Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy"

Transkrypt

1 Rachunek Różniczkowy

2 Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n) funkcji a dla argumentu n oznaczamy przez a n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu, sam zaś ciąg oznaczamy a 1, a 2,..., a n,... lub krótko (a n ). Przykład. n-ty wyraz ciągu 1, 1 2,..., 1 n,... możemy zapisać wzorem a n = 1 n.

3 Ciągi monotoniczne Mówimy, że: ciąg (a n ) jest ściśle rosnący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 > a n (równoważnie a n+1 a n > 0), ciąg (a n ) jest ściśle malejący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 < a n (równoważnie a n+1 a n < 0), ciąg (a n ) jest rosnący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (równoważnie a n+1 a n 0), ciąg (a n ) jest malejący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (równoważnie a n+1 a n 0).

4 Rysunek: Ciągi monotoniczne

5 Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym n + 7 a n = 3 n + 5 jest ściśle malejący. Istotnie, dla dowolnego n N a n+1 a n = 16( n n + 1) (3 n )(3 n + 5). Ponieważ dla każdego n N n n + 1 < 0, (3 n )(3 n + 5) > 0, to stwierdzamy, że dla każdego n N a n+1 a n < 0.

6 Ciągi ograniczone Mówimy, że: ciąg (a n ) jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M taka, że dla każdego n N zachodzi nierówność a n M, ciąg (a n ) jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba m taka, że dla każdego n N zachodzi nierówność m a n. Ciąg, który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu nazywamy krótko ciągiem ograniczonym. Ma to miejsce wówczas, gdy istnieje liczba M > 0 taka, że dla każdego n N a n M.

7 Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym a n = n + 3 n jest ograniczony z dołu przez 0, bo dla każdego n N 0 n + 3 n. Jest on również ograniczony z góry przez 1, bowiem ( n + 3 n)( n n) 3 n + 3 n = =, n n n n ale dla każdego n N 3 3 = 3 n n = 1.

8 Granica ciągu Link Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (a n ), gdy: dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n g < ε dla wszystkich wskaźników n n 0. Inaczej mówiąc: dla dowolnej liczby ε > 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu (a n ), (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą) wpadają do przedziału (g ε, g + ε). Piszemy wtedy lim a n = g lub a n g n i mówimy, że ciąg (a n ) jest zbieżny do g. Skrót lim pochodzi z łaciny i oznacza limes - granicę.

9 Wprost z definicji granicy ciągu Ciąg stały a n = λ jest zbieżny do λ, bo a n λ = λ λ = 0 < ε. Ciąg (a n ) jest zbieżny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ( a n ) jest zbieżny do 0, bo a n 0 = a n 0. Ciąg zbieżny jest ograniczony, bo a n g < ε wtedy i tylko wtedy, gdy g ε < a n < g + ε.

10 Przykład. Ciąg a n = 1 n jest zbieżny do 0. Istotnie, dla ustalonej liczby ε > 0 weźmy taką liczbę naturalną n 0, by n 0 > 1/ε. Wtedy dla wszystkich n n 0 mamy 1 n 0 = 1 n 1 < ε, n 0 więc co oznacza, że 1 n 0 < ε dla n n 0, 1 lim n n = 0.

11 Nie każdy ciąg jest zbieżny Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( 1) n nie posiada granicy (nie jest zbieżny). Istotnie, gdyby jakaś liczba g była granicą ciągu (a n ), to z definicji granicy dla konkretnej liczby dodatniej ε = 1 musiałoby istnieć n 0 takie, że ( 1) n g < 1 dla n n 0. Ponieważ istnieją dowolnie duże liczby parzyste i nieparzyste, to istnieje liczba parzysta n 1 n 0 i liczba nieparzysta n 2 n 0. Dla tych wskaźników mamy: ( 1) n1 g < 1 i ( 1) n2 g < 1,

12 Nie każdy ciąg jest zbieżny czyli skąd wynikałoby, że 1 g < 1 i 1 g < 1, g (0, 2) i g ( 2, 0), co jest niemożliwe. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc nasze przypuszczenie nie jest prawdziwe. Nie istnieje granica lim n ( 1)n. Jeśli ciąg nie posiada granicy, to mówimy, że jest rozbieżny. Powyższy przykład prościej jest wytłumaczyć wprowadzając pojęcie podciągu.

