Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Transkrypt

1 Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1

2 1. Pochodna Zagadnienia 2. Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności unkcji 3. Wykrywanie ekstremów lokalnych 4. Granica unkcji reguła de L Hospitala 5. Badanie przebiegu zmienności unkcji 2

3 * Pochodna unkcji - idea 3

4 * Pochodna unkcji - idea Niech : D R,, y = (), D Rozpatrujemy: ciąg argumentów n ciąg wartości ( ) n ciąg ilorazów różnicowych granicę tego ciągu... ( ) ( ) n n 4

5 * Pochodna unkcji deinicja Niech : D R, D, ( n ) taki ciąg, że + n D dla każdego n N oraz lim n =. n Jeżeli istnieje skończona granica ciągu ilorazów różnicowych lim n ( ) ( ) niezależna od wyboru ciągu ( n ), to nazywamy ją pochodną unkcji w punkcie i piszemy ( ) = lim n 5 ( n ) n n n ( )

6 Uwaga 1 Z tej deinicji oraz twierdzeń opisujących własności pochodnej wyprowadza się wzory na pochodne unkcji elementarnych podane dalej. 6

7 Uwaga 2 Pochodna unkcji jest również pewną unkcją. Niżej podano przykłady zapisu pochodnej. wzór unkcji wzór pochodnej ( ) = ( ) = 2 g ( ) = e g ( ) = e h ( ) = 5 h ( ) = 7

8 Pochodna unkcji - terminologia Obliczanie pochodnej unkcji nazywa się różniczkowaniem unkcji. 8

9 Wzory na pochodne unkcji Funkcja stała: ( ) = c Pochodna unkcji stałej: ( ) = Konwencja zapisu: Pochodna unkcji stałej ( ) = c (1) 9

10 Wzory na pochodne unkcji cd. Pochodna unkcji potęgowej α - stała, α ( α ) = α α 1 (2) R Pochodna unkcji wykładniczej a stała, a > ( ) a = a lna Pochodna unkcji logarytmicznej ( log ) a - stała, a, a 1 a = 1 lna (3) (4) 1

11 11 Reguły różniczkowania ( ) ( ) a a =, a stała, R a (5) ( ) ( ) ( ) ( ) g g = (6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g + = (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g g 2 = (8) ( ) ( ) ( ) g g = (9)

12 Terminologia uwaga : ( a ; b ) R Dziedzina D = (a ; b ), zbiór wartości Y W R Mówimy: unkcja określona na przedziale (a ; b ) o wartościach rzeczywistych Jeżeli : ( a ; b ) R i w każdym punkcie ( a ; b ) istnieje pochodna unkcji ' (), to mówimy: unkcja jest różniczkowalna (gładka) na przedziale (a ; b). 12

13 Badanie monotoniczności 13

14 Diagram 1 + znak pochodnej ' a b monotoniczność unkcji 14

15 Diagram 2 - znak pochodnej ' a b monotoniczność unkcji 15

16 Diagram 3 znak pochodnej ' a b unkcja stała monotoniczność unkcji 16

17 Dana jest unkcja Twierdzenie : ( a ; b ) R różniczkowalna na przedziale ( a ; b). Jeśli Jeśli ( a ; b) ( ), to na ( a ; b) ( a ; b) ( ), to na ( a ; b) Jeśli ( a ; b) ( ) =, to stala na ( a ; b) 17

18 Przykład Zadanie. Wyznacz dziedzinę i przedziały monotoniczności unkcji ( ) = e 18

19 Przykład Zadanie. Wyznacz dziedzinę i przedziały monotoniczności unkcji ( ) = e Odpowiedzi D=R ( ) dla ( ; 1) ( ) dla ( 1 ; + ) 19

20 Ekstrema lokalne 2

21 Ekstrema lokalne - idea Ekstrema lokalne: minimum, maksimum Y X 21

22 Minimum lokalne Y X 22

23 Minimum lokalne cd. Y X 23

24 Minimum lokalne cd. Y 1 X 24

25 Maksimum lokalne Y X 25

26 Maksimum lokalne cd. Y X 26

27 Maksimum lokalne cd. Y 2 X 27

28 Ekstrema lokalne Y 1 2 X 28

29 *Deinicje ekstremów lokalnych Funkcja ( a ; b) R : ma minimum lokalne w punkcie ( a ; ), b gdy istnieje taki przedział ( -r ; +r) zawarty w dziedzinie, że wartość ( ) jest najmniejsza ze wszystkich wartości unkcji w tym przedziale. Funkcja ( a ; b) R : ma maksimum lokalne w punkcie ( a ; ), b gdy istnieje taki przedział ( -r ; +r) zawarty w dziedzinie, że wartość ( ) jest największa ze wszystkich wartości unkcji w tym przedziale. 29

