Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Transkrypt

1 Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka Spis treści Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych 2 2 Twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. 0

2 Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Definicja (iloraz różnicowy) Niech X R,będzie zbiorem niepustym, f : X R oraz niech 0 X. Funkcję okresloną wzorem: ϕ() = f() f( 0) gdzie X oraz 0 nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie 0. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA ILORAZU RÓŻNICOWEGO Dla dowolnego 0 i ustalonego h punkty A = ( 0, f( 0 )) oraz B = ( 0 + h, f( 0 + h)) należą do wykresu funkcji f. Prosta przechodząca przez te punkty jest nazywana sieczną wykresu funkcji f. Rysunek : Iloraz różnicowy Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta, jaki sieczna AB tworzy z osią OX. Definicja 2 (pochodnej funkcji w punkcie) Niech X R. Mówimy, żef : X R ma pochodną w punkcie 0 lub jest różniczkowalna w punkcie 0, gdy istnieje skończona granica ilorazu różnicowego w punkcie 0. Przez pochodną funkcji f w punkcie 0 rozumiemy liczbę rzeczywistą i oznaczamy f ( 0 ):. f ( 0 ) 0 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ FUNKCJI W PUNKCIE: Gdy argument h 0, to punkt B = ( 0 + h, f( 0 + h)) zbliża się do punktu A = ( 0, f( 0 )) (punkty są położone coraz bliżej siebie) i sieczne poprowadzone przez te punkty "dążą"do stycznej poprowadzonej w punkcie A = ( 0, f( 0 )) Pochodną funkcji w punkcie f ( 0 ) można więc interpretować jako tangens kąta, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcji f() w punkcie o odciętej 0. tgα = f f( 0 + h) f( 0 ) ( 0 ) h 0 h 0 2

3 Rysunek 2: Pochodna funkcji w punkcie Styczną do wykresu funkcji różniczkowalnej w punkcie 0 można okreslić w następujący sposób: Jeżeli funkcja f jest okreslna w pewnym otoczeniu punktu 0 i jest różniczkowalna w punkcie 0, to styczną do wykresu funkcji f w punkcie A = ( 0, f( 0 )) nazywamy prostą o równani: y f( 0 ) = f ( 0 )( ) Przykład 3 Badanie istnienia pochodnej funkcji w punkcie 0 = 0 przy wykorzystaniu definicji: a) sin f() = dla 0 0 dla = 0 Rozważymy dwa podciągi: f f() f(0) sin (0) 0 sin sin( ) = sin( ) = sin(π 2 + 2nπ) = π 2 + 2nπ n = π 2 + 2nπ n = π 2 +2nπ, n D f ( n π 2 + 2nπ ) = 0 n = 2πn, n D f f( n) sin (π n n 2 + 2nπ) = n 2πn = 0 sin ( n 2πn ) = 0 3

4 0. Otrzymana granica nie istnieje. Zatem funkcja nie ma pochodnej w tym punkcie. b) f() = 2 sin dla 0 0 dla = 0 f f() f(0) 2 sin (0) 0 sin = 0 Oznacza to funkcja posiada granice w punkcie 0 Definicja 4 (pochodne jednostronne funkcji) Jeżeli iloraz różnicowy ma granice jednostronną w punkcie 0, to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji f w punkcie 0 i oznaczamy : pochodna prawostronna pochodna lewostronna f +( 0 ) f ( 0 ) 0 Twierdzenie 5 Na to, aby funkcja f miała pochodną w punkcie 0 potrzeba, aby istniały w tym punkcie obie pochodne jednostronne i były sobie równe. Przykład 6 a) f() = 2, R, 0 = 0 f +( 0 ) = 0 f ( 0 ) = 0 0 Zatem funkcja jest różniczkowalna w punkcie 0 b) f() =, R, 0 = 0 f +( 0 ) 0 0 = f ( 0 ) 0 Zatem funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie 0. 0 = Definicja 7 (pochodnej funkcji) Niech X R będzie zbiorem niepustym, oraz f : X R. Niech E X, E 0. Jesli w każdym punkcie zbioru E istnieje pochodna funkcji f, to mówimy, że f jest funkcją różniczkowalną w zbiorze E. Wtedy funkcje przyporządkowują każdemu E wartosć pochodnej funkcji f w punkcie nazywamy pochodną funkcji w zbiorze E. Przykład 8 Zbadać różniczkowalnosć funkcji: f() = 2 D() R 4