13 Podciąg Niech (k n ) będzie ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych, czyli k 1 < k 2 <... < k n <.... Ciąg (b n ) o wyrazie ogólnym określonym wzorem b n = a kn nazywamy podciągiem ciągu (a n ). Przykład. Ciągi (a 2n ), (a 2n 1 ), (a 5n 3 ), (a n!+3 ) są podciągami tego samego ciągu (a n ). Twierdzenie. Jeżeli ciąg (a n ) jest zbieżny do granicy g, to każdy jego podciąg (a kn ) też jest zbieżny do tej samej granicy g. Jeśli więc dwa podciągi tego samego ciągu są zbieżne do różnych granic, to ciąg jest rozbieżny.

14 Przykład. Poprzedni przykład ciągu a n = ( 1) n sprowadza się teraz krótko do stwierdzenia, że istnieją dwa jego podciągi zbieżne do różnych granic. Mianowicie: oraz lim n ( 1)2n = lim 1 = 1, n lim n ( 1)2n 1 = lim ( 1) = 1. n

15 Ciągi rozbieżne do ± Mówimy, że ciąg (a n ) jest rozbieżny do +, gdy: dla dowolnej liczby M > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n > M dla wszystkich wskaźników n n 0. Piszemy wtedy lim a n = +. n Mówimy, że ciąg (a n ) jest rozbieżny do, gdy: dla dowolnej liczby M > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n < M dla wszystkich wskaźników n n 0. Piszemy wtedy lim a n =. n

16 Przykład 1. Wprost z definicji wynika, że lim n = +, n lim ( n) =. n Przykład 2. Ponieważ n 2 n, to z definicji lim n n2 = +. Przykład 3. Ponieważ 2 n n, to z definicji lim n 2n = +.

17 Własność 1 Jeśli to lim a n = + lub lim a n =, n n lim n 1 a n = 0. Własność 2 Jeśli lim n = 0 n i a n > 0, (odpowiednio a n < 0) to lim n 1 a n = +. (odpowiednio lim n 1 a n = )

18 Symbole oznaczone i nieoznaczone Symbole oznaczone + + (+ ) = +, + ( ) =, (+ ) =, ( ) = +, 1 + = 0, 1 = 0. Symbole nieoznaczone + (+ ), ( ), 0 0, 0 (+ ), 0 ( ), ± ±, 0 0, 0, 0, 1.

19 Własności granicy ciągu Jeśli istnieją granice ciągów (a n ) i (b n ), to: lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n, n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n lim (λa n) = λ lim a n, n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n lim (a n/b n ) = lim a n/ lim b n, o ile lim b n 0. n n n n lim n (abn n ) = ( lim n a n) lim n bn, o ile nie otrzymujemy symbolu nieoznaczonego 0 lub 1 lub 0 0 lub 0.

20 Przykład 1. lim n 3 n ( 1 2 n) + 2 (5 + 1 n )(2 1 n ) = 3 0 (0)2 + 2 (5 + 0)(3 0) = Przykład 2. Przykład 3. lim n 1 n 2 = lim 1 n n 1 n = 0 0 = 0. n 2 + 2n n lim n n 2 = lim 3 n 2 7 n 1 7 = = n 2

21 Znane granice lim n qn = nie istnieje, gdy q 1, 0, gdy q < 1, 1, gdy q = 1, +, gdy q > 1. (1) lim n n = 1. (2) n n lim n! = +. (3) n lim n sin 1 = 1. (4) n n

