Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Transkrypt

1 Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski

2

3 ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale (a, b). Pisząc x, x 0, x + itp. mamy zawsze na uwadze tylko te wartości tyc zmiennyc, które należą do przedziału (a, b). Definicja 6.1. Niec f : (a, b) R będzie daną funkcją, x 0 dowolnym punktem z przedziału (a, b). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 o przyroście różnym od zera nazywamy wyrażenie Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0 D f (x 0, ) = f(x 0 + ) f(x 0 ). ( δ, +δ) \ {0}, gdzie δ jest pewną liczbą dodatnią. Zapiszemy teraz ten iloraz w nieco innej postaci. Oznaczmy x = x 0 +. Wtedy = x x 0 i iloraz różnicowy przyjmuje postać D(f, x 0, x) = f(x) f(x 0) x x 0. jest więc pewną funkcją określoną w zbiorze Tak zapisany iloraz różnicowy jest funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } punktu x 0. czyli Definicja 6.2. Jeśli istnieje granica D(f, x 0, x), x x 0 f(x) f(x 0 ), x x 0 x x 0 to granicę tę nazywamy pocodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem f (x 0 ). Jeśli istnieje granica lewostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x 0, to granicę tę nazywamy pocodną lewostronną funkcji f w punkcie x 0 ; oznaczamy ją symbolem f (x 0 ). Jeśli istnieje granica prawostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x 0, to granicę tę nazywamy pocodną prawostronną funkcji f w punkcie x 0 oraz oznaczamy ją symbolem f +(x 0 ).

4 48 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 6.3. Funkcję f określoną w pewnym otoczeniu (a, b) punktu x nazywamy różniczkowalną w punkcie x, jeśli istnieje skończona pocodna funkcji funkcji f w tym punkcie. Twierdzenie 6.1. Niec f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu (a, b) punktu x. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby a i δ > 0 i funkcja ϕ określona w pewnym sąsiedztwie zera takie, że gdzie 0 ϕ() = 0. Wtedy f (x) = a. f(x + ) = f(x) + a + ϕ(), Twierdzenie 6.2. Każda funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła. Twierdzenie 6.3. Niec funkcje f i g będą różniczkowalne w pewnym punkcie x i c będzie liczbą rzeczywistą. Wtedy funkcje f + g, f g, f g, c f są różniczkowalne oraz (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x), (c f) (x) = c f (x). Twierdzenie 6.4. Niec funkcja g : (a, b) R będzie różniczkowalna w pewnym punkcie x (a, b), dla którego g(x) 0. Wtedy funkcja 1 jest różniczkowalna oraz g ( ) 1 (x) = g (x) g g 2 (x). Z powyższego twierdzenia oraz twierdzenia 7.3. wynika teraz bezpośrednio następujący wniosek. Twierdzenie 6.5. Niec funkcje f i g określone w pewnym otoczeniu punktu x będą różniczkowalne w punkcie x i g(x) 0. Wtedy różniczkowalna jest funkcja f g oraz ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x). g g 2 (x) Definicja 6.4. Jeżeli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcję przyjmującą w każdym punkcie x (a, b) wartość pocodnej funkcji f w tym punkcie (a, b) nazywamy funkcją pocodną (lub krótko pocodną) funkcji f. Funkcję tę oznaczamy symbolem f.

5 Notatki z analizy 49 Twierdzenie 6.6. Niec funkcje f : (a, b) (c, d) i g : (c, d) R będą różniczkowalne; funkcja f w punkcie x 0 (a, b), natomiast funkcja g w punkcie f(x 0 ). Wtedy funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie x 0 i (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Twierdzenie 6.7. Niec funkcja f : (a, b) R będzie ciągła i rosnąca (malejąca) oraz różniczkowalna w punkcie x (a, b). Jeżeli f (x) 0, to funkcja f 1 jest różniczkowalna w punkcie f(x) i ( f 1 ) (f(x)) = 1 f (x). Podamy teraz kilka podstawowyc wzorów na pocodne najczęściej używanyc funkcji. (x n ) = n x n 1 gdy x R, ( ) 1 x = 2 x gdy x (0, ), (sin x) = cos x gdy x R, (cos x) = sin x gdy x R, (e x ) = e x gdy x R, (ln x) = 1 gdy x Wzory te wynikają z następującyc racunków. x (0, ). mamy Dla każdej liczby rzeczywistej x, każdej liczby naturalnej n i każdej liczby różnej od zera (x + ) n x n = 1 n i=1 ( n i ( n i=0 ) ( ) n )x n i i x n = i x n i i 1. Wynika stąd, że poniższa granica istnieje i spełnione są równości (x + ) n x n ( ) n n = x n i i 1 = nx n i i=1 Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x oraz każdej liczby różnej od zera i takiej, że x + > 0 mamy x + x więc poniższa granica istnieje i x + x 0 = ( x + + x ) = 1 x + + x, = 0 1 x + + x = 1 2 x.

