Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Transkrypt

1 Rachunek Różniczkowy

2 Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n) funkcji a dla argumentu n oznaczamy przez a n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu, sam zaś ciąg oznaczamy a 1, a 2,..., a n,... lub krótko (a n ). Przykład. n-ty wyraz ciągu 1, 1 2,..., 1 n,... możemy zapisać wzorem a n = 1 n.

3 Ciągi monotoniczne Mówimy, że: ciąg (a n ) jest ściśle rosnący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 > a n (równoważnie a n+1 a n > 0), ciąg (a n ) jest ściśle malejący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 < a n (równoważnie a n+1 a n < 0), ciąg (a n ) jest rosnący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (równoważnie a n+1 a n 0), ciąg (a n ) jest malejący, gdy dla każdego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (równoważnie a n+1 a n 0).

4 Rysunek: Ciągi monotoniczne

5 Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym n + 7 a n = 3 n + 5 jest ściśle malejący. Istotnie, dla dowolnego n N a n+1 a n = 16( n n + 1) (3 n )(3 n + 5). Ponieważ dla każdego n N n n + 1 < 0, (3 n )(3 n + 5) > 0, to stwierdzamy, że dla każdego n N a n+1 a n < 0.

6 Ciągi ograniczone Mówimy, że: ciąg (a n ) jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M taka, że dla każdego n N zachodzi nierówność a n M, ciąg (a n ) jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba m taka, że dla każdego n N zachodzi nierówność m a n. Ciąg, który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu nazywamy krótko ciągiem ograniczonym. Ma to miejsce wówczas, gdy istnieje liczba M > 0 taka, że dla każdego n N a n M.

7 Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym a n = n + 3 n jest ograniczony z dołu przez 0, bo dla każdego n N 0 n + 3 n. Jest on również ograniczony z góry przez 1, bowiem ( n + 3 n)( n n) 3 n + 3 n = =, n n n n ale dla każdego n N 3 3 = 3 n n = 1.

8 Granica ciągu Link Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (a n ), gdy: dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n g < ε dla wszystkich wskaźników n n 0. Inaczej mówiąc: dla dowolnej liczby ε > 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu (a n ), (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą) wpadają do przedziału (g ε, g + ε). Piszemy wtedy lim a n = g lub a n g n i mówimy, że ciąg (a n ) jest zbieżny do g. Skrót lim pochodzi z łaciny i oznacza limes - granicę.

9 Wprost z definicji granicy ciągu Ciąg stały a n = λ jest zbieżny do λ, bo a n λ = λ λ = 0 < ε. Ciąg (a n ) jest zbieżny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ( a n ) jest zbieżny do 0, bo a n 0 = a n 0. Ciąg zbieżny jest ograniczony, bo a n g < ε wtedy i tylko wtedy, gdy g ε < a n < g + ε.

10 Przykład. Ciąg a n = 1 n jest zbieżny do 0. Istotnie, dla ustalonej liczby ε > 0 weźmy taką liczbę naturalną n 0, by n 0 > 1/ε. Wtedy dla wszystkich n n 0 mamy 1 n 0 = 1 n 1 < ε, n 0 więc co oznacza, że 1 n 0 < ε dla n n 0, 1 lim n n = 0.

11 Nie każdy ciąg jest zbieżny Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( 1) n nie posiada granicy (nie jest zbieżny). Istotnie, gdyby jakaś liczba g była granicą ciągu (a n ), to z definicji granicy dla konkretnej liczby dodatniej ε = 1 musiałoby istnieć n 0 takie, że ( 1) n g < 1 dla n n 0. Ponieważ istnieją dowolnie duże liczby parzyste i nieparzyste, to istnieje liczba parzysta n 1 n 0 i liczba nieparzysta n 2 n 0. Dla tych wskaźników mamy: ( 1) n1 g < 1 i ( 1) n2 g < 1,

12 Nie każdy ciąg jest zbieżny czyli skąd wynikałoby, że 1 g < 1 i 1 g < 1, g (0, 2) i g ( 2, 0), co jest niemożliwe. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc nasze przypuszczenie nie jest prawdziwe. Nie istnieje granica lim n ( 1)n. Jeśli ciąg nie posiada granicy, to mówimy, że jest rozbieżny. Powyższy przykład prościej jest wytłumaczyć wprowadzając pojęcie podciągu.