22 Liczba e Twierdzenie Ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny. Ciąg malejący i ograniczony z dołu jest zbieżny. Można pokażać, że ciąg o wyrazie ogólnym ( a n = ) n n jest rosnący i ograniczony z góry. Zatem jest to ciąg zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy literą e, więc ( e = lim n. n n) Liczba e jest niewymierna e 2,

23 Liczba e Własność Jeśli a n jest zbieżny do 0, to lim n (1 + a n) 1/an = e. Przykład. ( lim ) ( 3n ( = lim ) n+2 ) 5 n+2 ( 3n) 5 = e 15. n n + 2 n n + 2

24 Twierdzenie o trzech ciągach Jeśli a n c n b n i lim n a n = lim n b n = g, to lim n c n = g.

25 Przykład. Niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorem a n = n 3 n + 4 n. Ponieważ n 3 n + 4 n = (3 n + 4 n ) 1 n, to mamy do czynienia z nieoznaczonością 0. Wyznaczymy granicę ciągu (a n ) za pomocą twierdzenia o trzech ciągach. Oczywiście zachodzą nierówności 4 n 3 n + 4 n 4 n + 4 n, więc Skoro 4 n 3 n + 4 n n 2 4. lim 4 = 4, n to z twierdzenia o trzech ciągach lim n 2 4 = lim 2 1 n 4 = 20 4 = 4, n n lim n 3n + 4 n = 4. n

26 Przykład. Jeśli ciąg (a n ) jest ograniczony, tzn. istnieje M > 0 takie, że a ciąg (b n ) jest zbieżny do 0, tzn. a n M, n N, lim b n = 0, n to ciąg (a n b n ) jest zbieżny do 0, tzn. lim a nb n = 0, n gdyż M b n a n b n M b n.

27 Szeregi liczbowe Szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a n nazywamy ciąg (S n ) określony wzorem S n = n a k = a 1 + a a n. k=1 Szreg oznaczamy symbolem a n. n=1 Wyraz S n nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Jeżeli ciąg (S n ) jest zbieżny do liczby S, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę S nazywamy sumą szeregu. Piszemy wtedy a n = S. n=1

28 Przykład. Niech a n = aq n 1 będzie ciągim geometrycznym o pierwszym wyrazie a i ilorazie q. Szereg n=1 aq n 1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q < 1. Istotnie, ciąg sum częściowych szeregu wynosi n k=1 aq k 1 = a 1 qn 1 q. Zatem granica ta istnieje tylko wtedy, gdy q < 1 i jest równa Inaczej mówiąc, suma szeregu geometrycznego wynosi aq n 1 = lim n=1 n n k=1 aq k 1 = lim n a 1 qn 1 q = a 1 q. a 1 q.

29 Granica funkcji Link Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x 0 R, gdy: dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0 i takiego, że x n X i x n x 0 dla n = 1, 2,..., ciąg ( f(x n ) ) jest zbieżny do g. Piszemy wtedy lim f(x) = g. x x 0 Zauważmy, że w powyższej definicji x 0 nie musi należeć do dziedziny funkcji. Ponadto x 0 może być równe + lub.

30 Granice funkcji w punkcie x 0 liczymy podobnie jak granice ciągu. Przykład 1. lim x 2 (x3 3x + 5) = = 7. Przykład 2. x 2 1 [ lim 0 0 ] (x 1)(x + 1) = lim = lim (x + 1) = = 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

31 Funkcja ciągła Link Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 X i lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). O funkcji, która ciągła jest w każdym punkcie x 0 X mówimy krótko, że jest ciągła.

32 Przykłady funkcji ciągłych wielomiany P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, funkcje wymierne W = P/Q, gdzie P, Q - wielomiany, funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R, funkcje wykładnicze f(x) = a x, gdzie a > 0, a 1, funkcje logarytmiczne f(x) = log a x, gdzie a > 0, a 1, funkcje trygonometryczne sin, cos, tg, ctg, suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji ciągłych.