6 50 Jacek M. Jędrzejewski Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby różnej od zera mamy więc poniższa granica istnieje i sin(x + ) sin x sin(x + ) sin x 0 = 2 sin 2 = 0 2 sin 2 2x+ cos 2, cos 2x+ 2 Podobnie dowodzi się wzoru na pocodną funkcji cosinus. = cos x. Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby różnej od zera mamy e x+ e x = e x e 1, więc z własności granic wynika, że poniższe granice istnieją i e x+ e x 0 = e x 0 e 1 = e x. Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej, więc na mocy twierdzenia poprzedniego i własności tyc funkcji wynika, że jeśli przyjmiemy oznaczenia x = e t gdy t R, to (ln x) = 1 (e t ) = 1 e t = 1 x. Przypomnijmy tu definicję stycznej do wykresu funkcji. Definicja 6.5. Prosta l nazywa się prostą styczną do wykresu funkcji f : (a, b) R w punkcie (x 0, y 0 ), gdzie x 0 (a, b) i y 0 = f(x 0 ), jeśli stosunek odległości dowolnego punktu (x, f(x)) wykresu funkcji f od prostej l do odległości tego punktu od (x 0, f(x 0 )) ma granicę przy x dążącym do x 0 i granica ta jest równa zeru. Symbolicznie: ϱ(p, l) P P 0 ϱ(p, P 0 ) = 0, gdzie P = (x, f(x)), P 0 = (x 0, f(x 0 )) i ϱ oznacza odległość euklidesową na płaszczyźnie. Twierdzenie 6.8. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w pewnym punkcie x 0 (a, b), to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) i równanie tej stycznej ma postać: y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ). Twierdzenie 6.9. Jeśli prosta L o równaniu y = mx + n jest styczna do wykresu funkcji f : (a, b) R w punkcie (x 0, f(x 0 )) dla pewnego x 0 (a, b), to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 i jej pocodna w tym punkcie jest równa m.

7 Notatki z analizy Twierdzenia o wartości średniej Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) zawarte w (a, b) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) takie, że Podamy teraz warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnyc. f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Twierdzenie Jeśli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i ma w pewnym punkcie x 0 (a, b) ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie (Rolle) Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f(a) = f(b), to istnieje punkt ξ (a, b) taki, że f (ξ) = 0. Twierdzenie (Lagrange) Niec funkcja f : [a, b] R będzie ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna w przedziale (a, b). Wtedy istnieje punkt ξ (a, b) taki, że f (ξ) = f(b) f(a). b a Wniosek 6.1. Jeśli ciągła funkcja f : [a, b] R ma pocodną równą zero w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest stała. Wniosek 6.2. Jeśli ciągła funkcja f : [a, b] R ma pocodną nieujemną w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest niemalejąca. Podobnie dowodzi się, że jeśli funkcja f : [a, b] R ma pocodną niedodatnią w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest nierosnąca. Twierdzenie (Caucy) Niec funkcje f : [a, b] R i g : [a, b] R będą ciągłe w całej dziedzinie i różniczkowalne w przedziale (a, b). Jeśli g (x) 0, dla x (a, b), to istnieje punkt ξ (a, b) taki, że f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a).

8 52 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie (Darboux) Jeśli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i f (a) < 0 < f (b), to istnieje punkt x 0 (a, b) taki, że f (x 0 ) = 0. Korzystając z powyższego twierdzenia łatwo uzyskujemy następujący wniosek. Wniosek 6.3. Jeśli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna, to jej pocodna ma własność Darboux. Twierdzenie Niec funkcje 3. Reguły de l Hospitala f : [a, b] R i g : [a, b] R będą ciągłe w całej dziedzinie i różniczkowalne w przedziale (a, b). Niec ponadto g(x) 0 dla x (a, b) i f(a) = g(a) = 0. Jeśli istnieje granica f (x) x a +, to istnieje granica g (x) x a f(x) + g(x) oraz f(x) x a + g(x) = f (x) x a + g (x). Twierdzenie Niec funkcje f : (a, b) R i g : (a, b) R będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, b). Niec ponadto Jeśli g(x) 0 gdy x (a, b). f(x) = g(x) = x a + x a + i istnieje granica x a + f (x) g (x) = α, to istnieje też granica x a + f(x) g(x) oraz Twierdzenie Niec funkcje f(x) x a + g(x) = f (x) x a + g (x). f : (a, ) R i g : (a, ) R będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, ), gdzie a > 0. Niec ponadto g(x) 0 dla x (a, ) i Jeśli istnieje granica to istnieje granica f(x) = g(x) = 0. x x f (x) x g (x), x f(x) g(x)

