Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
|
|
- Teresa Socha
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek Różniczkowy
2 Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n) funkcji a dla argumentu n oznaczamy przez a n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu, sam zaś ciąg oznaczamy a 1, a 2,..., a n,... lub krótko (a n ). Przykład. n-ty wyraz ciągu 1, 1 2,..., 1 n,... możemy zapisać wzorem a n = 1 n.
3 Ciągi monotoniczne Mówimy, że: ciąg (a n ) jest ściśle rosnący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 > a n (równoważnie a n+1 a n > 0), ciąg (a n ) jest ściśle malejący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 < a n (równoważnie a n+1 a n < 0), ciąg (a n ) jest rosnący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (równoważnie a n+1 a n 0), ciąg (a n ) jest malejący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (równoważnie a n+1 a n 0).
4 Rysunek: Ciągi monotoniczne
5 Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym n + 7 a n = 3 n + 5 jest ściśle malejący. Istotnie, dla dowolnego n N a n+1 a n = 16( n n + 1) (3 n )(3 n + 5). Ponieważ dla każdego n N n n + 1 < 0, (3 n )(3 n + 5) > 0, to stwierdzamy, że dla każdego n N a n+1 a n < 0.
6 Ciągi ograniczone Mówimy, że: ciąg (a n ) jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M taka, że dla każdego n N zachodzi nierówność a n M, ciąg (a n ) jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba m taka, że dla każdego n N zachodzi nierówność m a n. Ciąg, który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu nazywamy krótko ciągiem ograniczonym. Ma to miejsce wówczas, gdy istnieje liczba M > 0 taka, że dla każdego n N a n M.
7 Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym a n = n + 3 n jest ograniczony z dołu przez 0, bo dla każdego n N 0 n + 3 n. Jest on również ograniczony z góry przez 1, bowiem ( n + 3 n)( n n) 3 n + 3 n = =, n n n n ale dla każdego n N 3 3 = 3 n n = 1.
8 Granica ciągu Link Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (a n ), gdy: dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n g < ε dla wszystkich wskaźników n n 0. Inaczej mówiąc: dla dowolnej liczby ε > 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu (a n ), (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą) wpadają do przedziału (g ε, g + ε). Piszemy wtedy lim a n = g lub a n g n i mówimy, że ciąg (a n ) jest zbieżny do g. Skrót lim pochodzi z łaciny i oznacza limes - granicę.
9 Wprost z definicji granicy ciągu Ciąg stały a n = λ jest zbieżny do λ, bo a n λ = λ λ = 0 < ε. Ciąg (a n ) jest zbieżny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ( a n ) jest zbieżny do 0, bo a n 0 = a n 0. Ciąg zbieżny jest ograniczony, bo a n g < ε wtedy i tylko wtedy, gdy g ε < a n < g + ε.
10 Przykład. Ciąg a n = 1 n jest zbieżny do 0. Istotnie, dla ustalonej liczby ε > 0 weźmy taką liczbę naturalną n 0, by n 0 > 1/ε. Wtedy dla wszystkich n n 0 mamy 1 n 0 = 1 n 1 < ε, n 0 więc co oznacza, że 1 n 0 < ε dla n n 0, 1 lim n n = 0.
11 Nie każdy ciąg jest zbieżny Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( 1) n nie posiada granicy (nie jest zbieżny). Istotnie, gdyby jakaś liczba g była granicą ciągu (a n ), to z definicji granicy dla konkretnej liczby dodatniej ε = 1 musiałoby istnieć n 0 takie, że ( 1) n g < 1 dla n n 0. Ponieważ istnieją dowolnie duże liczby parzyste i nieparzyste, to istnieje liczba parzysta n 1 n 0 i liczba nieparzysta n 2 n 0. Dla tych wskaźników mamy: ( 1) n1 g < 1 i ( 1) n2 g < 1,
12 Nie każdy ciąg jest zbieżny czyli skąd wynikałoby, że 1 g < 1 i 1 g < 1, g (0, 2) i g ( 2, 0), co jest niemożliwe. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc nasze przypuszczenie nie jest prawdziwe. Nie istnieje granica lim n ( 1)n. Jeśli ciąg nie posiada granicy, to mówimy, że jest rozbieżny. Powyższy przykład prościej jest wytłumaczyć wprowadzając pojęcie podciągu.