33 Własności funkcji ciągłych Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b] osiąga w tym przedziale minimum swoich wartości i maksimum swoich wartości, tzn. istnieją argumenty x 1, x 2 [a, b] takie, że dla każdego x [a, b] Inaczej mówiąc, f(x 1 ) f(x) f(x 2 ). f(x 1 ) = min{f(x) : x [a, b]}, f(x 2 ) = max{f(x) : x [a, b]}.

34 Własności funkcji ciągłych Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b] ma własność Darboux, tzn. Jeśli wartości f(a) i f(b) są różnych znaków, to istnieje argument c (a, b) taki, że f(c) = 0. Inaczej mówiąc, jeśli na krańcach przedziału [a, b] wartości funkcji ciągłej mają różne znaki, to między a i b istnieje miejsce zerowe funkcji f. Wniosek Funkcja ciągła na przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje każdą wartość między f(a) i f(b).

35 Rysunek: Ilustracja własności Darboux

36 Iloraz różnicowy. Pochodna funkcji Załóżmy, że dana jest funkcja f : (a, b) R. Niech x 0 (a, b) będzie ustaloną liczbą i niech h 0 będzie taką liczbą, że x 0 + h (a, b). Wyrażenie f(x 0 + h) f(x 0 ) h nazywać będziemy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0. Jeśli istnieje skończona granica lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ), h to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). O funkcji, która posiada pochodną w punkcie x 0 mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie x 0.

37 Interpretacja geometryczna pochodnej Link y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) równanie stycznej y f(x 0 ) α f (x 0 ) = tg α y f(x 0) = f(x 0+h) f(x 0 ) (x x h 0) równanie siecznej x 0 x 0 + h x

38 Obliczanie pochodnych pochodna funkcji stałej f(x) = c pochodna funkcji potęgowej f (x) = 0, (x n ) = nx n 1, pochodne funkcji trygonometrycznych (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, pochodna funkcji wykładniczej pochodna funkcji logarytmicznej (e x ) = e x, (a x ) = a x ln a, (ln x) = 1 x, (log a x) = 1 x ln a.

39 Przykład 1. f(x) = x, n = 1 f (x) = (x 1 ) = 1 x 1 1 = x 0 = 1. Przykład 2. f(x) = x 2, n = 2 f (x) = (x 2 ) = 2x 2 1 = 2x 1 = 2x. Przykład 3. f(x) = 1 x = x 1, n = 1 f (x) = (x 1 ) = 1x 1 1 = x 2 = 1 x 2. Przykład 4. f(x) = x = x 1 2, n = 1 2 f (x) = (x 1 2 ) = 1 2 x = 1 2 x 1 2 = 1 2 x.

40 Obliczanie pochodnych pochodna sumy i różnicy funkcji pochodna wielokrotności funkcji pochodna iloczynu funkcji (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x), (cf(x)) = cf (x), (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), pochodna ilorazu funkcji ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2, pochodna złożenia funkcji ( g(f(x)) ) = g (f(x))f (x).

41 Przykład 1. (x 2 + 1) = (x 2 ) + (1) = 2x + 0 = 2x. Przykład 2. (5x 3 ) = 5(x 3 ) = 5 3x 3 1 = 15x 2. Przykład 3. ( ) ( ) 3 3 4x 2 = 4 1 x 2 = 3 4 (x 2 ) = 3 4 ( 2)x 2 1 = 3 2 x 3 = 3 2x 3. Przykład 4. (ln(3x)) = (ln 3 + ln x) = x = 1 x.

42 Przykład 5. (x 2 e x ) = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 e x. Przykład 6. ( (x 3 + 1) x ) = (x 3 + 1) x + (x 3 + 1)( x) = Przykład 7. = 3x 2 x + (x ) 2 x. (sin x ln x) = (sin x) ln x + sin x(ln x) = cos x ln x + sin x 1 x. Przykład 8. ( cos 2 x ) = (cos x cos x) = (cos x) cos x+cos x(cos x) = 2 sin x cos x.