13 Podciąg Niech (k n ) będzie ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych, czyli k 1 < k 2 <... < k n <.... Ciąg (b n ) o wyrazie ogólnym określonym wzorem b n = a kn nazywamy podciągiem ciągu (a n ). Przykład. Ciągi (a 2n ), (a 2n 1 ), (a 5n 3 ), (a n!+3 ) są podciągami tego samego ciągu (a n ). Twierdzenie. Jeżeli ciąg (a n ) jest zbieżny do granicy g, to każdy jego podciąg (a kn ) też jest zbieżny do tej samej granicy g. Jeśli więc dwa podciągi tego samego ciągu są zbieżne do różnych granic, to ciąg jest rozbieżny.

14 Przykład. Poprzedni przykład ciągu a n = ( 1) n sprowadza się teraz krótko do stwierdzenia, że istnieją dwa jego podciągi zbieżne do różnych granic. Mianowicie: oraz lim n ( 1)2n = lim 1 = 1, n lim n ( 1)2n 1 = lim ( 1) = 1. n

15 Ciągi rozbieżne do ± Mówimy, że ciąg (a n ) jest rozbieżny do +, gdy: dla dowolnej liczby M > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n > M dla wszystkich wskaźników n n 0. Piszemy wtedy lim a n = +. n Mówimy, że ciąg (a n ) jest rozbieżny do, gdy: dla dowolnej liczby M > 0 istnieje wskaźnik n 0 N taki, że a n < M dla wszystkich wskaźników n n 0. Piszemy wtedy lim a n =. n

16 Przykład 1. Wprost z definicji wynika, że lim n = +, n lim ( n) =. n Przykład 2. Ponieważ n 2 n, to z definicji lim n n2 = +. Przykład 3. Ponieważ 2 n n, to z definicji lim n 2n = +.

17 Własność 1 Jeśli to lim a n = + lub lim a n =, n n lim n 1 a n = 0. Własność 2 Jeśli lim n = 0 n i a n > 0, (odpowiednio a n < 0) to lim n 1 a n = +. (odpowiednio lim n 1 a n = )

18 Symbole oznaczone i nieoznaczone Symbole oznaczone + + (+ ) = +, + ( ) =, (+ ) =, ( ) = +, 1 + = 0, 1 = 0. Symbole nieoznaczone + (+ ), ( ), 0 0, 0 (+ ), 0 ( ), ± ±, 0 0, 0, 0, 1.

19 Własności granicy ciągu Jeśli istnieją granice ciągów (a n ) i (b n ), to: lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n, n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n lim (λa n) = λ lim a n, n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n lim (a n/b n ) = lim a n/ lim b n, o ile lim b n 0. n n n n lim n (abn n ) = ( lim n a n) lim n bn, o ile nie otrzymujemy symbolu nieoznaczonego 0 lub 1 lub 0 0 lub 0.

20 Przykład 1. lim n 3 n ( 1 2 n) + 2 (5 + 1 n )(2 1 n ) = 3 0 (0)2 + 2 (5 + 0)(3 0) = Przykład 2. Przykład 3. lim n 1 n 2 = lim 1 n n 1 n = 0 0 = 0. n 2 + 2n n lim n n 2 = lim 3 n 2 7 n 1 7 = = n 2

21 Znane granice lim n qn = nie istnieje, gdy q 1, 0, gdy q < 1, 1, gdy q = 1, +, gdy q > 1. (1) lim n n = 1. (2) n n lim n! = +. (3) n lim n sin 1 = 1. (4) n n

22 Liczba e Twierdzenie Ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny. Ciąg malejący i ograniczony z dołu jest zbieżny. Można pokażać, że ciąg o wyrazie ogólnym ( a n = ) n n jest rosnący i ograniczony z góry. Zatem jest to ciąg zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy literą e, więc ( e = lim n. n n) Liczba e jest niewymierna e 2,

23 Liczba e Własność Jeśli a n jest zbieżny do 0, to lim n (1 + a n) 1/an = e. Przykład. ( lim ) ( 3n ( = lim ) n+2 ) 5 n+2 ( 3n) 5 = e 15. n n + 2 n n + 2

24 Twierdzenie o trzech ciągach Jeśli a n c n b n i lim n a n = lim n b n = g, to lim n c n = g.

25 Przykład. Niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorem a n = n 3 n + 4 n. Ponieważ n 3 n + 4 n = (3 n + 4 n ) 1 n, to mamy do czynienia z nieoznaczonością 0. Wyznaczymy granicę ciągu (a n ) za pomocą twierdzenia o trzech ciągach. Oczywiście zachodzą nierówności 4 n 3 n + 4 n 4 n + 4 n, więc Skoro 4 n 3 n + 4 n n 2 4. lim 4 = 4, n to z twierdzenia o trzech ciągach lim n 2 4 = lim 2 1 n 4 = 20 4 = 4, n n lim n 3n + 4 n = 4. n

26 Przykład. Jeśli ciąg (a n ) jest ograniczony, tzn. istnieje M > 0 takie, że a ciąg (b n ) jest zbieżny do 0, tzn. a n M, n N, lim b n = 0, n to ciąg (a n b n ) jest zbieżny do 0, tzn. lim a nb n = 0, n gdyż M b n a n b n M b n.