5 , D() - funkcja Dirichleta tzn D() = dla Q 0 dla Q f() = 2 dla Q 0 dla R Q Aby sprawdzić czy funkcja jest różniczkowalna należy wziąć dowolne 0 R i rozpatrzeć trzy ciągi (a n ) n=n, (b n ) n=n takie, że: n N a n Q n N b n R Q a n b n = 0 n n Wybieramy punkt 0 = 0 ponieważ 2 posiada w tym punkcie pierwistki zerowe: f( 0 ) =) 2 = = 0 0 = 0 0 Zatem funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie 0 = 0. Twierdzenie 9 (Warunek konieczny różniczkowalnosci funkcji) Jeżeli funkcja f : X R jest różniczkowalna w punkcie 0 X to f jest ciągła w punkcie 0. Wniosek 0 Jeżeli funkcja f : X R jest różniczkowalna, to funkcja f jest ciągła. Uwaga Warunek odwrotny nie zachodzi ( pokazane w przykładzie 2) Przykład 2 f() = funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie 0, ale jest ciągła. (udowonione w przykładzie 6b) Twierdzenie 3 Niech a R. Wówczas pochodne funkcje są różniczkowalne i zachodzą poniższe wzory. (ln ) =, dla (0, + ) 2. (log a ) = ln a, w przedziale (0, + ), a>0, a 3. (e ) = e, w R 4. (a ) = a ln a, w R, a>0 5. ( a ) = a a, w przedziale (0, + ) Twierdzenie 4 Funkcje trygonometryczne są różniczkowalne oraz zachodzą poniższe wzory. (sin ) = cos 2. (cos ) = sin 5

6 3. (tg) = cos 2, cos 0 4. (ctg) = sin 2, sin 0 5. (arcsin ) = 2, (, ), ( π 2 ) arcsin π 2 6. (arccos ) =, (, ), 0 arccos π 2 7. (arctg) = + 2, R 8. (arcctg) = + 2, R Twierdzenie 5. a) Pochodna funkcji stałej równa się zeru, tzn. y=c to y =0 b) Pochodna iloczynu stałej przez funkcję równa się iloczynowi stałej przez pochodną funkcji, tzn. y=cf() to y =cf () Własnoć 6 Niech f, g : X R będą funkcjami różniczkowalnymi w punkcie 0 X Wówczas zachodzą następujące własnosci:. (f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ) 2. (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 0 ) 3. (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0 ) g ( 0 ) Reguła Leibniza 4. ( f g ) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) f( 0 ) g ( 0 ) (g( 0 )) 2 Przykład 7. ( 2 + ln ) = ( 2 ) + (ln ) = ( sin ) = 2 cos 3. (5 e ) = (5) e + 5(e ) = 5e + 5e = 5e ( + ) 4. ( 3 2 ) = (3 ) 2 3 (2) (2) 2 = = = Twierdzenie 8 ( O pochodnej złożonej) Niech f = goh : X R, gdzie h : X y, g : Y R, X, Y R oraz h() Y. Jeżeli funkcja h jest różniczkowalna w punkcie y 0 = h( 0 ), to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz: f ( 0 ) = g (h( 0 )) h ( 0 ) Przykład 9. a) b) f() = ( ) 4 f () = 4( ) 3 ( ) = 4( ) 3 (2 + 3) f() = = e ln = e ln ( ) = (e ln ) = e ln (ln + ) = e ln (ln + ) = (ln + ) 6

7 Definicja 20 (pochodne wyższych rzędów) Pochodną rzędu n funkcji f (oznaczamy f (n) () ) definiujemy jako pochodną pochodnej rzędu n- funkcji f, o ile te pochodne istnieją tzn.: f (0) () = f() f (n) () = (f (n ) ()) dla n Przykład 2. (e ) (n) = e 2. ( ) = 2 ( ) = 2 3 ( ) = Ogólnie: ( )(n) = n! ( )n n+ 3. (sin ) = cos (sin ) = sin (sin ) = cos (sin ) (4) = sin Zauważmy, że: (sin ) = sin ( + π 2 ) (sin ) = sin ( + π) (sin ) = sin ( + 3π 2 ) Zatem: f (n) () = (sin ) (n) = sin( + n π 2 ) Twierdzenie 22 Funkcja klasy C n Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a,b) n pochodnych i n-ta pochodna f ( n) jest funkcją ciągłą w (a,b) to funkcje f nazywamy funkcją klasy C n (a, b). Przez funkcję C 0 rozumiemy funkcję ciągłą. 7

8 Przykład 23 Sprawdzić jakiej klasy jest funkcja a) sin f() = dla 0 Funkcja jest nieciągła b) f() = sin dla 0 D f = R Sprawdzamy czy funkcja f() jest klasy C 0 (czy jest ciągła). Liczymy granicę: f() f(0) sin Rozważymy dwa podciągi: sin( ) = sin( ) = sin(π 2 + 2nπ) = π 2 + 2nπ n = π 2 + 2nπ n = π 2 +2nπ, n D f ( n π 2 + 2nπ ) = 0 n = 2πn, n D f f( n) sin (π n n 2 + 2nπ) = n 2πn = 0 sin ( n 2πn ) = 0 0. Otrzymana granica nie istnieje. Zatem jest klasy C 0, ale nie jest różniczkowalna. c) f() = 2 sin dla 0 Liczymy granicę: ( 2 sin( )) ( sin( 0 0 )) = 0 f(0) = 0 Zatem f jest ciągła w punkcie 0. Stąd f jest ciągła dla R Sprawdzamy czy jest ciągłą w pochodnej f 2 sin ( () = ) cos ( ) dla 0 8

