Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Transkrypt

1 Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 R. Mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x 0, o ile istnieje granica fx) fx 0 ). x x 0 x x 0 Powyższą granicę można zapisać również w formie x 0 fx 0 + x) fx 0 ). 1) x Jeśli ta granica istnieje, wtedy oznaczamy ją przez f x 0 ) i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x 0. Pochodną lewostronną prawostronną) definiujemy biorąc w wyrażeniu 1) granicę lewostronną prawostronną). Zadanie 3.1. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f 1) fx) = ax + b, a 0) ) fx) = ax + bx + c, a 0) 3) fx) = 1 x 5) fx) = sin x 6) fx) = cos x 4) fx) = x Zadanie 3.. Obliczyć pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x 0. Czy istnieje f x 0 )? 1) fx) = x 1, x 0 = 0 ) fx) = 1 1 x, x 0 = 1 3) fx) = 3 x, x 0 = 0 4) fx) = 5 x + 6, x 0 = 6 5) fx) = x ) 3, x0 = 6) fx) = x x 3, x 0 = 3 { x 7x + 6 dla x 1 7) fx) = 3x + 4 dla x > 1 Twierdzenie. Niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi, c liczbą rzeczywistą. Prawdziwe są poniższe wzory Twierdzenie. cfx)) = cfx) fx) + gx)) = f x) + g x) ) fx) fx)gx)) = f x)gx) + fx)g x) = f x)gx) fx)g x) gx) gx)) fgx))) = f gx))g x) f 1 y)) 1 = f f 1 y)) c = 0, c = const) x a ) = ax a 1, a R) a x ) = a x ln a, a > 0) log a x) = log a e, a > 0) x sin x) = cos x cos x) = sin x tg x) = 1 cos x ctg x) = 1 sin x 1

2 arcsin x) 1 = 1 x arccos x) 1 = 1 x arctg x) = x arcctg x) = x sinh x) = cosh x cosh x) = sinh x Zadanie 3.3. Obliczyć pochodną funkcji f 1) fx) = 5x 3 6x + 3x + 1 ) fx) = x 7 4x x 4 x ) fx) = 4x 3 x 11 4) fx) = x x x + 3 x 3 5) 7 x + 5x4 1 x 3 6) fx) = 3x 4x 3 x x 7) fx) = x 3x x 4 8) fx) = 4x6 + 3x 5 x 4 + 7x + 1 3x ) fx) = 7 log a x 3 tg x, a > 0) 10) fx) = x sin x + 5x ) fx) = 4x 3 cos x + 7e x + 5 1) fx) = 3 ctg x + 5 sin x 13) fx) = a x, a > 0) 14) fx) = x x 15) fx) = x log 3 x + 5 x 16) fx) = e x x 3 x + 1) 17) fx) = 4 log x + 3ex x 3 18) fx) = + 3x 4x ) 5 19) fx) = 3x 7x + 1 0) fx) = 3 + x 4 + 5x 5 1) fx) = cos 3x + 5 sin x ) fx) = cosx 1) + tg x 3) fx) = 5 sin x + sinx + 1) 4) fx) = lnx + 3) + 5x 1 5) fx) = 3 x +1 e x 6) fx) = e cos x + x 3 x 7) fx) = ln 1 x 8) fx) = lnsin4x + 3)) cos x 9) fx) = sin x + ln tg x 30) fx) = e cos3 7x+4) 31) fx) = sinh x 3) fx) = cosh x 33) fx) = arcsin x 34) fx) = arccos x Zadanie 3.4. Zależność drogi s od czasu t w pewnym ruchu dana jest wzorem st) = 3 3t 3t. Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie w chwili t = 3. Zadanie 3.5. Prąd przepływa przez pewne urządzenie. Ilość przepływającej elektryczności, liczonej od chwili t = 0, określa wzór Qt) = 3e t ). t + 1 Obliczyć natężenie prądu Q t w chwili początkowej t = 0. Zadanie 3.6. Ciśnienie powietrza p zmienia się wraz z wysokością h nad poziomem morza według wzoru barometrycznego ph) = p 0 e µgh RT, gdzie p 0 to ciśnienie na poziomie morza, µ to masa molowa powietrza, g przyspieszenie grawitacyjne, R stała gazowa, a T temperatura powietrza. Przyjmując założenie, że p 0 wynosi 1000 hpa, a temperatura nie zmienia się wraz z wysokością i wynosi 93K [0C ], obliczyć przybliżoną szybkość spadku ciśnienia na wysokości 10000m.

