ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

Transkrypt

1 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3> <0 lub lub < lub < 1 < 1,3> lub < 1, b) Wobec założenia 1 mam = 1. A więc: +1>0 =+1 lub +1<0 =+1 > 1 = <0 lub =+1+1 > 1 = lub +1<0 =+. A oto wkres: Zadanie A. a) Z warunku =0 otrzmujem: =0, skąd = 1. b) Ponieważ = jest pierwiastkiem, więc, na moc twierdzenia Bezouta, jest podzieln bez reszt przez dwumian+. Po wkonaniu dzielenia i zapisaniu w postaci ilocznowej mam: =+ 6. Po rozłożeniu trójmianu w Strona 1

2 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). drugim nawiasie na cznniki otrzmujem: =+ 3. Zatem ma dwa pierwiastki: = (dwukrotn) oraz =3 (jednokrotn). Ponadto np. 3<0, więc wkres wielomianu jest następując: Zatem 0 dla <3,+. Zadanie A3. Prz założeniu mam: lub + 0 lub 0 0 lub 0 0 lub 0. Mnożąc obie stron obu nierówności przez otrzmujem: lub 5 0 (prz założeniu ). Rozwiązujem otrzmane nierówności graficznie: <1,,5> Strona

3 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). A więc, ostatecznie, <1,,5>. Zadanie A4. Dziedzinę określa układ warunków: +1 >0 log, >0 Pierwszą nierówność rozwiążem graficznie. Z wkresu funkcji = +1 : widać, że +1 >0 dla 1. Rozwiązujem teraz drugą nierówność: log, +1 0 log, +1 log, 1, skąd, z uwagi na fakt, że podstawa logartmu jest mniejsza od 1, mam: i +1 1 i 0, czli <,0>. Rozwiązujem ostatnią nierówność: 4 >0 > > (podstawa potęgi jest większa od 1) Strona 3

4 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). >0 Otrzmaną nierówność ( >0 ) można również rozwiązać graficznie, otrzmując: 0. A więc układ przjmuje postać: skąd, ostatecznie, =<, 1 1,0. Zadanie A5. 1 <,0> 0 Ponieważ obie stron nierówności są nieujemne, możem zatem rozwiązać nierówność równoważną cos, czli nierówność: cos. Tę ostatnią rozwiążem graficznie. Naszkicujm w tm celu wkres funkcji = cos. Ab go otrzmać zauważm, że można wkorzstać wkres funkcji =cos, z niego otrzmać wkres funkcji h=cos (zmiana okresu funkcji z na ), a z niego już wkres funkcji = cos (smetria częściowa wkresu względem osi OX). Otrzmujem: π π -0.5 π π -1 Na podstawie tego wkresu możem stwierdzić, że jest to funkcja okresowa o okresie zasadniczm.rozwiążm zatem naszą nierówność najpierw w przedziale np. <,. W tm celu robim dokładniejsz rsunek: Strona 4

5 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). 6 6 i rozwiązujem pomocnicze równanie: cos = 1 cos= lub cos= cos= cos lub cos=cos cos=cosπ lub cos=cos cos=cos lub cos=cos, skąd: = + lub = + lub = + lub = +, czli: = + lub = + lub = + lub = +,. Z otrzmanch w ostatnim wierszu rozwiązań w naszm przedziale mieszczą się dwa: = oraz = (zaznaczliśm je na ostatnim rsunku). Zatem: cos = i <, dla = lub =. Korzstając z rsunku łatwo wznaczam już rozwiązanie nierówności w wbranm przedziale: cos i <, dla <, > <,, skąd otrzmujem ostateczne rozwiązanie: cos dla < +, + > < +, +,. Strona 5

6 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). Zadanie A6. a) lim =lim = =lim =lim =lim = lim =lim Ponieważ, więc >0, zatem dalej mam:. = lim =lim = lim = =lim =. = b) lim =lim =lim 1+ = =lim 1+ =lim 1+ = =lim 1+ =lim 1+ = =lim 1+ =. Zadanie A7. Oczwiście =. a) Asmptot pionowe. Z uwagi na dziedzinę należ zbadać zachowanie się funkcji w sąsiedztwie punktu =. Obliczam: lim = =lim =lim 1= 1=1 Strona 6

