12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

Transkrypt

1 1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm z () dla () D. Wkresem unkcji z () nazwam zbiór punktów ( ( ) ) () D. gdzie Przkład a) Dziedziną unkcji dwóch zmiennch z jest R natomiast jej wkresem jest paraboloida Z Y X 1.1

2 b) Dziedziną unkcji z 4 jest zbiór punktów ( ) spełniającch warunek 4 lub inaczej zapisując 4. Zaś wkresem tej unkcji jest górna półsera o środku w początku układu współrzędnch i promieniu. Z X Y Sporządzenie wkresu unkcji dwóch zmiennch w układzie OXYZ jest trudnm zadaniem i niekied wkres taki jest mało czteln. Dlatego częściej sporządza się wkres warstwicow. Warstwicą powierzchni z () nazwam rzut na płaszczznę OXY linii z (). Przkład Znaleźć i narsować warstwice unkcji dla z 1 z 1 Rozwiązanie Podstawiając za z kolejno 1 otrzmujem odpowiednio unkcje: a) 1 b) 1 1 c) 1. 1.

3 1. Wkres tch unkcji są następujące 1.. POCHODNE CZĄSTKOWE Niech będzie unkcją dwóch zmiennch określoną w pewnm obszarze D R oraz niech ( ) D. Pochodną cząstkową unkcji względem zmiennej w punkcie ( ) nazwam: ( ) ( ) ( ) ( ) h h h lim o ile granica ta istnieje. Pochodną cząstkową unkcji względem zmiennej w punkcie ( ) nazwam: ( ) ( ) ( ) ( ) k k k lim o ile granica ta istnieje.

4 Obliczając pochodne cząstkowe korzsta się z tch samch wzorów i własności które posiadają pochodne zwczajne unkcji prz czm licząc pochodną cząstkową względem jednej ze zmiennch drugą zmienną należ potraktować jak stałą. Przkład Wznaczć pochodne cząstkowe unkcji: a) ( ) 6 b) ( ) c) ( ) ( ) 4 d) ( ). Rozwiązanie a) ( ) 6 Licząc pochodną względem zmiennej zmienną traktujem jak stałą zatem ( 6) ( ) ( 6) Licząc pochodna względem zmiennej zmienną traktujem jak stałą zatem ( 6) ( ) ( 6) 6 6 b) ( ) Postępując analogicznie jak w poprzednim przpadku otrzmujem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.4.

5 1.5 c) ( ) ( ) 4 W tm przpadku należ wznaczć pochodne unkcji złożonej. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) Wkorzstując wzór na pochodną ilorazu unkcji otrzmujem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Analogicznie określa się pochodne cząstkowe unkcji trzech i więcej zmiennch prz czm reguł różniczkowania pozostają niezmienione. Pochodne cząstkowe unkcji same są unkcjami. Jeśli zatem są one różniczkowalne to można liczć pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Na przkład dla unkcji dwóch zmiennch są czter pochodne cząstkowe rzędu drugiego:. Analogicznie określa się pochodne cząstkowe wższch rzędów.

6 Jeśli pochodne mieszane istnieją w pewnm obszarze i obie są w pewnm punkcie ciągłe to w tm punkcie zachodzi Przkład Obliczć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu: a) ( ) 4 5 b) ( ) ln( ) Rozwiązanie a) Mam kolejno b) Mam kolejno ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 ( ( ) ( ) )

7 1.. Ekstrema lokalne unkcji dwóch zmiennch Niech będzie unkcją dwóch zmiennch określoną w obszarze D R. Mówim że unkcja ma w punkcie ( ) D maksimum lokalne jeżeli istnieje otoczenie punktu ( ) w którm ( ) ( ). Gd w otoczeniu punktu ( )spełnion jest warunek ( ) ( ) to unkcja ma w punkcie ( ) minimum lokalne. Maksimum i minimum nazwa się ekstremum unkcji. Funkcja mająca pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie ( ) D gdzie D R może mieć ekstremum lokalne w punkcie ( ) tlko wted gd zachodzi ( ) ( ) 1.7

8 Zerowanie się pochodnch cząstkowch pierwszego rzędu w pewnm punkcie nie gwarantuje istnienia ekstremum w tm punkcie. Dlatego układ równań ( ) ( ) nazwan jest warunkiem koniecznm istnienia ekstremum. Warunek ten wkorzstuje się do wznaczenia punktów w którch unkcja może mieć ekstremum. Jako W ( ) oznaczam wrażenie W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) prz czm zakładam że istnieją i są ciągłe wszstkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Niech w punkcie ( ) będzie spełnion warunek Wted ( ) ( ) 1.8 1) jeżeli W( ) < to w punkcie ( ) unkcja nie ma ekstremum ) jeżeli W( ) > oraz a) ( ) > minimum lokalne b) ( ) < maksimum lokalne. to w punkcie ( ) unkcja ma to w punkcie ( ) unkcja ma..

