4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

Transkrypt

1 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu xo, że dla każdego x E S punkty A = (x,j(x)) wykresu leżą powyżej (poniżej) stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w punkcie (xo, f(xo)). Wykres funkcji f(x) wypukły (wklęsły) w każdym punkcie x E (a, b) nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) na przedziale (a, b). Definicja 4.7. Punkt P(xo, f(xo)) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f, jeżeli wykres ten jest wklęsły na przedziale (xo - 8, xo) i wypukły na przedziale (xo, Xo + 8) albo odwrotnie. Twierdzenie 4.9. (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Załóżmy, że funkcja f posiada ciągłą drugą pochodną na pewnym otoczeniu punktu Xo. Jeżeli punkt (xo, f(xo)) jest punktem przegięcia krzywej y = f(x), to f" (xo) = O. Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: f" (xo) = O i istnieje liczba 8 > O taka, że f"(x) > O dlax E (xo-8,xo) if"(x) < O dla x E (xo,xo+8) lub f"(x) < O dla x E (xo - 8, xo) i f"(x) > O dla x E (xo, Xo + 8), to krzywa y = f(x) ma punkt przegięcia w punkcie o odciętej xo. Krzywa y = f(x) może mieć punkt przegięcia w punkcie, w którym f" nie istnieje. Przy pomocy drugiej pochodnej można ustalić przedziały, na których funkcja jest wypukła albo wklęsła. Twierdzenie Załóżmy, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale (a, b). Jeżeli dla każdego x E (a, b) zachodzi nierówność f"(x) > O, to krzywa o równaniu y = f(x) jest wypukła na przedziale (a, b), a jeżeli f" (x) < O, to krzywa o równaniu y = f (x) jest wklęsła na tym przedziale.

2 4.4 Obliczanie granic funkcji Twierdzenie (de L'Hospital) Załóżmy, że funkcje f i g są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu Xo oraz spełnione są następujące warunki: 1) lim f(x) = lim g(x) = O, x-txq x-txq 2) dla każdego x E S istnieją pochodne f'(x) i g'(x) oraz g'(x) i= O, 3) istnieje granica lim f: ((x» (właściwa lub niewłaściwa). x-txq g x Wtedy istnieje granica lim f((x» g x (odpowiednio właściwa lub niewłaściwa) oraz lim f(x) = lim f'(x). x-txq g(x) g'(x) Twierdzenie to pozostaje prawdziwe, gdy warunek 1) zamienimy na następujący lim f(x) = lim g(x) = +00 (lub -(0), a także w przypadku granic jednostronnych oraz granic funkcji, gdy x (lub x --+ -(0). Pozostałe symbole nieoznaczone O. 00, 00-00, 0, 00, 1 00 można doprowadzić do wyrażeń typu g lub ~. Dla symbolu O. 00 wykorzystujemy tożsamość f(x)g(x) (wtedy otrzymujemy symbol g) lub = f~x) g(x) f(x)g(x) = g~x) f(x) (wtedy otrzymujemy symbol ~). Przy symbolu można wykorzystać tożsamość f(x) - g(x) = 9(X5 ~ f(x), l f(x)g(x) która prowadzi do symbolu g. Przy pozostałych symbolach 0,00,1 00 korzystamy ze wzorów [j(x)]g(x) = eg(x)lnf(x), gdzie f(x) > O oraz lim ep(x) = e~~qp(x). Następnie, jeżeli zajdzie potrzeba, to stosujemy wyżej wymienione tożsamości. Zilustrujemy to na przykładach. l

3 PRZYKŁAD 16, Korzystając z twierdzenia de L'Hospitala, obliczyć granice: a) lim Incosx x->o+ Incos2x ', ex-1x3_1x2_x-1 b) hm 6 2 x->o cosx+~x2-1 ' c) l lm, v'6x=it x->+oo I nx ' d) lim (_,1 1_) X~7r SIn x 7r-X' e) lim x 2 e- x x->+oo f) lim (~tin x, x->o+ g) lim (tg x) tg 2x, x-+i h) lim e VX -1 x->o v'sinx ' i) lim 1-cosxfOs2X, x->o x ROZWIĄZANIE. a) ' l, In cos x lm x->o+ In cos 2x [ l l' (lncosx)' l' co~x(-sinx) = lm = lm x->o+ (In cos 2x)' x->o+ ~2 (-. cos 2 sin 2x) x = 11'm ~ [ l = l' lm --4- co;2x x->o+ 2tg 2x x->o+ cos22x 1 4' b) c) [_ l ex - lx2 - x-l [_ l lim 2 x->o - sinx + x, ex - x-l [ l = hm = x->o - cos x + 1 e" - 1 [Ql e" = lim ---,g, lim -- = 1 x->o sin x x->o cos x ', V6x - 11 l lm x->+oo lnx 6 [~l l' 2v'6x-ll l' 3x = lm = lm x->+oo l x->+oo V6x - 11 x 3 lim --;;-- = lim V6x - 11 = +00, x->+oo 6 x->+oo 2v'6x-ll

4 4.5 Asymptoty funkcji Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym przedziale (a, b) z wyłączeniem punktu Xo E (a, b). Definicja 4.8. Prosta o równaniu x = Xo jest asymptotą pionową prawostronną krzywej o równaniu y = f(x), jeżeli lim f(x) = +00 albo x--xo+ lim f(x) = -00. x--xo+ Definicja 4.9. Prosta o równaniu x = Xo jest asymptotą pionową lewostronnąkrzywej o równaniu y = f(x),jeżeli lim f(x) = +00 albo lim f(x) = X-+Xo- x-+xo Definicja Prostą, która jest jednocześnie asymptotą pionową prawostronną i lewostronną krzywej o równaniu y = f(x) nazywamy asymptotą pionową obustronną tej krzywej. Definicja Prosta o równaniu y = ax+b jest asymptotą ukośną w +00 (w -(0) krzywej o równaniu y = f(x), jeżeli lim lf(x) - ax - b] = O x--+oo ( lim [j(x) - ax - b] = O). x-+-oo Jeżeli a = O, to prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą poziomą krzywej o równaniu y = f(x) w +00 ( w -00 ).

5 Twierdzenie Jeżeli istnieją i są właściwe granice (. f(x). hm - = a, hm (f(x) - ax) = b x->+oo X x->+oo lim f(x) = a', lim (f(x) - a'x) = b'), x->-oo x x-+-oo to prosta o równaniu y = ax + b (y = a' x + b') jest asymptotą ukośną w +00 (-00) krzywej o równaniu y = f(x). Twierdzenie Jeżeli lim f(x) = b, ( lim f(x) = b), to prosta x->+oo x->-oo y = b~est asymptotą poziomą krzywej o równaniu y = f(x) w +00 (-00). l ij := b') nn'7"\tt.t"{;' '\I'\"~ r? l_~~ L_L LO 't. z :

6 4.8 Przebieg zmienności funkcji Badaniem przebiegu zmienności funkcji nazywa się zbieranie wszelkich informacji o tej funkcji, które umożliwiają m.in. naszkicowanie jej wykresu. Przy badaniu przebiegu zmienności danej funkcji będziemy wykorzystywać następujący schemat: l. Wyznaczenie dziedziny funkcji. 2. Badanie podstawowych własności funkcji takich jak: parzystość, nieparzystość, okresowość. 3. Wyznaczenie punktów wspólnych wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. 4. Wyznaczenie granic na krańcach określoności dziedziny i zbadanie istnienia asymptot. 5. Badanie pierwszej pochodnej funkcji Wyznaczenie pierwszej pochodnej i jej dziedziny.

7 5.2. Wyznaczenie punktów krytycznych Wyznaczenie przedziałów monotoniczności Wyznaczenie ekstremów lokalnych (o ile istnieją). 6. Badanie drugiej pochodnej funkcji Wyznaczenie drugiej pochodnej i jej dziedziny Wyznaczenie miejsc, w których mogą być punkty przegięcia Wyznaczenie przedziałów wypukłości oraz wklęsłości wykresu funkcji Wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji (o ile istnieją). 7. Sporządzenie tabeli. 8. Sporządzenie wykresu funkcji.