9 oraz Twierdzenie Niec funkcje Notatki z analizy 53 f(x) x g(x) = f (x) x g (x). f : (a, ) R i g : (a, ) R będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, ). Niec ponadto g(x) 0 gdy x (a, ). Jeśli x f(x) = x g(x) = i istnieje granica to istnieje granica oraz f (x) x g (x), f(x) x g(x) f(x) x g(x) = f (x) x g (x). Podobnie, dowodzi się, że powyższe własności są prawdziwe dla granic lewostronnyc oraz granic obustronnyc, jak również w minus nieskończoności. 4. Pocodne wyższyc rzędów, wzór Taylora Załóżmy teraz, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w całym przedziale (a, b). Ma więc funkcję pocodną. Jeśli ta pocodna sama jest różniczkowalna w pewnym punkcie x przedziału (a, b), to nazywamy ją drugą pocodną funkcji f lub pocodną drugiego rzędu funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem f (x) lub f (2) (x). Przyjmujemy oznaczenie f (0) (x) = f(x). Zakładając, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w (a, b), możemy zdefiniować pocodną trzeciego rzędu funkcji f jako pocodną drugiej pocodnej. Indukcyjnie, n-ta pocodna funkcji f w punkcie x jest określana jako pocodna (n 1)-szej pocodnej funkcji f; n-tą pocodną funkcji f w punkcie x oznaczamy symbolem f (n) (x). Powołując się na racunkowe wzory na pocodnyc, przy odpowiednic założeniac o n- krotnej różniczkowalności funkcji f i g w otoczeniu punktu x, dowodzi się indukcyjnie następującyc równości: (f + g) (n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x), (f g) (n) (x) = f (n) (x) g (n) (x), (c f) (n) (x) = c f (n) (x), gdzie c R,

10 54 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie (Taylor) Niec f będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu przedziału [a, b]. Wtedy istnieje w przedziale (a, b) punkt ξ taki, że gdzie f (1) (a) 1! f(b) f(a) = R n + (b a) + f (2) (a) (b a) f (n 1) (a) 2! (n 1)! (b a)n 1, R n = f (n) (ξ) n! (b a) n. R n z powyższego twierdzenia nazywamy resztą przedstawioną w postaci Lagrange a. Twierdzenie (Maclaurin) Jeśli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu przedziału [a, b] zawierającego 0, to dla dowolnego x (a, b) istnieje liczba θ (0, 1) taka, że gdzie f (1) (0) 1! x + f (2) (0) 2! f(x) f(0) = x f (n 1) (0) (n 1)! xn 1 + R n, R n = f (n) (θx) n! x n. Powyższe twierdzenie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Taylora. Z twierdzenia Maclaurina wynika twierdzenie pozwalające rozwinąć w szereg potęgowy funkcję nieskończenie wiele razy różniczkowalną. Twierdzenie Niec funkcja f ma pocodne wszystkic rzędów w pewnym otoczeniu przedziału [a, b] zawierającego 0. Jeśli ciąg reszt (R n ) n=1 ze wzoru Maclaurina dąży do zera przy n dążącym do nieskończoności, to f(x) = n=0 f (n) (0) n! Twierdzenie Jeśli funkcja f ma pocodne wszystkic rzędów w pewnym otoczeniu przedziału [a, b] zawierającego 0 i istnieje dodatnia stała K taka, że f (n) (t) K dla t [a, b], to f(x) = n=0 f (n) (0) n! x n. x n. 5. Zastosowania pocodnyc W tym paragrafie zakładać będziemy o funkcji tyle własności ile potrzeba. Najczęściej będzie ona różniczkowalna tyle razy ile tego będzie wymagało odpowiednie twierdzenie. Najpierw zajmiemy się zbadaniem warunków istnienia punktów ekstremalnyc funkcji różniczkowalnej. Twierdzenie podaje warunek konieczny istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej. Podamy teraz warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej.

11 Notatki z analizy 55 Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeśli f : (a, b) R jest funkcją różniczkowalną i f (x 0 ) = 0 dla pewnego punktu x 0 (a, b) oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne. Jeśli zaś istnieje δ > 0 taka, że f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne. Twierdzenie (II warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niec f : (a, b) R będzie funkcją mającą drugą pocodną ciągłą w przedziale (a, b). Jeśli dla pewnego punktu x 0 (a, b) f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i to maksimum, gdy f (x 0 ) < 0, zaś gdy f (x 0 ) > 0, to minimum lokalne. Powyższe twierdzenie można uogólnić w sposób następujący. Twierdzenie Niec f : (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w punkcie x 0 (a, b). Jeśli f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i to maksimum, gdy f (x 0 ) < 0, zaś gdy f (x 0 ) > 0, to f ma minimum lokalne. Podamy teraz jeszcze warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n-krotnie różniczkowalnej. Twierdzenie Niec f : (a, b) R będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną, gdzie n > 1. Jeśli x 0 (a, b) i f (k) (x 0 ) = 0, gdy k {1, 2,..., n 1} oraz f (n) (x 0 ) 0, to: (1) jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i to maksimum lokalne, gdy f (n) (x 0 ) < 0, zaś gdy f (n) (x 0 ) > 0, to minimum lokalne.

12 56 Jacek M. Jędrzejewski (2) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x 0. Definicja 6.6. Niec f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli dla pewnego punktu x 0 (a, b) istnieje δ > 0 taka, że f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0, x 0 + δ) oraz f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0 δ, x 0 ), albo f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0, x 0 + δ) oraz f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0 δ, x 0 ), albo f (x 0 =, to x 0 nazywamy punktem przegięcia funkcji f. Twierdzenie Jeśli funkcja f : (a, b) R ma skończoną drugą pocodną w punkcie x 0 oraz x 0 jest punktem przegięcia funkcji f, to f (2) (x 0 ) = 0. Twierdzenie Jeśli funkcja f : (a, b) R ma skończoną drugą pocodną w sąsiedztwie punktu x 0 i istnieje δ > 0 takie, że f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ] i f (x) 0 dla x [x 0, x 0 + δ) albo f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ] i f (x) 0 dla x [x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 punkt przegięcia. Twierdzenie Niec f : (a, b) R ma n pocodnyc ciągłyc, gdzie n > 2. Załóżmy ponadto, że f (k) (x 0 ) = 0, gdy k {2,..., n 1}, i f (n) (x 0 ) 0, dla pewnego punktu x 0 (a, b). Wtedy 1) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f ma w x 0 punkt przegięcia, 2) jeśli n jest liczbą parzystą, to x 0 nie jest punktem przegięcia funkcji f.

13 Notatki z analizy 57 Definicja 6.7. Funkcję f : (a, b) R nazywamy wypukłą w przedziale (a, b), jeśli dla dowolnyc punktów x 1, x 2 (a, b) i dowolnyc liczb α, β 0 takic, że α + β = 1 spełniona jest nierówność f(αx 1 + βx 2 ) α f(x 1 ) + β f(x 2 ). Funkcję f : (a, b) R nazywamy wklęsłą w przedziale (a, b), jeśli dla dowolnyc punktów x 1, x 2 (a, b) i dowolnyc liczb nieujemnyc α, β takic, że α+β = 1 spełniona jest nierówność Warunki te można zapisać jako: dla funkcji wypukłej i dla funkcji wklęsłej. f(αx 1 + βx 2 ) α f(x 1 ) + β f(x 2 ). x 1,x 2 (a,b) t (0,1) (f(tx 1 + (1 t)x 2 )) t f(x 1 ) + (1 t) f(x 2 ) x 1,x 2 (a,b) t (0,1) (f(tx 1 + (1 t)x 2 )) t f(x 1 ) + (1 t) f(x 2 ) Łatwo zauważamy, że jeśli funkcja f jest wypukła w przedziale (a, b), to funkcja f jest wklęsła w tym przedziale i odwrotnie, jeśli f jest wklęsła w przedziale (a, b), to funkcja f jest wypukła w tym przedziale. Twierdzenie Każda funkcja f : (a, b) R wypukła jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a, b). Twierdzenie Funkcja f : (a, b) R różniczkowalna w przedziale (a, b) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest niemalejąca. Podobnie można udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie Każda funkcja f : (a, b) R różniczkowalna w przedziale (a, b) jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest nierosnąca. Twierdzenie Jeśli funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b), to: (1) f jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy f 0; (2) f jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy f 0. Te własności pozwalają na dokładną analizę zacowania się funkcji różniczkowalnej. Przy ic pomocy możemy wyznaczać punkty ekstremalne, punkty przegięcia, przedziały monotoniczności oraz przedziały wypukłości, a poprzednio poznane własności asymptot umożliwiają nam na umiejscowienie wykresu funkcji na płaszczyźnie z układem współrzędnyc. Tego typu analiza funkcji nosi często nazwę badanie funkcji.