9 W przpadkach gd W( ) lub ( ) powższe krterium nie rozstrzga istnienia ekstremum. Wted należ przeprowadzić dodatkowe badania. Przkład Wznaczć ekstrema unkcji: ( ) 5. Rozwiązanie Pochodne cząstkowe unkcji są następujące 6. 6 Przrównując pochodne cząstkowe unkcji do zera otrzmujem układ równań. Rozwiązaniem tego układu są punkt P 1 ( ) P (1 1). W punktach tch unkcja może mieć ekstrema. Następnie obliczam W(): 1.9

10 W ( ) 6 6 ( )( ). Dla punktu P 1 ( ) otrzmujem ( ) 9 W < zatem w punkcie P 1 ( ) unkcja nie ma ekstremum. Dla punktu P (1 1) otrzmujem oraz ( 1 1) 7 W > ( ) 6 > zatem w punkcie P (1 1) unkcje ma minimum lokalne. Wartość unkcji w punkcie P (1 1) wnosi (1 1)

11 1.4. Różniczka zupełna unkcji Omówim pojęcie różniczki zupełnej na przkładzie unkcji dwóch zmiennch. Rozważania łatwo przenoszą się na przpadek unkcji trzech i więcej zmiennch. Różniczką zupełną unkcji ( ) nazwam liniową część przrostu unkcji ( Δ Δ) ( ) Δ. Jeżeli istnieje różniczka zupełna unkcji to jest ona równa: d d d. Z określenia różniczki widać że jeżeli ograniczm się tlko do liniowej części przrostu unkcji to ( d d) ( ) d ( ) czli ( d d) ( ) ( ) d ( )d. Przkład Wznaczć różniczkę zupełną unkcji: ( )

12 Rozwiązanie Mam d d d 4 d 4 d. Przkład Wznaczć przbliżoną wartość wrażenia 98sin. Rozwiązanie Rozważm unkcję ( ) sin. Dokładna wartość wrażenia jest wartością unkcji ( 98; ). Wkorzstując różniczkę zupełną unkcji mam prz czm d d przpadku jest równa Ostatecznie ( 1 ; ) ( 1; ) d ( 1; ) d sin d. Różniczka zupełna unkcji w tm cos d 98sin ( 1 ; ) ( 1; ) d ( 1; ) sin ( ) 1 cos. 1.1

13 1.5. FUNKCJA UWIKŁANA Jeżeli istnieje unkcja ( ) spełniająca w każdm punkcie X warunek F( ( )) to nazwam ją unkcją uwikłaną określoną równaniem F( ). Prawdziwe jest twierdzenie: Jeżeli unkcja F jest ciągła wraz z pochodnmi cząstkowmi otoczeniu punktu ( ) a ponadto F( ) i F ( ) to równanie F i F w F( ) określa dokładnie jedną unkcję ciągłą ( ) w pewnm otoczeniu punktu i taką że ( ) ona pochodną wrażającą się wzorem F F. Ma Jeżeli unkcja F jest ciągła wraz z pochodnmi cząstkowmi rzędu pierwszego i drugiego to unkcja uwikłana ( ) ma drugą pochodną określoną wzorem: F F F F F F F F Przkład Wznaczć pierwszą i drugą pochodną unkcji uwikłanej równaniem 4 1. ( ) danej Rozwiązanie F 8 F 4 1.1

14 F F F F F F F F 8( ) ( 8 )( ( ) ) ( 8 ) 4 ( ) ( ) Ekstremum unkcji uwikłanej Funkcja uwikłana ( ) dana równaniem F( ) w otoczeniu punktu ( ) posiada w punkcie ekstremum lokalne jeżeli w punkcie ( ) gdzie ( ) spełnione są warunki: F( ) F ( ) F ( ) i F ( ). Gd wartość wrażenia F ( ) F ( ) jest dodatnia mam minimum gd zaś jest ujemna - maksimum. Przkład Wznaczć ekstrema unkcji uwikłanej ( ) określonej równaniem Rozwiązanie Przjmujem F( ) 1. Wówczas F F 4 i F. Warunki F( ) F ( ) są równoważne układowi równań 1

15 z którego otrzmujem oraz 1. Znalezione rozwiązania spełniają warunki F ( ) F ( 1 ). Ponieważ F ( ) 1> F ( ) zatem w punkcie ( ) jest minimum natomiast F ( 1 ) 1< F ( 1 ) czli w punkcie ( ) 1 jest maksimum. 1.15

16 1.6. Zadania 1.1. Znaleźć dziedzinę unkcji: a) 1 z ln z b) ( ) 1 c) z ( 4)( 9 ) d) e) ( )( ) log z z z 1 ) z 4 4 arcsin g) z arccos h). 1.. Znaleźć i narsować warstwice unkcji: a) z 1 dla z 1 b) z dla z 1 1 c) z dla z 1 5 d) z 6 ( 1) ( ) dla z 7 6 e) z ) z 1 dla z 1. 9 dla z Wznaczć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu: a) ( ) b) ( ) 4 c) ( ) (6 4) d) ( ) e) ( ) ) ( ) ln( ) g) ( ) ( ) h) ( ) sincos i) ( ) e 1.4. Wznaczć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu: a) ( z) z b) ( z) z 1.16

17 c) ( z) ln( 4z) z d) ( z) Wznaczć ekstrema unkcji: a) ( ) b) ( ) 6 9 b) ( ) c) d) ( ) 9 1 e) ( ) sin sin sin( ) ) ( ) g) ( ) e ( 8 6 ) h) ( ) ( ) e Wznaczć różniczki zupełne unkcji: a) ( ) 5 b) ( ) c) ( ) ln d) ( ) sin cos e) ( ) ) ( ) e Wznaczć przbliżoną wartość wrażenia: a) (11) 98 b) 195 e Obliczć pochodną unkcji uwikłanej ( ) określonej równaniem a) 4 w punkcie (11) b) e 1 w punkcie () c) ln e 1 w punkcie (1) d) 1 w punkcie (11) e) ln w punkcie (1 e) 1.17

18 1.9. Wznaczć pochodną unkcji uwikłanej ( ) określonej danm równaniem różniczkując je względem i wznaczając z niego. a) b) e c) e d) ln e 1.1. Wznaczć ekstrema unkcji uwikłanej ( ) określonej równaniem a) ( ) b) c) d) 1 e) 1.18