7 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). oraz lim = =lim =lim 1= 1=1. Obie granice są właściwe (skończone), a więc w punkcie = nie ma asmptot pionowej. Tak więc wkres danej funkcji nie ma asmptot pionowch. b) Asmptot poziome. Mam: lim =lim = =lim = = = = oraz lim =lim = =lim = = = =+. Ponieważ obie granice są niewłaściwe, więc brak asmptot poziomch. c) Asmptot ukośne. Zauważm, że : lim =lim =1, =lim ==lim = zatem =1 (dla asmptot ukośnej lewostronnej). Dalej, lim =lim lim ==lim =lim więc = 1 (dla asmptot ukośnej lewostronnej). =lim = = 1, A więc istnieje asmptota ukośna lewostronna o równaniu = 1. Strona 7

8 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). Podobnie otrzmujem: lim =1 oraz lim = 1, skąd wnika, że istnieje asmptota ukośna prawostronna o równaniu = 1. Tak więc wkres funkcji posiada asmptotę ukośną obustronną o równaniu: = 1. Zadanie A8. Obliczam: lim =lim = =, lim =lim =, = =, skąd widać, że punkt = jest punktem nieciągłości tej funkcji. Ponieważ pierwsza z obliczanch granic jest niewłaściwa, więc jest to nieciągłość drugiego rodzaju. Teraz szkicujem wkres danej funkcji: Zadanie A9. a) Przekształcam wzór funkcji: i obliczam pochodną: = = / = / = /+/ / / /=/ + / = + = / = =. b) Zacznijm też od przekształcenia wzoru funkcji: = +1 =. Mam teraz, na moc twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, Strona 8

9 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). = = ln +1 = = ln +1 = ln +1 = = +1 ln +1 = +1 1 ln +1+ ln +1. Ponieważ ln +1 =ln +1 = +1 = więc ostatecznie = +1 = 3 =, = +1 1 ln +1+ = +1 ln +1+. Zadanie A10. Zauważm, że =. Obliczam pochodną: =+3 =1 ++3 / =1 ++3 / = = ++3 /= = + /= = + =. = = Widać, że = 0. Wznaczm teraz punkt krtczne. Jednm z nich jest na pewno punkt =0 (bowiem należ do dziedzin funkcji, a nie należ do dziedzin pochodnej). Wznaczm ewentualne inne punkt krtczne. Mam: =0 = =0 0 =. Tak więc funkcja ma dwa punkt krtczne: = oraz =0. Wznaczam przedział monotoniczności. Zauważm, że dla każdego 0 zachodzi nierówność 3 znak, a więc: >0, czli mianownik pochodnej jest zawsze dodatni i nie wpłwa na jej >0 4+3 > >0 0 3 > 0,0 0,+, a więc funkcja jest rosnąca w przedziałach:,0 oraz 0,+. Strona 9

10 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). Dalej, <0,, zatem funkcja jest malejąca w przedziale,. Na koniec ustalam liczbę i rodzaj ekstremów lokalnch. Mam: Widać, że funkcja ma tlko jedno ekstremum lokalne (minimum lokalne): =. Zadanie B1. <,0 0,+. Zadanie B. a) b) =9. Zadanie B3., 1 1,0. Zadanie B4. a) < 3,0> <3,+, b) =0. Zdanie B5. a) Zadanie B6.. Zadanie B7. a), b) 0., b) < 17, 1 1,15>. Strona 10

11 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). Zadanie B8. a) =0 lub =, b) Zadanie B9. a), b) = +4 Zadanie B10. 0=0. Zadanie C1. a), 3> < 1,1> <3,+, b) Strona 11

12 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). Zadanie C. a) 1+1 +, b) 1,1. Zadanie C3. <, 1 1,>. Zadanie C4. a) π π π π π 3π b) = + lub = +,. Zadanie C5. a) ciąg jest rosnąc, b) wraz dziesiąt i następne. Zadanie C6. a) 9, b) 0. Zadanie C7. 1. Zadanie C8. Funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie =, Zadanie C9. a), b). Zadanie C10. a) =3, b) 1=, 3=6. Zadanie D1. a) < 5, 1,5>, b) Strona 1

13 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). Zadanie D., 3> 1. Zadanie D3. nie. Zadanie D4., +>,. Zadanie D5. a) tak, b) π π -0.5 π 3π Zadanie D6. a), b). Zadanie D7. Asmptota pionowa obustronna =, asmptota pozioma obustronna =1. Zadanie D8. Funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie = 1. Wkres: Strona 13

14 Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). Zadanie D9. = Zadanie D10. Najmniejszą wartością tej funkcji na podanm przedziale jest = 9 (dla =3 ), zaś największą wartością =18 (dla =6 ). Strona 14