13 Podciąg Niech (k n ) będzie ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych, czyli k 1 < k 2 <... < k n <.... Ciąg (b n ) o wyrazie ogólnym określonym wzorem b n = a kn nazywamy podciągiem ciągu (a n ). Przykład. Ciągi (a 2n ), (a 2n 1 ), (a 5n 3 ), (a n!+3 ) są podciągami tego samego ciągu (a n ). Twierdzenie. Jeżeli ciąg (a n ) jest zbieżny do granicy g, to każdy jego podciąg (a kn ) też jest zbieżny do tej samej granicy g. Jeśli więc dwa podciągi tego samego ciągu są zbieżne do różnych granic, to ciąg jest rozbieżny.
14 Przykład. Poprzedni przykład ciągu a n = ( 1) n sprowadza się teraz krótko do stwierdzenia, że istnieją dwa jego podciągi zbieżne do różnych granic. Mianowicie: oraz lim n ( 1)2n = lim 1 = 1, n lim n ( 1)2n 1 = lim ( 1) = 1. n
15 Ciągi rozbieżne do ± Mówimy, że ciąg (a n ) jest rozbieżny do +, gdy: dla dowolnej liczby M > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n > M dla wszystkich wskaźników n n 0. Piszemy wtedy lim a n = +. n Mówimy, że ciąg (a n ) jest rozbieżny do, gdy: dla dowolnej liczby M > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n < M dla wszystkich wskaźników n n 0. Piszemy wtedy lim a n =. n
16 Przykład 1. Wprost z definicji wynika, że lim n = +, n lim ( n) =. n Przykład 2. Ponieważ n 2 n, to z definicji lim n n2 = +. Przykład 3. Ponieważ 2 n n, to z definicji lim n 2n = +.
17 Własność 1 Jeśli to lim a n = + lub lim a n =, n n lim n 1 a n = 0. Własność 2 Jeśli lim n = 0 n i a n > 0, (odpowiednio a n < 0) to lim n 1 a n = +. (odpowiednio lim n 1 a n = )
18 Symbole oznaczone i nieoznaczone Symbole oznaczone + + (+ ) = +, + ( ) =, (+ ) =, ( ) = +, 1 + = 0, 1 = 0. Symbole nieoznaczone + (+ ), ( ), 0 0, 0 (+ ), 0 ( ), ± ±, 0 0, 0, 0, 1.
19 Własności granicy ciągu Jeśli istnieją granice ciągów (a n ) i (b n ), to: lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n, n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n lim (λa n) = λ lim a n, n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n lim (a n/b n ) = lim a n/ lim b n, o ile lim b n 0. n n n n lim n (abn n ) = ( lim n a n) lim n bn, o ile nie otrzymujemy symbolu nieoznaczonego 0 lub 1 lub 0 0 lub 0.
20 Przykład 1. lim n 3 n ( 1 2 n) + 2 (5 + 1 n )(2 1 n ) = 3 0 (0)2 + 2 (5 + 0)(3 0) = Przykład 2. Przykład 3. lim n 1 n 2 = lim 1 n n 1 n = 0 0 = 0. n 2 + 2n n lim n n 2 = lim 3 n 2 7 n 1 7 = = n 2
21 Znane granice lim n qn = nie istnieje, gdy q 1, 0, gdy q < 1, 1, gdy q = 1, +, gdy q > 1. (1) lim n n = 1. (2) n n lim n! = +. (3) n lim n sin 1 = 1. (4) n n
22 Liczba e Twierdzenie Ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny. Ciąg malejący i ograniczony z dołu jest zbieżny. Można pokażać, że ciąg o wyrazie ogólnym ( a n = ) n n jest rosnący i ograniczony z góry. Zatem jest to ciąg zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy literą e, więc ( e = lim n. n n) Liczba e jest niewymierna e 2,
23 Liczba e Własność Jeśli a n jest zbieżny do 0, to lim n (1 + a n) 1/an = e. Przykład. ( lim ) ( 3n ( = lim ) n+2 ) 5 n+2 ( 3n) 5 = e 15. n n + 2 n n + 2
24 Twierdzenie o trzech ciągach Jeśli a n c n b n i lim n a n = lim n b n = g, to lim n c n = g.
25 Przykład. Niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorem a n = n 3 n + 4 n. Ponieważ n 3 n + 4 n = (3 n + 4 n ) 1 n, to mamy do czynienia z nieoznaczonością 0. Wyznaczymy granicę ciągu (a n ) za pomocą twierdzenia o trzech ciągach. Oczywiście zachodzą nierówności 4 n 3 n + 4 n 4 n + 4 n, więc Skoro 4 n 3 n + 4 n n 2 4. lim 4 = 4, n to z twierdzenia o trzech ciągach lim n 2 4 = lim 2 1 n 4 = 20 4 = 4, n n lim n 3n + 4 n = 4. n
26 Przykład. Jeśli ciąg (a n ) jest ograniczony, tzn. istnieje M > 0 takie, że a ciąg (b n ) jest zbieżny do 0, tzn. a n M, n N, lim b n = 0, n to ciąg (a n b n ) jest zbieżny do 0, tzn. lim a nb n = 0, n gdyż M b n a n b n M b n.