3 3. Obliczanie granic przy pomocy reguły de l Hôspitala Twierdzenie Reguła de l Hôspitala). Załóżmy, że funkcje f i g są określone oraz różniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu x 0 oraz zachodzi jeden z dwóch warunków lub Jeśli istnieje granica wtedy fx) = gx) = 0 x x 0 x x 0 fx) = ± gx) = ±. x x 0 x x 0 f x) x x 0 g x), fx) x x 0 gx) = f x) x x 0 g x). Zadanie 3.7. Obliczyć granice stosując regułę de l Hôspitala e x 1 1) x 0 x 3 tg x 1 3) x π 4 sin x x 1 x 5) x 0 x ) x 0 + lncos x) lncos 3x) 4) x 1 + ln x 1) ctg x 1) x ) 6) x 3 cos π 4 x x 5 7) x e 7x 8) x ln x x 0 + x sin 1 9) 3xe 1 x x 10) x 0 + x x ) x 0 + x 1 ) 1 e x 1) 1 x 1 + x 1 x ) ln x 13) ctg x 1 ) 14) ln x + e) ln x) x 0 + x x x 15) x 1 + x 1 1 ) 16) ln e x + x) 1 ) ln x x x 1 17) x 0 + x 1 ) 18) cos x) 1 x sin x x ) tg x) tg x 0) x π 4 x 0 + 1) x ) x π arctg x ) x 1 + 3) x 1 1 x) ln x 4) x 0 + x sin x ln 1 ) x x x 1 ) 3 lnx 1) 3

4 3.3 Badanie przebiegu zmienności funkcji Schemat. I Analiza funkcji. a) Maksymalna dziedzina. b) Granice na krańcach przedziałów określoności, wnioski dotyczące asymptot poziomych i pionowych. c) Asymptoty ukośne. d) Punkty przecięcia z osiami układu. e) Cechy szczególne funkcji, parzystość, nieparzystość, okresowość, inne. II Analiza I pochodnej. a) Maksymalna dziedzina. b) Miejsca zerowe. c) Przedziały monotoniczności. d) Ekstrema. III Analiza II pochodnej. a) Maksymalna dziedzina. b) Miejsca zerowe. c) Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji. d) Punkty przegięcia. e) Ekstrema o ile nie wyznaczono wcześniej). IV Tabelka. V Wykres. Definicja. Niech funkcja f będzie określona na pewnym podzbiorze X R. 1. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 X maksimum lokalne, jeśli dla wszystkich x z pewnego otoczenia punktu x 0 zachodzi fx 0 ) fx).. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 X minimum lokalne, jeśli dla wszystkich x z pewnego otoczenia punktu x 0 zachodzi fx 0 ) fx). 3. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 X maksimum globalne wartość największą), jeśli dla wszystkich x X zachodzi fx 0 ) fx). 4. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 X minimum globalne wartość najmniejszą), jeśli dla wszystkich x X zachodzi fx 0 ) fx). Twierdzenie Warunek konieczny istnienia ekstremum). Niech f będzie funkcją różniczkowalną na otwartym podzbiorze X R. Jeśli funkcja f posiada ekstremum w punkcie x 0 X, wtedy f x 0 ) = 0. Twierdzenie. Niech f będzie funkcją różniczkowalną na otwartym podzbiorze X R. Wtedy 1. f jest rosnąca na X f > 0 na X. f jest malejąca na X f < 0 na X 3. f jest wypukła na X f > 0 na X 4

