczyć rozwiązanie układu równań o podanej macierzy rozszerzonej w zależności od parametru a i b. [ 4 ] b [ 3a a ] 6 a 0 a 4 b 79. Wyznaczyć rozwiązanie układu równań w zależności od parametru a. a a y z = a a 0 0 a k k 3k a a 4 0 a = = Funkcje wielu zmiennych 80. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f, równania warstwic dla podanych wartości c oraz narysować te warstwice w układzie współrzędnych, sprawdzić czy kierunek v jest kierunkiem wzrostu funkcji w punkcie P, wyznaczyć gradient funkcji f w punkcie P, jeśli a) f(, y) = + y, c =, c =, c =, P (, ), v = [, ]; b) f(, y) = +, c =, c =, c = 0, P (, ), v = [, ]; y c) f(, y) = + y, c = 0, c =, c =, P (, ), v = [, ]; d) f(, y) = e y, c = e, c = e, c = e, P (, ), v = [3, ];

18 Agata Boratyńska Zadania z matematyki 8 8. Wyznaczyć równanie warstwicy funkcji f(, y) = y + przechodzącej przez punkt P (, ). Naszkicować tą warstwicę w układzie współrzędnych. Wyznaczyć styczną do tej warstwicy w punkcie P i obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem warstwicy, styczną i osią OX. 8. Wykorzystując mapę warstwic wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze A, jeśli a) f(, y) = + y, A = {(, y) R : 0 y 0 + y }; b) f(, y) = y, A = {(, y) R : [, ] 0 y }; c) f(, y) = e y, A = {(, y) R : 0 y 0 + y 6}; d) f(, y) = + y, A = {(, y) R : + y }; e) f(, y) = 3 y, A = {(, y) R : [, 0] y [, 3]}; f) f(, y) = e ( +y ), A = {(, y) R : 0 y 0}. 83. Funkcja f określona jest wzorem f(, y) = ln( 3y ). a) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f. b) Naszkicować warstwicę przechodzącą przez punkt (, 0). c) Wyznaczyć równanie stycznej do tej warstwicy w punkcie (, 0). d) Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu funkcji w punkcie (, 0). e) Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (, 0) i kierunku [, 3]. Czy jest to kierunek wzrostu funkcji. 84. Obliczyć gradient funkcji w podanym punkcie i zinterpretować wynik (zachowanie się funkcji w otoczeniu punktu jako funkcji poszczególnych zmiennych i kierunek najszybszego wzrostu) f(, y) = + y i P y (, ), P (, ) f(, y) = e y i P (, ); f(, y) = y i P (, 4); +y f(, y, z) = z ln(yz) i P (, e, 3). 85. Wyznaczyć macierz drugich pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie P, zbadać jej określoność. Zbadać tempo zmian funkcji f w otoczeniu punktu P ze względu na poszczególne zmienne, jeśli a) f(, y) = ln( + y) i P (, 0); b) f(, y) = ln y i P ( 9, e); c) f(, y) = e y i P (, ).

19 Agata Boratyńska Zadania z matematyki Wyznaczyć dziedziny i ekstrema lokalne funkcji f, jeśli a) f(, y) = y + y 6y ; b) f(, y) = y 3 y3 + ; c) f(, y) = 3 + y 3 3ay, w zależności od parametru a; d) f(, y) = 3 y + (y ) + ; e) f(, y, z) = 3 + y + z + y + z; g) f(, y, z) = + 4y + z y + z ; h) f(, y, z) = ( )z 3 + y ; j)* f(, y) = 4 +y 4 +4 y y, w otoczeniu punktu (0, 0) rozważ krzywe y =, = 0, y = 0; k) f(, y) = 4 ay + y + + a, w zależności od parametru a; l) f(, y) = ye +y ; m) f(, y) = ( y 3)e 87. Funkcja f : R R określona jest wzorem f(, y) = ( + y + 3)e +y. a) Wyznaczyć równanie warstwicy odpowiadającej wartości 0 i wyznaczyć równanie stycznej do tej warstwicy w punkcie (, ). b) Sprawdzić, czy funkcja f ma ekstrema lokalne w punktach (, ) i (0, ).