27 Szeregi liczbowe Szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a n nazywamy ciąg (S n ) określony wzorem S n = n a k = a 1 + a a n. k=1 Szreg oznaczamy symbolem a n. n=1 Wyraz S n nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Jeżeli ciąg (S n ) jest zbieżny do liczby S, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę S nazywamy sumą szeregu. Piszemy wtedy a n = S. n=1

28 Przykład. Niech a n = aq n 1 będzie ciągim geometrycznym o pierwszym wyrazie a i ilorazie q. Szereg n=1 aq n 1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q < 1. Istotnie, ciąg sum częściowych szeregu wynosi n k=1 aq k 1 = a 1 qn 1 q. Zatem granica ta istnieje tylko wtedy, gdy q < 1 i jest równa Inaczej mówiąc, suma szeregu geometrycznego wynosi aq n 1 = lim n=1 n n k=1 aq k 1 = lim n a 1 qn 1 q = a 1 q. a 1 q.

29 Granica funkcji Link Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x 0 R, gdy: dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0 i takiego, że x n X i x n x 0 dla n = 1, 2,..., ciąg ( f(x n ) ) jest zbieżny do g. Piszemy wtedy lim f(x) = g. x x 0 Zauważmy, że w powyższej definicji x 0 nie musi należeć do dziedziny funkcji. Ponadto x 0 może być równe + lub.

30 Granice funkcji w punkcie x 0 liczymy podobnie jak granice ciągu. Przykład 1. lim x 2 (x3 3x + 5) = = 7. Przykład 2. x 2 1 [ lim 0 0 ] (x 1)(x + 1) = lim = lim (x + 1) = = 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

31 Funkcja ciągła Link Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 X i lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). O funkcji, która ciągła jest w każdym punkcie x 0 X mówimy krótko, że jest ciągła.

32 Przykłady funkcji ciągłych wielomiany P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, funkcje wymierne W = P/Q, gdzie P, Q - wielomiany, funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R, funkcje wykładnicze f(x) = a x, gdzie a > 0, a 1, funkcje logarytmiczne f(x) = log a x, gdzie a > 0, a 1, funkcje trygonometryczne sin, cos, tg, ctg, suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji ciągłych.

33 Własności funkcji ciągłych Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b] osiąga w tym przedziale minimum swoich wartości i maksimum swoich wartości, tzn. istnieją argumenty x 1, x 2 [a, b] takie, że dla każdego x [a, b] Inaczej mówiąc, f(x 1 ) f(x) f(x 2 ). f(x 1 ) = min{f(x) : x [a, b]}, f(x 2 ) = max{f(x) : x [a, b]}.

34 Własności funkcji ciągłych Funkcja ciągła f określona na przedziale domkniętym [a, b] ma własność Darboux, tzn. Jeśli wartości f(a) i f(b) są różnych znaków, to istnieje argument c (a, b) taki, że f(c) = 0. Inaczej mówiąc, jeśli na krańcach przedziału [a, b] wartości funkcji ciągłej mają różne znaki, to między a i b istnieje miejsce zerowe funkcji f. Wniosek Funkcja ciągła na przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje każdą wartość między f(a) i f(b).

35 Rysunek: Ilustracja własności Darboux

36 Iloraz różnicowy. Pochodna funkcji Załóżmy, że dana jest funkcja f : (a, b) R. Niech x 0 (a, b) będzie ustaloną liczbą i niech h 0 będzie taką liczbą, że x 0 + h (a, b). Wyrażenie f(x 0 + h) f(x 0 ) h nazywać będziemy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0. Jeśli istnieje skończona granica lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ), h to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). O funkcji, która posiada pochodną w punkcie x 0 mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie x 0.

37 Interpretacja geometryczna pochodnej Link y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) równanie stycznej y f(x 0 ) α f (x 0 ) = tg α y f(x 0) = f(x 0+h) f(x 0 ) (x x h 0) równanie siecznej x 0 x 0 + h x

38 Obliczanie pochodnych pochodna funkcji stałej f(x) = c pochodna funkcji potęgowej f (x) = 0, (x n ) = nx n 1, pochodne funkcji trygonometrycznych (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, pochodna funkcji wykładniczej pochodna funkcji logarytmicznej (e x ) = e x, (a x ) = a x ln a, (ln x) = 1 x, (log a x) = 1 x ln a.

39 Przykład 1. f(x) = x, n = 1 f (x) = (x 1 ) = 1 x 1 1 = x 0 = 1. Przykład 2. f(x) = x 2, n = 2 f (x) = (x 2 ) = 2x 2 1 = 2x 1 = 2x. Przykład 3. f(x) = 1 x = x 1, n = 1 f (x) = (x 1 ) = 1x 1 1 = x 2 = 1 x 2. Przykład 4. f(x) = x = x 1 2, n = 1 2 f (x) = (x 1 2 ) = 1 2 x = 1 2 x 1 2 = 1 2 x.

40 Obliczanie pochodnych pochodna sumy i różnicy funkcji pochodna wielokrotności funkcji pochodna iloczynu funkcji (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x), (cf(x)) = cf (x), (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), pochodna ilorazu funkcji ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2, pochodna złożenia funkcji ( g(f(x)) ) = g (f(x))f (x).

41 Przykład 1. (x 2 + 1) = (x 2 ) + (1) = 2x + 0 = 2x. Przykład 2. (5x 3 ) = 5(x 3 ) = 5 3x 3 1 = 15x 2. Przykład 3. ( ) ( ) 3 3 4x 2 = 4 1 x 2 = 3 4 (x 2 ) = 3 4 ( 2)x 2 1 = 3 2 x 3 = 3 2x 3. Przykład 4. (ln(3x)) = (ln 3 + ln x) = x = 1 x.

42 Przykład 5. (x 2 e x ) = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 e x. Przykład 6. ( (x 3 + 1) x ) = (x 3 + 1) x + (x 3 + 1)( x) = Przykład 7. = 3x 2 x + (x ) 2 x. (sin x ln x) = (sin x) ln x + sin x(ln x) = cos x ln x + sin x 1 x. Przykład 8. ( cos 2 x ) = (cos x cos x) = (cos x) cos x+cos x(cos x) = 2 sin x cos x.

43 Przykład 9. ( ) x x 3 = (x) (x 3 1) x(x 3 1) 1 (x 3 1) 2 = 1 (x3 1) x 3x 2 (x 3 1) 2 = Przykład 10. (tg x) = = x3 1 3x 3 (x 3 1) 2 = 2x3 1 (x 3 1) 2. ( ) sin x = (sin x) cos x sin x(cos x) cos x cos 2 = x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x.

44 Przykład 11. ( (x 3 + 1) 2) = (x 6 + 2x 3 + 1) = 6x 5 + 6x 2. Przykład 12. ( (x 3 + 1) 2017) = 2017(x 3 + 1) (x 3 + 1) = Przykład 13. = 2017(x 3 + 1) x 2 = 6051x 2 (x 3 + 1) ( ln(3x 2 + 2x 5) ) 1 = 3x 2 + 2x 5 (3x2 + 2x 5) = 1 = 3x 2 + 2x 5 (6x + 2) = 6x + 2 3x 2 + 2x 5. Przykład 14. ( sin(e x 2) ) = cos(e x 2) (e x 2) = sin(e x 2) e x.

45 Przykład 15. (e cos x ) = e cos x (cos x) = e cos x ( sin x) = sin x e cos x. Przykład 16. (x x ) = (e ) ( ln(xx ) = e x ln(x)) = e x ln(x) (x ln x) = = e x ln(x)( (x) ln x + x(ln x) ) ( = x x 1 ln x + x 1 ) = x = x x (ln x + 1).

46 Monotoniczność funkcji Funkcję f : (a, b) R nazywamy w przedziale (a, b): ściśle malejącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) > f(x 2 ), malejącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) f(x 2 ), ściśle rosnącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) < f(x 2 ), rosnącą, gdy x 1 < x 2 implikuje f(x 1 ) f(x 2 ). Kryterium monotoniczności funkcji różniczkowalnej Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f (x) 0 dla x (a, b), to f jest rosnąca w (a, b). Jeśli f (x) 0 dla x (a, b), to f jest malejąca w (a, b). Zatem monotoniczność funkcji zależy od znaku pochodnej funkcji. W przypadku, gdy funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] powyższe przedziały można domknąć.

47 Przykład 1. Funkcja f(x) = x 2, x R jest rosnąca w przedziale 0, + ), gdyż f (x) = 2x oraz f (x) 0 dla x 0, + ). 3 y 2 1 f(x) = x x

48 Przykład 2. Jaki jest największy przedział, w którym funkcja f(x) = 1 3 x3 1 2 x2 2x + 1 6, x R jest malejąca? 2 y x

49 Na powyższe pytanie odpowiemy wykorzystując badanie znaku pochodnej f (x) = x 2 x 2, x R. Oczywiście f (x) 0 x 2 x 2 0 x [ 1, 2]. Rozwiązaniem ostatniej nierówności jest przedział [ 1, 2]. Zatem najszerszym przedziałem, w którym funkcja maleje jest [ 1, 2].

50 Ekstrema lokalne funkcji Mówimy, że funkcja f : (a, b) R ma w punkcie x 0 (a, b): minimum lokalne, gdy f(x 0 ) < f(x) dla x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }, maksimum lokalne, gdy f(x) < f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }. Maksimum lub minimum lokalne nosi nazwę ekstremum lokalnego. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f ma w punkcie x 0 (a, b) ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego Przy powyższych założeniach, jeśli istnieje δ > 0 taka, że: f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to f ma w punkcie x 0 minimum lokalne równe f min = f(x 0 ). f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne równe f max = f(x 0 ).

51 Przykład 1. Sprawdźmy za pomocą pochodnej, że trójmian kwadratowy f(x) = x 2 4x + 3 ma minimum w punkcie x 0 = 2. Istotnie, pochodna funkcji f jest równa f (x) = 2x 4, Ponadto, f (x) = 0 2x 4 = 0 x = 2. f (x) < 0 dla x (, 2) f (x) > 0 dla x (2, + ). Zatem na podstawie warunku wystarczającego funkcja f ma w punkcie x 0 = 2 minimum lokalne.

52 Przykład 2.Zbadamy ekstrema lokalne funkcji f(x) = x 2 e x, x R. Pochodna funkcji f jest równa f (x) = 2xe x + x 2 e x = (2x + x 2 )e x, f (x) = 0 2x + x 2 = 0 x = 2, x = 0 f (x) < 0 2x + x 2 < 0 x ( 2, 0) f (x) > 0 2x + x 2 > 0 x (, 2) (0, + ) x (, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, + ) f f f max = f( 2) f min = f(0) = 4e 2 = 0

53 y 3 y = x 2 e x x 1

54 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Załóżmy, że funkcja f : (0, + ) R jest różniczkowalna. Iloraz f(x + h) f(x) f(x) nazywamy przyrostem względnym funkcji f, natomiast iloraz przyrostem względnym argumentu x. Stosunek h x f(x + h) f(x) f(x) nazywamy elastycznością funkcji f w przedziale x, x + h. : h x Elastyczność określa procentowy przyrost wartości funkcji f, odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% na przedziale x, x + h.

55 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Elastycznością funkcji f w punkcie x nazywamy granicę elastyczności funkcji f na przedziale x, x + h, gdy h 0 i oznaczamy symbolem E x f, czyli f(x + h) f(x) E x f = lim : h h 0 f(x) x = x f(x) f (x). Elastyczność funkcji f w punkcie x określa w przybliżeniu procentowy przyrost wartości funkcji f (wzrost lub spadek), odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% (licząc od poziomu x).

56 Interpretacje ekonomiczne pochodnej Niech Q(p) oznacza wielkość popytu na dany towar przy cenie p. Wtedy jak wiadomo przychód przedsiębiorstwa wyrażony jest funkcją R postaci R(p) = p Q(p), p > 0 Zatem R (p) = Q(p) + pq (p) Oczywiście przychód wzrośnie, gdy R (p) > 0 czyli wtedy, gdy Zatem pq (p) > Q(p). p Q(p) Q (p) > 1 (gdyż Q(p) > 0). Lewa strona tej nierówności jest elastycznością Q w punkcie p. Zatem przychód przedsiębiorstwa wzrośnie, gdy E p Q > 1.

57 Pochodna drugiego rzędu Jeśli funkcja f : (a, b) R posiada pochodną w każdym punkcie x (a, b), to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b) i możemy utworzyć funkcję f : (a, b) R, która każdemu punktowi x (a, b) przyporządkowuje pochodną funkcji f w punkcie x, czyli f (x). Pochodną tej funkcji nazywamy pochodną rzędu 2 funkcji f i oznaczamy f (x). Zatem f (x) = (f (x)). Stały znak drugiej pochodnej w przedziale (a, b) charakteryzuje rodzaj wypukłości wykresu funkcji. Mianowicie: Jeśli f (x) > 0 dla x (a, b), to f jest wypukła w (a, b). Jeśli f (x) < 0 dla x (a, b), to f jest wklęsła w (a, b). Punkty, w których wykres zmienia rodzaj wypukłości nazywamy punktami przegięcia funkcji f.

58 II warunek istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne. Przy tym jest to: maksimum, gdy f (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (x 0 ) > 0.