27 Szeregi liczbowe Szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a n nazywamy ciąg (S n ) określony wzorem S n = n a k = a 1 + a a n. k=1 Szreg oznaczamy symbolem a n. n=1 Wyraz S n nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Jeżeli ciąg (S n ) jest zbieżny do liczby S, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę S nazywamy sumą szeregu. Piszemy wtedy a n = S. n=1
28 Przykład. Niech a n = aq n 1 będzie ciągim geometrycznym o pierwszym wyrazie a i ilorazie q. Szereg n=1 aq n 1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q < 1. Istotnie, ciąg sum częściowych szeregu wynosi n k=1 aq k 1 = a 1 qn 1 q. Zatem granica ta istnieje tylko wtedy, gdy q < 1 i jest równa Inaczej mówiąc, suma szeregu geometrycznego wynosi aq n 1 = lim n=1 n n k=1 aq k 1 = lim n a 1 qn 1 q = a 1 q. a 1 q.
29 Granica funkcji Link Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x 0 R, gdy: dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0 i takiego, że x n X i x n x 0 dla n = 1, 2,..., ciąg ( f(x n ) ) jest zbieżny do g. Piszemy wtedy lim f(x) = g. x x 0 Zauważmy, że w powyższej definicji x 0 nie musi należeć do dziedziny funkcji. Ponadto x 0 może być równe + lub.
30 Granice funkcji w punkcie x 0 liczymy podobnie jak granice ciągu. Przykład 1. lim x 2 (x3 3x + 5) = = 7. Przykład 2. x 2 1 [ lim 0 0 ] (x 1)(x + 1) = lim = lim (x + 1) = = 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
31 Funkcja ciągła Link Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 X i lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). O funkcji, która ciągła jest w każdym punkcie x 0 X mówimy krótko, że jest ciągła.
32 Przykłady funkcji ciągłych wielomiany P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, funkcje wymierne W = P/Q, gdzie P, Q - wielomiany, funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R, funkcje wykładnicze f(x) = a x, gdzie a > 0, a 1, funkcje logarytmiczne f(x) = log a x, gdzie a > 0, a 1, funkcje trygonometryczne sin, cos, tg, ctg, suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji ciągłych.
33 Własności funkcji ciągłych Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b] osiąga w tym przedziale minimum swoich wartości i maksimum swoich wartości, tzn. istnieją argumenty x 1, x 2 [a, b] takie, że dla każdego x [a, b] Inaczej mówiąc, f(x 1 ) f(x) f(x 2 ). f(x 1 ) = min{f(x) : x [a, b]}, f(x 2 ) = max{f(x) : x [a, b]}.
34 Własności funkcji ciągłych Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b] ma własność Darboux, tzn. Jeśli wartości f(a) i f(b) są różnych znaków, to istnieje argument c (a, b) taki, że f(c) = 0. Inaczej mówiąc, jeśli na krańcach przedziału [a, b] wartości funkcji ciągłej mają różne znaki, to między a i b istnieje miejsce zerowe funkcji f. Wniosek Funkcja ciągła na przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje każdą wartość między f(a) i f(b).
35 Rysunek: Ilustracja własności Darboux
36 Iloraz różnicowy. Pochodna funkcji Załóżmy, że dana jest funkcja f : (a, b) R. Niech x 0 (a, b) będzie ustaloną liczbą i niech h 0 będzie taką liczbą, że x 0 + h (a, b). Wyrażenie f(x 0 + h) f(x 0 ) h nazywać będziemy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0. Jeśli istnieje skończona granica lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ), h to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). O funkcji, która posiada pochodną w punkcie x 0 mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie x 0.
37 Interpretacja geometryczna pochodnej Link y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) równanie stycznej y f(x 0 ) α f (x 0 ) = tg α y f(x 0) = f(x 0+h) f(x 0 ) (x x h 0) równanie siecznej x 0 x 0 + h x
38 Obliczanie pochodnych pochodna funkcji stałej f(x) = c pochodna funkcji potęgowej f (x) = 0, (x n ) = nx n 1, pochodne funkcji trygonometrycznych (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, pochodna funkcji wykładniczej pochodna funkcji logarytmicznej (e x ) = e x, (a x ) = a x ln a, (ln x) = 1 x, (log a x) = 1 x ln a.
39 Przykład 1. f(x) = x, n = 1 f (x) = (x 1 ) = 1 x 1 1 = x 0 = 1. Przykład 2. f(x) = x 2, n = 2 f (x) = (x 2 ) = 2x 2 1 = 2x 1 = 2x. Przykład 3. f(x) = 1 x = x 1, n = 1 f (x) = (x 1 ) = 1x 1 1 = x 2 = 1 x 2. Przykład 4. f(x) = x = x 1 2, n = 1 2 f (x) = (x 1 2 ) = 1 2 x = 1 2 x 1 2 = 1 2 x.
40 Obliczanie pochodnych pochodna sumy i różnicy funkcji pochodna wielokrotności funkcji pochodna iloczynu funkcji (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x), (cf(x)) = cf (x), (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), pochodna ilorazu funkcji ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2, pochodna złożenia funkcji ( g(f(x)) ) = g (f(x))f (x).
41 Przykład 1. (x 2 + 1) = (x 2 ) + (1) = 2x + 0 = 2x. Przykład 2. (5x 3 ) = 5(x 3 ) = 5 3x 3 1 = 15x 2. Przykład 3. ( ) ( ) 3 3 4x 2 = 4 1 x 2 = 3 4 (x 2 ) = 3 4 ( 2)x 2 1 = 3 2 x 3 = 3 2x 3. Przykład 4. (ln(3x)) = (ln 3 + ln x) = x = 1 x.
42 Przykład 5. (x 2 e x ) = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 e x. Przykład 6. ( (x 3 + 1) x ) = (x 3 + 1) x + (x 3 + 1)( x) = Przykład 7. = 3x 2 x + (x ) 2 x. (sin x ln x) = (sin x) ln x + sin x(ln x) = cos x ln x + sin x 1 x. Przykład 8. ( cos 2 x ) = (cos x cos x) = (cos x) cos x+cos x(cos x) = 2 sin x cos x.
43 Przykład 9. ( ) x x 3 = (x) (x 3 1) x(x 3 1) 1 (x 3 1) 2 = 1 (x3 1) x 3x 2 (x 3 1) 2 = Przykład 10. (tg x) = = x3 1 3x 3 (x 3 1) 2 = 2x3 1 (x 3 1) 2. ( ) sin x = (sin x) cos x sin x(cos x) cos x cos 2 = x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x.
44 Przykład 11. ( (x 3 + 1) 2) = (x 6 + 2x 3 + 1) = 6x 5 + 6x 2. Przykład 12. ( (x 3 + 1) 2017) = 2017(x 3 + 1) (x 3 + 1) = Przykład 13. = 2017(x 3 + 1) x 2 = 6051x 2 (x 3 + 1) ( ln(3x 2 + 2x 5) ) 1 = 3x 2 + 2x 5 (3x2 + 2x 5) = 1 = 3x 2 + 2x 5 (6x + 2) = 6x + 2 3x 2 + 2x 5. Przykład 14. ( sin(e x 2) ) = cos(e x 2) (e x 2) = sin(e x 2) e x.
45 Przykład 15. (e cos x ) = e cos x (cos x) = e cos x ( sin x) = sin x e cos x. Przykład 16. (x x ) = (e ) ( ln(xx ) = e x ln(x)) = e x ln(x) (x ln x) = = e x ln(x)( (x) ln x + x(ln x) ) ( = x x 1 ln x + x 1 ) = x = x x (ln x + 1).
46 Monotoniczność funkcji Funkcję f : (a, b) R nazywamy w przedziale (a, b): ściśle malejącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) > f(x 2 ), malejącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) f(x 2 ), ściśle rosnącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) < f(x 2 ), rosnącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) f(x 2 ). Kryterium monotoniczności funkcji różniczkowalnej Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f (x) 0 dla x (a, b), to f jest rosnąca w (a, b). Jeśli f (x) 0 dla x (a, b), to f jest malejąca w (a, b). Zatem monotoniczność funkcji zależy od znaku pochodnej funkcji. W przypadku, gdy funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] powyższe przedziały można domknąć.
47 Przykład 1. Funkcja f(x) = x 2, x R jest rosnąca w przedziale 0, + ), gdyż f (x) = 2x oraz f (x) 0 dla x 0, + ). 3 y 2 1 f(x) = x x
48 Przykład 2. Jaki jest największy przedział, w którym funkcja f(x) = 1 3 x3 1 2 x2 2x + 1 6, x R jest malejąca? 2 y x
49 Na powyższe pytanie odpowiemy wykorzystując badanie znaku pochodnej f (x) = x 2 x 2, x R. Oczywiście f (x) 0 x 2 x 2 0 x [ 1, 2]. Rozwiązaniem ostatniej nierówności jest przedział [ 1, 2]. Zatem najszerszym przedziałem, w którym funkcja maleje jest [ 1, 2].
50 Ekstrema lokalne funkcji Mówimy, że funkcja f : (a, b) R ma w punkcie x 0 (a, b): minimum lokalne, gdy f(x 0 ) < f(x) dla x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }, maksimum lokalne, gdy f(x) < f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }. Maksimum lub minimum lokalne nosi nazwę ekstremum lokalnego. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f ma w punkcie x 0 (a, b) ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego Przy powyższych założeniach, jeśli istnieje δ > 0 taka, że: f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to f ma w punkcie x 0 minimum lokalne równe f min = f(x 0 ). f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne równe f max = f(x 0 ).
51 Przykład 1. Sprawdźmy za pomocą pochodnej, że trójmian kwadratowy f(x) = x 2 4x + 3 ma minimum w punkcie x 0 = 2. Istotnie, pochodna funkcji f jest równa f (x) = 2x 4, Ponadto, f (x) = 0 2x 4 = 0 x = 2. f (x) < 0 dla x (, 2) f (x) > 0 dla x (2, + ). Zatem na podstawie warunku wystarczającego funkcja f ma w punkcie x 0 = 2 minimum lokalne.
52 Przykład 2.Zbadamy ekstrema lokalne funkcji f(x) = x 2 e x, x R. Pochodna funkcji f jest równa f (x) = 2xe x + x 2 e x = (2x + x 2 )e x, f (x) = 0 2x + x 2 = 0 x = 2, x = 0 f (x) < 0 2x + x 2 < 0 x ( 2, 0) f (x) > 0 2x + x 2 > 0 x (, 2) (0, + ) x (, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, + ) f f f max = f( 2) f min = f(0) = 4e 2 = 0
53 y 3 y = x 2 e x x 1
54 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Załóżmy, że funkcja f : (0, + ) R jest różniczkowalna. Iloraz f(x + h) f(x) f(x) nazywamy przyrostem względnym funkcji f, natomiast iloraz przyrostem względnym argumentu x. Stosunek h x f(x + h) f(x) f(x) nazywamy elastycznością funkcji f w przedziale x, x + h. : h x Elastyczność określa procentowy przyrost wartości funkcji f, odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% na przedziale x, x + h.
55 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Elastycznością funkcji f w punkcie x nazywamy granicę elastyczności funkcji f na przedziale x, x + h, gdy h 0 i oznaczamy symbolem E x f, czyli f(x + h) f(x) E x f = lim : h h 0 f(x) x = x f(x) f (x). Elastyczność funkcji f w punkcie x określa w przybliżeniu procentowy przyrost wartości funkcji f (wzrost lub spadek), odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% (licząc od poziomu x).
56 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Niech Q(p) oznacza wielkość popytu na dany towar przy cenie p. Wtedy jak wiadomo przychód przedsiębiorstwa wyrażony jest funkcją R postaci R(p) = p Q(p), p > 0 Zatem R (p) = Q(p) + pq (p) Oczywiście przychód wzrośnie, gdy R (p) > 0 czyli wtedy, gdy Zatem pq (p) > Q(p). p Q(p) Q (p) > 1 (gdyż Q(p) > 0). Lewa strona tej nierówności jest elastycznością Q w punkcie p. Zatem przychód przedsiębiorstwa wzrośnie, gdy E p Q > 1.
57 Pochodna drugiego rzędu Jeśli funkcja f : (a, b) R posiada pochodną w każdym punkcie x (a, b), to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b) i możemy utworzyć funkcję f : (a, b) R, która każdemu punktowi x (a, b) przyporządkowuje pochodną funkcji f w punkcie x, czyli f (x). Pochodną tej funkcji nazywamy pochodną rzędu 2 funkcji f i oznaczamy f (x). Zatem f (x) = (f (x)). Stały znak drugiej pochodnej w przedziale (a, b) charakteryzuje rodzaj wypukłości wykresu funkcji. Mianowicie: Jeśli f (x) > 0 dla x (a, b), to f jest wypukła w (a, b). Jeśli f (x) < 0 dla x (a, b), to f jest wklęsła w (a, b). Punkty, w których wykres zmienia rodzaj wypukłości nazywamy punktami przegięcia funkcji f.
58 II warunek istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne. Przy tym jest to: maksimum, gdy f (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (x 0 ) > 0.
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
S n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Ciągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Rachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...
Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................
Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Pochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.
Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa kowalska@yahoo.com,
Podstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Granice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Pochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Analiza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Analiza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej