Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Transkrypt

1 Wektor P. F. Góra rok akademicki Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką. Wektor jest różn od wektora. Wektor o początku i końcu w tm samm punkcie nazwam wektorem zerowm. O Rsunek. Konstrukcja do obliczenia długości wektora. Przez pewien czas będziem się ograniczali do punktów (i wektorów) na płaszczźnie. Niech punkt, mają, odpowiednio, wspołrzędne kartezjańskie (, ) i (, ). udujem trójkąt prostokątn, którego przeciwprostokątną jest wektor, a przprostokątne są równoległe do osi OX, OY. Z twierdzenia Pitagorasa widzim, iż długość wektora jest dana przez = ( ) + ( ). () Długość wektora jest taka sama, jak dugość wektora : =. Długość wektora zerowego wnosi zero. Przkład: Obliczm długość wektora, którego początek stanowi punkt P o współrzędnch (, ), koniec punkt Q o współrzędnch (, ). P Q = ( ) + ( ) = + ( 4) = = 0 = 5. () Równość wektorów. Mówim, że dwa wektor są równe, jeśli za pomocą przesunięcia równoległego można je nałożć na siebie, to znacz doprowadzić do stuacji, w której początek pierwszego wektora pokrwa się z początkiem drugiego i jednocześnie koniec pierwszego wektora pokrwa się z końcem drugiego. Rozważm dwa wektor P Q i RS. Niech początki i końce tch wektorów mają, odpowiednio, współrzędne P (, ), Q(, ), R(, ), S( 4, 4 ). Zauważm, że do tego, ab wektor te bł równe, potrzeba i wstarcza, ab jednocześnie zachodził równości = 4 oraz = 4.

2 P X Q Y Rsunek. Równość wektorów. W pokazanej na rsunku stuacji, wektor,, są równe, ale nie są równe wektorowi XY. Żaden z tch wektorów nie jest równ wektorowi P Q. Łatwo pokazać, iż relacja równości wektorów tworz relację równoważnościowa, gdż. jest to relacja zwrotna (każd wektor jest równ samemu sobie),. jest relacją smetrczną (jeżeli P Q = RS, to RS = P Q),. jest relacją przechodnią (gdż złożenie dwu przesunięć równoległch jest przesunięciem równoległm). Dodawanie wektorów. b dodać dwa wektor związane, wkonujem następującą operację (patrz Rsunek ): Chcem obliczć + CD. W tm celu stosujem następującą regułę równolegloboku: D E C Rsunek. Suma dwóch wektorów.. Przesuwam równolegle wektor CD tak, ab jego początek pokrł się z końcem wektora. Koniec przesuniętego wektora oznaczam przez E.. udujem równoległobok, którego dwoma bokami są wektor, E.. Sumą wektorów staje się przekątna powstałego równoległoboku, czli wektor E. Jak widzim, prz rozważaniu równości i dodawania wektorów zaczepionch, fakt, iż mają one określone początki i końce, raczej utrudnia, niż ułatwia rozważania. Wektor swobodne. Korzstając z faktu, iż relacja równości wektorów zaczepionch jest relacją równoważnościową, możem podzielić cał zbiór wektorów zaczepionch na płaszczźnie na zbior wektorów równch (klas Mowim tu o matematce. W fizce określona jest tlko suma wektorów zaczepionch w tm samm punkcie. Oblicza się ją zresztą według tego samego algortmu, jaki jest omawian tutaj.

3 abstrakcji względem relacji równości wektorów). Innmi słow, utożsamiam wszstkie równe sobie wektor zaczepione. Po utożsamieniu wektorów równch, otrzmujem wektor swobodne. Zwczajowo przedstawia się je jako zaczepione w początku układu współrzędnch. Wektor swobodne będziem oznaczać literami półgrubmi. Wektor swobodn reprezentowan przez strzałkę o początku w środku układu współrzędnch i końcu w punkcie P (, ) oznaczam [, ]. Liczb, nazwam składowmi tego wektora. Działania na wektorach swobodnch. Niech będą dane dwa wektor swobodne a = [a, a ] i b = [b, b ]. Sumę wektorów definiujem następująco: a + b = [a, b ] + [a, b ] = [a + b, a + b ]. () Zauważm, że definicja () jest zgodna z przedstawioną wżej regułą równoległoboku! Niech c będzie dowolną liczbą rzeczwistą. Mnożenie wektora przez liczbę definiujem jako c a = c [a, a ] = [c a, c a ]. (4) Zauważm, że wektor a i c a są równoległe. Przkład. Niech a = [, ], b = [, ]. Obliczm a oraz a b. a = [, ] = [, ] = [, 4]. (5) a b = [, ] [, ] = [, ] + [( ) ( ), ( ) ] = [, 6] + [4, 6] = [ + 4, 6 6] = [7, 0]. (6) Długość wektora swobodnego. Długością wektora swobodnego a = [a, a ] jest liczba a = a + a. (7) Iloczn skalarn. Iloczn skalarn dwu niezerowch wektorów a, b tworzącch kąt α, definiuje się jako a b = a b cos α. (8) Obliczanie kąta pomiędz wektorami może vbć kłopotliwe, dlatego też w praktce postępujem inaczej. Rozważm konstrukcję zaprezentowaną na Rsunku 4.

4 β α β Rsunek 4. Iloczn skalarn dwu wektorów. Dwa pokazane na rsunku wektor oznaczm je odpowiednio i tworzą kąt α. Kąt ten jest różnicą kątów β, β, jaki wektor, tworzą z osią OX. Zatem = cos α = cos(β β ) = (cos β cos β + sin β sin β ) ( = + ) = +, (9) gdzie po drodze skorzstaliśm ze wzoru na kosinus różnic kątów i z definicji funkcji trgonometrcznch. Widzim, że iloczn skararn dwu wektorów równa się sumie ilocznów składowch tch wektorów! Przkład. Niech a = [, ], b = [, 4]. a b = [, ] [, 4] = ( ) + 4 = + 8 = 5. Wektor kierunkow prostej. Ogólne równanie prostej na płaszczźnie ma postać + + C = 0, (0) prz czm liczb, nie mnogą jednocześnie bć równe zeru. Jeżeli = 0, równanie (0) określa prostą równoległą do osi OX. Jeżeli = 0, równanie to określa prostą równoległą do osi OY. Wektor o współrzędnch [, ] jest wektorem równoległm do prostej (0). Wektor ten nazwa się wektorem kierunkowm prostej. Dla = 0 lub = 0 powższe twierdzenie jest oczwiste. Dla 0 zauważm, że punkt P ( ) ( ) 0, C, Q, +C leżą na prostej (0). Punkt te wznaczają wektor któr jest równoległ do wektora [, ]. [ P Q = 0, + C ( C )] [ =, ] = [, ], () Rzut wektora na prosta. b obliczć rzut wektora swobodnego u na prostą o równaniu (0), postępujem następująco (patrz Rsunek 5): 4

5 α u u s Rsunek 5. Rzut wektora na prostą.. Przesuwam wektor u równolegle tak, ab jego początek znalazł się na danej prostej. Przesunięt wektor oznaczam u.. Rzut s wektora u na prostą obliczam jako s = u cos α, gdzie α jest kątem, jaki wektor u tworz z prostą.. Wielkość cos α wliczam z ilocznu skalarnego wektora u i wektora kierunkowego prostej. Ostatecznie s = u cos α = u u [, ] u [, ] = u [, ] u [, ] = + +. () Wektor wielowmiarowe. O wektorach swobodnch na płaszczźnie mówim, że należą do przestrzeni R. nalogicznie definiuje się wektor w przestrzeni R i, ogólnie, w przestrzeni R n. Jeżeli dane są dwa wektor a = [a, a,..., a n ], b = [b, b,..., b n ] z przestrzeni R n, działania na nich definiujem następująco: a + b = [a, a,..., a n ] + [b, b,..., b n ] = [a + b, a + b,..., a n + b n ] () c a = c [a, a,..., a n ] = [c a, c a,..., c a n ], c R (4) n a b = [a, a,..., a n ] [b, b,..., b n ] = a b + a b + + a n b n = a i b i (5) Ostatnia z powższch równości definiuje iloczn skalarn. Jeżeli wektor a, b są niezerowe, kosinus kąta międz nimi definiuje się jako i= cos α = a b a b (6) Wektor, dla którch a b = 0, nazwa się wektorami wzajemnie prostopadłmi (ortogonalnmi). Mówiąc bardziej preczjnie, wbieram takiego reprezentanta wektora swobodnego u, którego początek leż na danej prostej. 5