9 Sprawdzamy czy f jest ciągła w R. Pokażemy, że ta granica nie istnieje. Niech: n = 2πn n 0 f () 0 (2 sin ( ) cos ( )) f ( n ) = 2 n sin cos = 2 sin (2nπ) cos (2nπ) = n n 2nπ 2nπ 0 = n = π 2 +2nπ n 0 f ( n ) = 2 π 2 2nπ sin ( π 2 2nπ ) cos ( π 2 2nπ ) = 2 π 2 2nπ 0 n 0 Stąd f () nie jest ciągła w R, czyli jest różniczkowalna, ale nie jest klasy C. c) f() = 3 sin dla 0 Sprawdzamy czy jest klasy C 0. Liczymy granicę: ( 3 sin( )) 2 sin( 0 0 ) = 0 f(0) = 0 Zatem f jest ciągła w punkcie 0. Stąd f jest ciągła dla R Sprawdzamy czy jest ciągła w pochodnej: f 3 () = 2 sin ( ) cos ( ) dla 0 Sprawdzamy czy f jest ciągła w R. f 3 2 sin ( () ) cos ( ) 3 2 sin ( 0 0 ) cos ( ) = 0 zatem jest klasy C. Sprawdzamy czy jest różniczkowalna dla pochodnej drugiego rzędu : f 3 sin ( () = ) cos ( ) dla 0 analogicznie jak w przykładzie b). Zatem jest klasy C, ale nie jest różniczkowalna HIPOTEZA: f () = n sin ( ) dla 0 n=4 różniczkowalna, ale nie C 2 n=5 jest klasy C 2, ale nie różniczkowalna n= parzyste: różniczkowalna, ale nie klasy C ( n 2 ) n= nieparzyste: klasy C n 2, ale nie różniczkowalna 9

10 2 Twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Definicja 24 (funkcji różniczkowalnej w przedziale) Funkcję różniczkowalną w przedziale domkniętym [a,b], gdzie < a < b < +, nazywamy funkcję różniczkowalną w przedziale (a,b) oraz prawostronnie różniczkowalną w punkcie a i lewostronnie różniczkowalną w punkcie b. Twierdzenie 25 (Darbou) Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Wówczas dla dowolnego y znajdującego się pomiędzy f(a) i f(b) czyli f(a) y f(b) lub f(b) y f(a), istenieje takie c (a, b), że f(c)=y Wniosek 26 Jeżeli funkcja f()ma pochodną skończoną w przedziale [a,b], funkcja f () przybiera co najmniej raz każdą wartosć posrednią między f (a) i f (b) Twierdzenie 27 (Lagrange a o wartosci sredniej) Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b). Wówczas istnieje 0 (a, b), że: f(b) f(a) = f ( 0 )(b a) Uwaga 28 Niech 0 = c. Wzór występujący w tezie twierdzenia może być zapisany w postaci: a < c < b. f(b) f(a) b a = f (c) Przykład 29 Sprawdzić czy funkcja f() = sqrt, gdzie 4 spełnia założenia twierdzenia Lagrange a.znaleźć liczbę c występującą w tezie twierdzenia. Założenia są spełnione w każdym przedziale [a, b] [0, + ) f() f(y) y = f (c) dlac (, y). Biorąc pod uwagę, że f () = 2 oraz kładąc =, y=4 mamy: = 2 c 2 c = 3 3 c = 2 c = ( ) = 2 c c = 9 4 0

11 Przykład 30 Korzystając z twierdzenia Lagrange a Uzasadnić nierównosć a) e > + dla > 0. Przyjmujemy że f() = e,[a,b]=[0,]. Wtedy: e e 0 0 = (e ) =c, 0 < c < e = e c > e 0 =, boc > 0 e > + b) ln( + ) ln( + y) y Przyjmujemy, że f(t) = ln + t, w przedziale [,y] ln( + ) ln( + y) y = (ln( + t)) t=c ponnieważ c>0, to: ln( + ) ln( + y) y = + c ln( + ) ln( + y) y ln( + ) ln( + y) y Z twierdzenia Lagrange a otrzymujemy następujące wnioski:. Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca. 2. Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale malejąca 3. Jeżeli pochodna funkcji jest w każdym punkcie pewnego przedziału równa zeru, to funkcja ma w tym przedziale wartosć stałą. Uwaga 3 Jesli n f (n) () = 0 dla (a, b), to f jest wielomianem stopnia co najwyżej n-. 4. Twierdzenie Couchy ego o wartosci sredniej: Niech f,g będą funkcjami ciągłymi w przedziale [a,b] i różniczkowalnymi w (a,b). Wówczas istnieje takie 0 (a, b), że: (f(b) f(a))g ( 0 ) = (g(b) g(a))f ( 0 )