30 Wykrywanie ekstremów lokalnych 3

31 Twierdzenie Niech unkcja ( a ; b) R : będzie różniczkowalna na przedziale (a ; b). Jeśli posiada ekstremum lokalne ' w punkcie ( a, ) to ( ) =. b Wniosek z tw. 2 Warunek ' ( ) = jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w punkcie. Nie jest jednak warunkiem dostatecznym. 31

32 Wykrywanie maksimum lokalnego + - znaki a b 32

33 Wykrywanie maksimum lok. cd. + - znaki a b maksimum lokalne w monotoniczność 33

34 Twierdzenie Jeśli unkcja : ( a, b) R jest różniczkowalna na przedziale (a,b) i dla pewnego (a, b) zachodzi ' ( )= oraz istnieje taki przedział ( -r ; +r) należący do dziedziny, że dla ( r, ) ' ()> oraz dla (, r) ' () <, to unkcja ma w punkcie maksimum lokalne. + 34

35 Wykrywanie minimum lokalnego - + znaki a b 35

36 Wykrywanie minimum lok. cd. - + znaki a b minimum lokalne w monotoniczność 36

37 Twierdzenie Jeśli unkcja : ( a, b) R jest różniczkowalna na przedziale (a,b) i dla pewnego (a, b) zachodzi ' ( ) = oraz istnieje taki przedział ( -r ; +r) należący do dziedziny, że dla ( r, ) ' ()< oraz dla (, r) + ' () >, to unkcja ma w punkcie minimum lokalne. 37

38 38 Przykład Zad. Wyznacz ekstrema lokalne unkcji ( ) R e =, Rozwiązanie ( ) e e = = 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( = =

39 Odpowiedź znaki : + - Funkcja =1 monotoniczność : maksimum lokalne = e dla ( ) jest : 1, dla 1. Dla =1 przyjmuje maksimum lokalne o wartości 1 y ( 1) ma = =. e 39

40 Reguła de L'Hospitala Tw 5. Jeśli w wyrażeniu lim ( ) g( ), iloraz unkcji jest wyrażeniem nieoznaczonym typu lub oraz istnieje granica ilorazu pochodnych tych unkcji to lim g ( ) ( ) = lim g ( ) ( ) lim g ( ) ( ), Uwaga. Tw. 5 jest prawdziwe dla skończonych oraz dla =, a także dla granic jednostronn ych. 4

41 Przykład Zadanie. Oblicz granicę lim + e 41

42 Przykład Zadanie. Oblicz granicę lim + e Rozwiązanie H ( ) lim = lim = lim = ( ) + e + e + e 1 42

43 Badanie przebiegu zmienności 43

44 Badanie przebiegu zmienności Zadanie. Dla unkcji danej wzorem y = () wyznacz: 1. dziedzinę 2. punkty wspólne wykresu z osiami OX, OY 3. granice oraz asymptoty 4. pochodną ( ) oraz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne 5. zestaw wyniki w tabeli 6. naszkicuj wykres 44

45 Przykład 1 Zadanie. Wykonaj badanie przebiegu zmienności unkcji 2 ( ) = 1 + 3e Na tablicy 45

46 Funkcja logistyczna Przykład 1 = e ( ) y1=2/[1+3ep(-)] as. 46

47 Funkcja logistyczna Przykład 2 a ( ) c = 1 + be y1=2/[1+3ep(-)] y2=1/[1+2ep()] 47

48 Przykład 3 Zadanie. Wykonaj badanie przebiegu zmienności unkcji e ( ) = 48

49 1. Dziedzina e ( ) = D = R 49

50 2. Punkty wspólne z osiami e ( ) = z OX: A (, ) z OY: ten sam 5

51 lim = + e 3. Granice i asymptoty H = e ( ) lim e = y = as. pozioma prawostronna 51

52 52 4. Pochodna i wnioski ( ) e = ( ) ( ) e e = = = = ( ) ( ) ( )

53 4. Pochodna i wnioski cd. znaki : + - = jest e Funkcja ( ) dla monotoniczność : 1, dla 1, dla =1 przyjmuje maksimum lokalne 1 o wartości y ( ) ma = 1 =. 53 e =1 maksimum lokalne

54 5. Tabela (- ; 1) 1 (1 ; 2) 2 (2 ; + ) ' () () - y ma =1/e pp y= as. pion. prawostr. 54

55 6. Wykres OY OX 55