5 4. f jest wklęsła na X f < 0 na X Zadanie 3.8. Zbadać przebieg zmienności funkcji 1) fx) = x 1 x) ) fx) = x 3 3x + 1 3) fx) = x 3 + 3x 9x 4) fx) = 3x 4 4x 3 5) fx) = 4x x + 4 7) fx) = ln x x Zadanie 3.9. Wykazać, że dla x 0, π ) zachodzi Zadanie Rozważmy reakcję 6) fx) = x + 8 x 8) fx) = x 4 e x 9) fx) = x + 7 x 3 sin x < x < tg x. C H 5 OOC H 5 + NaOH CH 3 COONa + C H 5 OH, w której nadtlenek dwuetylowy reagując z wodorotlenkiem sodu daje octan sodu i alkohol etylowy. Jeżeli w chwili rozpoczęcia reakcji t 0 = 0 ilość nadtlenku dwuetylowego i wodorotlenku mierzone w molach są równe a, to w chwili t ilość moli y jednej z wytwarzanych substancji którejkolwiek, gdyż obie powstają w równych sobie ilościach) wyraża się następującym wzorem y = a kt 1 + akt, w którym k oznacza pewną stałą zmierzoną eksperymentalnie. Obliczyć, w jakim momencie przyrost produktów jest najszybszy. Zbadać, czy szybkość tego przyrostu maleje czy rośnie z czasem. Zadanie Załóżmy, że dana jest mieszanina N p cząstek prawoskrętnego kwasu winowego i N l cząstek lewoskrętnego kwasu winowego kwasy te mają te same właściwości chemiczne, natomiast różnica polega na asymetrycznej zdolności do skręcania płaszczyzny polaryzacji światła). Entropia takiej mieszaniny wyraża się wzorem S = k N p ln N N p +N l ln N N l ), gdzie k oznacza stałą Boltzmanna, natomiast N = N p +N l. Przy założeniu, że liczba N jest ustalona, oblicz, w jakiej proporcji należy utworzyć mieszaninę tych kwasów, aby miała ona maksymalną entropię. Zadanie 3.1. Potencjał Lennarda-Jonesa oddziaływania dwóch cząsteczek oddalonych o R dany jest wzorem UR) = A R B 1 R, gdzie A, B są stałymi. Równowagowa odległość R 6 e jest to odległość, dla której wartość UR) jest minimalna, a odpowiadająca jej energia wiązania jest równa D e = UR e ). Wyraź A, B przez D e i R e. 3.4 Różniczka, szereg MacLaurina/Taylora Definicja. Niech f będzie funkcją różniczkowalną na pewnym otoczeniu punktu x 0 R. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy wyrażenie df = f x 0 )dx. Definicja Szereg Taylora). Niech f będzie funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu x 0 R. Szeregiem Taylora funkcji f w punkcie x 0 nazywamy szereg postaci n=0 f n x 0 ) x x 0 ) n. n! 5

6 Twierdzenie Wzór Taylora). Niech f będzie funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną w pewnym otoczeniu U punktu x 0 R. Wtedy dla każdego x U istnieje ξ leżące w przedziale pomiędzy x 0 i x takie, że fx) = fx 0 ) + f x 0 ) 1! gdzie x x 0 ) + f x 0 ) x x 0 )! + f x 0 ) x x 0 ) f n 1 x 0 ) 3! n 1)! x x 0) n 1 + R n x), Uwaga. R n x) = f n ξ) x x 0 ) n. n! 1. Dla x 0 = 0 powyższy wzór nosi nazwę wzoru Maclaurina.. Jeśli dla pewnego x zachodzi n R n x) = 0, wtedy fx) = n=0 f n x 0 ) x x 0 ) n. n! Zadanie Obliczyć wartość przybliżoną z wykorzystaniem różniczki odpowiedniej funkcji 1) 9, 01 ) ) ln0, 9) 4) ln1, 1) 5) sin 9 6) tg 47 Zadanie Rozwinąć poniższe funkcje w szereg Taylora w punkcie x 0 = 0 1) fx) = x 3 + x + 3x + 4 ) fx) = e x 3) fx) = sin x 4) fx) = cos x 5) fx) = 1 1 x 6) fx) = 1 3 x 7) fx) = sinh x 8) fx) = cosh x Zadanie Równanie stanu gazu rzeczywistego można zapisać w postaci szeregu pv = nrt i=0 n ) i, B i T ) V gdzie wielkości B i noszą nazwę współczynników wirialnych. Wyznaczyć pierwsze trzy współczynniki wirialne dla gazu, który spełnia równanie van der Waalsa p + n a V ) V nb) = nrt. 6