Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

Transkrypt

1 Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór W zadaniu mam Std ; ; 9 Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb 99 W zadaniu mam 99 Std ; ; Zadanie Oblicz jaki popełniam maksmaln błd bezwzgldn oraz wzgldn prz obliczaniu objtoci prostopadłocianu o krawdziach wznaczonch z podan dokładnoci: ± ± z ± Wskazówka Objto prostopadłocianu liczm ze wzoru V z Wkorzstam wzór V V V Vz z z Mam V z z z z 7 V 7 7 δv 7997 % V Zadanie Znale maksmaln błd bezwzgldn i wzgldn powstał prz obliczaniu objtoci stoka jeli promie podstaw wnosi r ± wsoko stoka h ± oraz π Wskazówka Objto stoka liczm ze wzoru V πr h gdzie r jest długoci promienia podstaw za h jest wsokoci stoka Zadanie Znale maksmaln błd bezwzgldn i wzgldn powstał prz obliczaniu długoci przektnej prostokta jeli długoci jego boków wnosz a ± b ± Wskazówka Zastosowa twierdzenie itagorasa St Kowalski Wkład z matematki studentów kierunku Mechanika wkład 9

2 ochodna kierunkowa Deinicja ochodn kierunkow unkcji w punkcie w kierunku wersora v v v ] [ okrela si wzorem v t Deinicja t v t v Gradientem unkcji punkcie nazwa si wektor grad [ ] t Wzór do obliczania pochodnej kierunkowej: v grad v Zadanie Oblicz pochodn kierunkow unkcji w punkcie i kierunku v ; Znajdujem macierz pochodnej unkcji gradient we wskazanm punkcie [ grad ] ; ; [ ] a nastpnie grad v v [ ] 7 Zadanie Oblicz pochodn kierunkow unkcji ln w punkcie i kierunku wektora dwusiecznej pierwszej wiartki Zadanie Oblicz pochodn kierunkow unkcji w punkcie i kierunku wektora tworzcego kt z osi odcitch Zadanie Oblicz pochodn kierunkow unkcji w punkcie i kierunku v ; Zadanie Oblicz pochodn kierunkow unkcji w punkcie i kierunku wektora v ; Zadanie Wkaza e unkcja ma pochodn w punkcie O w dowolnm kierunku Cz jest róniczkowalna w tm punkcie? Zadanie 7 Wkaza e unkcja ma pochodn w punkcie O w dowolnm kierunku Cz jest róniczkowalna w tm punkcie? Zadanie Wkaza e unkcja ma pochodn w punkcie O w dowolnm kierunku Nie jest róniczkowalna w tm punkcie gd nie jest nawet cigła w tm punkcie Wsk n n n n St Kowalski Wkład z matematki studentów kierunku Mechanika wkład 9

3 St Kowalski Wkład z matematki studentów kierunku Mechanika wkład 9 ochodne czstkowe drugiego rzdu Twierdzenie Schwarza o pochodnch mieszanch Niech unkcja bdzie okrelona na otoczeniu punktu onadto niech pochodne czstkowe istniej na otoczeniu punktu i bd cigłe w punkcie Wówczas [Zad ] Obliczm pochodne czstkowe drugiego rzdu unkcji Zadania okaza e jeli Cz istnieje unkcji?

4 St Kowalski Wkład z matematki studentów kierunku Mechanika wkład 9 Badanie ekstremów lokalnch unkcji dwu zmiennch polega na wkonwaniu nastpujcch operacji: Wznaczam pochodne czstkowe pierwszego rzdu i rozwizujem układ równa warunek konieczn istnienia ekstremum lokalnego unkt bdce rozwizaniami tego układu punkt stacjonarne s jednmi w którch ekstremum moe ale nie musi si znajdowa W punktach stacjonarnch obliczam wznacznik macierz Hessego hesjan H Jeli > > to w punkcie stacjonarnm unkcja ma imum lokalne Jeli > < to w punkcie stacjonarnm unkcja ma maksimum lokalne Jeli < to w punkcie stacjonarnm unkcja nie ma ekstremum lokalnego 7 Jeli to nic nie wiadomo o ekstremum lokalnm unkcji [Zad] Zbadam ekstrema lokalne unkcji Obliczm macierz Hessego macierz drugiej pochodnej H oniewa 9 < wic unkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnm [Zad] Zbadam ekstrema unkcji oniewa pierwsze równanie rozpatrwanego układu równa nie ma rozwizania wic warunek konieczn na istnienie ekstremum nie jest spełnion w adnm punkcie i w konsekwencji unkcja nie ma ekstremów [Zad] Znajdziem ekstrema lokalne unkcji Jednm punktem w którm moe istnie ekstremum jest punkt Obliczam macierz Hessego H oniewa > i > wic unkcja posiada imum lokalne w punkcie Minimum to wnosi 9 [Zad] Znajdziem ekstrema lokalne unkcji Sprawdzam cz w punkcie istniej ekstrema lokalne podanej unkcji Obliczam macierz Hessego: H

5 Std wnika e i wic unkcja ma w punkcie maksimum lokalne które wnosi > < ma [Zad] Zbadam ekstrema unkcji { } Obliczm macierz Hessego macierz drugiej pochodnej H oniewa H 9 < wic unkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnm oniewa H 7 > > wic unkcja ma imum lokalne w punkcie stacjonarnm Minimum to wnosi: [Zad] Zbada ekstrema unkcji [ ] [ ] 7 { } Obliczm macierz Hessego macierz drugiej pochodnej H oniewa H > < wic unkcja ma maksimum lokalne w punkcie stacjonarnm : ma oniewa H < wic unkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnm oniewa H < wic unkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnm : oniewa H > > wic unkcja ma imum lokalne w punkcie stacjonarnm [Zad7] Zbada ekstrema unkcji nie istnieje > < nie istnieje Jednm punktem w którm unkcja moe mie ekstremum jest punkt Rzeczwicie w punkcie tm unkcja ma imum lokalne gd wszstkich punktów mam > > < [Zad] Zbada ekstrema unkcji Mam nie istnieje nie istnieje Jednm punktem w którm unkcja moe mie ekstremum jest punkt Rzeczwicie w punkcie tm unkcja ma maksimum lokalne gd wszstkich punktów mam < [Zad9] Zbada ekstrema unkcji [ ] [ ] { } St Kowalski Wkład z matematki studentów kierunku Mechanika wkład 9

6 Obliczm macierz Hessego macierz drugiej pochodnej H oniewa H > > wic unkcja ma imum lokalne w punkcie stacjonarnm : oniewa H > > wic unkcja ma imum lokalne w punkcie stacjonarnm : oniewa H wic nie wiadomo cz unkcja ma ekstremum w punkcie stacjonarnm Rozpatrzm przekrój powierzchni bdcej wkresem unkcji płaszczzn : W ssiedztwie pocztku układu unkcja ma wartoci ujemne rsunek wej Rozpatrzm teraz przekrój powierzchni bdcej wkresem unkcji płaszczzn : W ssiedztwie pocztku układu unkcja ma wartoci dodatnie rsunek wej Dlatego unkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnm Zadania Zbada ekstrema unkcji dwu zmiennch: ; ; ; ln ; 7 z ; ; ; z ; 9 ; ; ; ; ; 9 ; ; ; 7 9 ; ; 9 ; 9 ; ; St Kowalski Wkład z matematki studentów kierunku Mechanika wkład 9