43 Przykład 9. ( ) x x 3 = (x) (x 3 1) x(x 3 1) 1 (x 3 1) 2 = 1 (x3 1) x 3x 2 (x 3 1) 2 = Przykład 10. (tg x) = = x3 1 3x 3 (x 3 1) 2 = 2x3 1 (x 3 1) 2. ( ) sin x = (sin x) cos x sin x(cos x) cos x cos 2 = x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x.

44 Przykład 11. ( (x 3 + 1) 2) = (x 6 + 2x 3 + 1) = 6x 5 + 6x 2. Przykład 12. ( (x 3 + 1) 2017) = 2017(x 3 + 1) (x 3 + 1) = Przykład 13. = 2017(x 3 + 1) x 2 = 6051x 2 (x 3 + 1) ( ln(3x 2 + 2x 5) ) 1 = 3x 2 + 2x 5 (3x2 + 2x 5) = 1 = 3x 2 + 2x 5 (6x + 2) = 6x + 2 3x 2 + 2x 5. Przykład 14. ( sin(e x 2) ) = cos(e x 2) (e x 2) = sin(e x 2) e x.

45 Przykład 15. (e cos x ) = e cos x (cos x) = e cos x ( sin x) = sin x e cos x. Przykład 16. (x x ) = (e ) ( ln(xx ) = e x ln(x)) = e x ln(x) (x ln x) = = e x ln(x)( (x) ln x + x(ln x) ) ( = x x 1 ln x + x 1 ) = x = x x (ln x + 1).

46 Monotoniczność funkcji Funkcję f : (a, b) R nazywamy w przedziale (a, b): ściśle malejącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) > f(x 2 ), malejącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) f(x 2 ), ściśle rosnącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) < f(x 2 ), rosnącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) f(x 2 ). Kryterium monotoniczności funkcji różniczkowalnej Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f (x) 0 dla x (a, b), to f jest rosnąca w (a, b). Jeśli f (x) 0 dla x (a, b), to f jest malejąca w (a, b). Zatem monotoniczność funkcji zależy od znaku pochodnej funkcji. W przypadku, gdy funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] powyższe przedziały można domknąć.

47 Przykład 1. Funkcja f(x) = x 2, x R jest rosnąca w przedziale 0, + ), gdyż f (x) = 2x oraz f (x) 0 dla x 0, + ). 3 y 2 1 f(x) = x x

48 Przykład 2. Jaki jest największy przedział, w którym funkcja f(x) = 1 3 x3 1 2 x2 2x + 1 6, x R jest malejąca? 2 y x

49 Na powyższe pytanie odpowiemy wykorzystując badanie znaku pochodnej f (x) = x 2 x 2, x R. Oczywiście f (x) 0 x 2 x 2 0 x [ 1, 2]. Rozwiązaniem ostatniej nierówności jest przedział [ 1, 2]. Zatem najszerszym przedziałem, w którym funkcja maleje jest [ 1, 2].

50 Ekstrema lokalne funkcji Mówimy, że funkcja f : (a, b) R ma w punkcie x 0 (a, b): minimum lokalne, gdy f(x 0 ) < f(x) dla x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }, maksimum lokalne, gdy f(x) < f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }. Maksimum lub minimum lokalne nosi nazwę ekstremum lokalnego. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f ma w punkcie x 0 (a, b) ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego Przy powyższych założeniach, jeśli istnieje δ > 0 taka, że: f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to f ma w punkcie x 0 minimum lokalne równe f min = f(x 0 ). f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne równe f max = f(x 0 ).

51 Przykład 1. Sprawdźmy za pomocą pochodnej, że trójmian kwadratowy f(x) = x 2 4x + 3 ma minimum w punkcie x 0 = 2. Istotnie, pochodna funkcji f jest równa f (x) = 2x 4, Ponadto, f (x) = 0 2x 4 = 0 x = 2. f (x) < 0 dla x (, 2) f (x) > 0 dla x (2, + ). Zatem na podstawie warunku wystarczającego funkcja f ma w punkcie x 0 = 2 minimum lokalne.

52 Przykład 2.Zbadamy ekstrema lokalne funkcji f(x) = x 2 e x, x R. Pochodna funkcji f jest równa f (x) = 2xe x + x 2 e x = (2x + x 2 )e x, f (x) = 0 2x + x 2 = 0 x = 2, x = 0 f (x) < 0 2x + x 2 < 0 x ( 2, 0) f (x) > 0 2x + x 2 > 0 x (, 2) (0, + ) x (, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, + ) f f f max = f( 2) f min = f(0) = 4e 2 = 0

53 y 3 y = x 2 e x x 1

54 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Załóżmy, że funkcja f : (0, + ) R jest różniczkowalna. Iloraz f(x + h) f(x) f(x) nazywamy przyrostem względnym funkcji f, natomiast iloraz przyrostem względnym argumentu x. Stosunek h x f(x + h) f(x) f(x) nazywamy elastycznością funkcji f w przedziale x, x + h. : h x Elastyczność określa procentowy przyrost wartości funkcji f, odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% na przedziale x, x + h.

55 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Elastycznością funkcji f w punkcie x nazywamy granicę elastyczności funkcji f na przedziale x, x + h, gdy h 0 i oznaczamy symbolem E x f, czyli f(x + h) f(x) E x f = lim : h h 0 f(x) x = x f(x) f (x). Elastyczność funkcji f w punkcie x określa w przybliżeniu procentowy przyrost wartości funkcji f (wzrost lub spadek), odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% (licząc od poziomu x).

56 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Niech Q(p) oznacza wielkość popytu na dany towar przy cenie p. Wtedy jak wiadomo przychód przedsiębiorstwa wyrażony jest funkcją R postaci R(p) = p Q(p), p > 0 Zatem R (p) = Q(p) + pq (p) Oczywiście przychód wzrośnie, gdy R (p) > 0 czyli wtedy, gdy Zatem pq (p) > Q(p). p Q(p) Q (p) > 1 (gdyż Q(p) > 0). Lewa strona tej nierówności jest elastycznością Q w punkcie p. Zatem przychód przedsiębiorstwa wzrośnie, gdy E p Q > 1.

57 Pochodna drugiego rzędu Jeśli funkcja f : (a, b) R posiada pochodną w każdym punkcie x (a, b), to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b) i możemy utworzyć funkcję f : (a, b) R, która każdemu punktowi x (a, b) przyporządkowuje pochodną funkcji f w punkcie x, czyli f (x). Pochodną tej funkcji nazywamy pochodną rzędu 2 funkcji f i oznaczamy f (x). Zatem f (x) = (f (x)). Stały znak drugiej pochodnej w przedziale (a, b) charakteryzuje rodzaj wypukłości wykresu funkcji. Mianowicie: Jeśli f (x) > 0 dla x (a, b), to f jest wypukła w (a, b). Jeśli f (x) < 0 dla x (a, b), to f jest wklęsła w (a, b). Punkty, w których wykres zmienia rodzaj wypukłości nazywamy punktami przegięcia funkcji f.

58 II warunek istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne. Przy tym jest to: maksimum, gdy f (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (x 0 ) > 0.

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34 Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

S n = a 1 1 qn,gdyq 1 Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,

Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2, Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22 Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy... Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.

Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa kowalska@yahoo.com,

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Pochodna i jej zastosowania

Pochodna i jej zastosowania Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31 Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb

Bardziej szczegółowo

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach

Bardziej szczegółowo

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym

Bardziej szczegółowo

5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27 Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo