Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Transkrypt

1 Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x) = 2x 3 x+1 Rozwi azanie: Funkcja f jest nieokreślona dla x = 1. Liczymy granice jednostronne funkcji f w x = 1 : x 1 x + 1 = x 1 + x + 1 = Wniosek: funkcja f posiada asymptotȩ pionow a w punkcie x = 1. Badamy granice funkcji przy x oraz x. x + 1 = 2 x + 1 = 2 Wniosek: funkcja posiada asymptotȩ poziom a (dwustronn a) o równaniu y = 2. Sprawdzamy czy istnieje asymptota ukośna, w tym celu liczymy granice x(x + 1) = 0 Wniosek: brak asymptot ukośnych. x(x + 1) = 0 b)f(x) = x 4 x 2 1

2 Rozwi azanie: Funkcja f jest nieokreślona dla x = 0. Liczymy granice jednostronne funkcji f w x = 0 : x 0 x 4 x 2 = x 4 x 0 + x 2 = Wniosek: funkcja posiada asymptotȩ pionow a w punkcie x = 0. Badamy granice funkcji przy x oraz x. x 4 x 2 = x 4 x 2 = Wniosek: funkcja nie posiada asymptoty poziomej. Sprawdzamy czy istnieje asymptota ukośna, w tym celu liczymy granice x(x + 1) = 0 Wniosek: brak asymptot ukośnych. x(x + 1) = 0 x c) f(x) = 3 (x+1)(x 2) Rozwi azanie: Funkcja f jest nieokreślona dla x = 1 oraz x = 2. Liczymy granice jednostronne funkcji f w x = 1 : x 1 (x + 1)(x 2) = oraz w punkcie x = 2 x 1 + (x + 1)(x 2) = x 2 (x + 1)(x 2) = x 2 + (x + 1)(x 2) = Wniosek: funkcja posiada asymptoty pionowe w punktach x = 1 oraz x = 2. Badamy granice funkcji przy x oraz x. Wniosek: funkcja nie posiada asymptot poziomych. (x + 1)(x 2) = (x + 1)(x 2) = 2

3 Sprawdzamy czy istnieje asymptota ukośna, w tym celu liczymy granice oraz x(x + 1)(x 2) = 1 (x + 1)(x 2) 1 x = 1 co daje asymptotȩ ukośna y = x + 1 przy x. Podobnie sprawdzamy czy istnieje asymptota ukośna przy x. Liczymy granice oraz co daje asymptotȩ ukośn a y = x + 1 przy x. x(x + 1)(x 2) = 1 (x + 1)(x 2) 1 x = 1 Zadanie 2. Wyznacz przedzia ly monotoniczności nastȩpuj acych funkcji a) f(x) = + 5x 9 Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn a f (x) = 3x oraz zauważamy, że nierówność 3x > 0 jest spe lniona dla dowolnego x R. Czyli f(x) = + 5x 9 lest rosn aca w ca lej swojej dziedzinie. b) f(x) = 2 + 9x x Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn a f (x) = 6x x + 12 oraz rozwi azujemy nierówność lub równoważn a jej W tym celu obliczamy pierwiastki równania 6x x + 12 > 0 x 2 + 3x + 2 > 0. x 2 + 3x + 2 = 0 = = 1 co daje x 1 = 2 lub x 2 = 1. Zatem dla x (, 2) ( 1, ) funkcja jest rosn aca, natomiast dla x ( 2, 1) jest funkcj a malej ac a. c) f(x) = x2 3 x 2 +3 Rozwi azanie: Liczymy najpierw pochodn a f (x) = 2x(x2 +3) 2x(x 2 3) (x 2 +3) 2 = 12x (x 2 +3) 2 oraz rozwi azujemy nierówność f (x) > 0. Mamy wiȩc f (x) > 0 wtedy i tylko wtedy gdy 6x > 0. Zatem dla x > 0 funkcja jest rosn aca natomiast dla x < 0 funkcja jest malej aca. Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji f jeśli: 3

4 a) f(x) = x 2 3x + 8 Rozwi azanie: Liczymy pochodn a f (x) = i rozwi azujemy równanie f (x) = 0 co w naszym przypadku daje 2x 3 = 0 oraz x 0 = 1.5 Z postaci pochodnej otrzymujemy, że dla x < 1.5 zachodzi f (x) < 0 oraz dla x > 1.5 zachodzi f (x) > 0, co daje, ze w punkcie x 0 = 1.5 funkcja f osiaga minimum lokalne. b) f(x) = x 4 4x Rozwi azanie: Liczymy pochodn a f (x) = 4 8x i rozwi azujemy równanie f (x) = 0. Mamy 4 8x = 4x(x 2 2), co daje nastȩpuj ace rozwi azania x 1 = 0 lub x 2 = 2 lub = 2. Analizujemy teraz zachowanie pochodnej w otoczeniach tych trzech punktów korzystaj ac z wykresu funkcji y = 4x(x 2 2). W lewostronnym otoczeniu punktu x 1 = 0 pochodna f jest dodatnia a w prawostronnym ujemna, zatem w x 1 = 0 funkcja f przyjmuje lokalne maksimum. W lewostronnym otoczeniu punktu x 2 = 2 pochodna f jest ujemna a w prawostronnym dodatnia, zatem w x 2 = 2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum. W lewostronnym otoczeniu punktu = 2 pochodna f jest ujemna a w prawostronnym dodatnia, zatem w x 2 = 2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum. c) f(x) = x+1 x 2 +4 Rozwi azanie: Obliczamy pochodn a f (x) = 1(x2 +4) 2x(x+1) = x2 2x+4 oraz rozwi azujemy (x 2 +4) 2 (x 2 +4) 2 równanie f (x) = 0. Wiadomo, że f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x 2 2x+4 = 0. Rozwi azuj ac to równanie otrzymujemy: = 20 oraz x 1 = 1 5, x 2 = Pochodna w lewostronnym otoczeniu punktu x 1 jest ujemna a w prawostronnym otoczeniu dodatnia, zatem w x 1 funkcja f osi aga minimum lokalne. Podobnie, pochodna w lewostronnym otoczeniu punktu x 2 jest dodatnia a w prawostronnym otoczeniu ujemna, zatem w x 2 funkcja osi aga maksimum lokalne. Zadanie 4. Znajdź najwiȩksze i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedzia lach a) f(x) = x 2 + 2x 4, dla x [0, 2] Rozwi azanie: Liczymy pochodn a f (x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x 0 = 1. W punkt x 0 = 1 nie należy do przedzia lu [0, 2]. Funkcja f nie ma lokalnych ekstremów w przedziale [0, 2]. Liczymy wartości funkcji w punktach brzegowych. Otrzymujemy f(0) = 4 f(2) = 4 czyli najwiȩksza wartość funkcji f, w przedziale [0, 2], wynosi 4 a najmniejsza -4. b) f(x) = x 2 + 2x 4, dla x [ 2, 2] Rozwi azanie: Liczymy pochodn a f (x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x 0 = 1. W punkcie x 0 = 1 [ 2, 2] funkcja f ma minimum lokalne. Liczymy wartości funkcji w punktach brzegowych oraz w x 0, otrzymujemy f( 2) = 4, f(2) = 4 oraz f( 1) = 5. W przedziale [ 2, 2] funkcja osiaga najwiȩksz a wartość 4 dla x 1 = 2 oraz najmniejsz a wartość -5 w punkcie x 0 = 1. c) f(x) = 2x+5 x+1 dla x [ 3, 1) ( 1, 3] Rozwi azanie: W punkcie x = 1 funkcja jest nieokreślona. 2x + 5 x 1 x + 1 = 2x + 5 x 1 + x + 1 = 4

5 czyli w x = 1 istnieje asymptota pionowa funkcji f. Zatem funkcja f nie osi aga w tym zbiorze ani skończonej wartości maksymalnej ani skończonej minimalnej. Zadanie 5. Wyznaczyć punkty przegiȩcia, przedzia ly wypuk lości oraz wklȩs lości funkcji a) f(x) = 3x 4 + 7x + 1 dla x (0, ) Rozwi azanie: Liczymy pierwsz a pochodn a f (x) = oraz drug a f (x) = 36x 2. Dla dowolnego x (0, ) zachodzi f (x) > 0 czyli funkcja jest wypuk la w ca lej swojej dziedzinie. b) f(x) = e x Rozwi azanie: Liczymy pierwsz a pochodn a f (x) = e x 1 oraz drug a f (x) = e x 1. Dla dowolnego x (, ) zachodzi f (x) > 0 czyli funkcja jest wypuk la w ca lej swojej dziedzinie. c) f(x) = x 4 x 2 Rozwi azanie: Liczymy pierwsz a pochodn a f (x) = 4 3x 2 2x oraz drug a f (x) = 12x 2 6x 2. Szukamy pierwiastków równania 12x 2 6x 2 = 0. Po obliczeniach otrzymujemy pierwiastki x 1 = oraz x 2 = Dla x (, x 1 ) mamy f (x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk la w tym przedziale. Dla x (x 2, ) mamy f (x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk la w tym przedziale. Natomiast dla x (x 1, x 2 ) mamy f (x) < 0 czyli funkcja f jest wklȩs la w tym przedziale. Punkty x 1 oraz x 2 s a punktami przegiȩcia. 1 Zadania do samodzielnego rozwi azania Zadanie 1.1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x) = 2x 3 x+1 Odp. Asymptota pionowa w x = 1, asymptota pozioma y = 2, brak asymptot ukośnych. b) f(x) = 7x+3 x 10 Odp. Asymptota pionowa w x = 10, asymptota pozioma y = 7, brak asymptot ukośnych. c) f(x) = 1 x 2 +1 Odp. asymptota pozioma y = 0. d) f(x) = 1 1 x 2 Odp. Asymptota pionowa w x = 1 lub x = 1, asymptota pozioma y = 0, brak asymptot ukośnych. Zadanie 2.1. Wyznacz przedzia ly monotoniczności nastȩpuj acych funkcji a) f(x) = + 3x 2 + 2x + 2 Odp. Rosn aca w (1 10/6, /6), malej aca w (, 1 10/6) oraz w (1 + 10/6, ). b) f(x) = 5 1 x Odp. Malej aca w (, 1), rosn aca w (1,.) c) f(x) = 7x+3 x 10 Odp. Malej aca w (, 10) oraz w (10, ). d) f(x) = x x

6 Odp. Malej aca w (, 2) oraz w (2, ), rosn aca w ( 2, 2). Zadanie 3.1. Wyznacz ekstrema funkcji f jeśli: a) f(x) = + 3x 2 + 9x + 2 Odp. Min w x 1 = 1, max w x 2 = 3. b) f(x) = 3x+2 x 2 +1 Odp. Min w x 1 = 13 3, max w x 2 = c) f(x) = 9 x2 x+5 Odp. Min w x 1 = 9, max w x 2 = 1. d) f(x) = x x Odp. Min w x 1 = 1. Zadanie 4.1. Znajdź najwiȩksze i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedzia lach a) f(x) = x 2 + 2x 4, dla x [0, 2] Odp. Wartość min f(0) = 4, wartość max f(2) = 4 b) f(x) = 3 x 1 dla x [0, 2] Odp. Wartość min f(0) = 1/3, wartość max f(2) = 1 c) f(x) = 3x 2 + 6x + 9 dla x [ 4, 2] Odp. Wartość min f( 4) = 63, wartość max f(1) = 13. d) f(x) = x+1 x 2 dla x [3, 5] Odp. Wartość min f(5) = 2, max f(3) = 4. Zadanie 5.1. Wyznaczyć punkty przegiȩcia, przedzia ly wypuk lości oraz wklȩs lości funkcji a) f(x) = x2 +x 2 x 2 Odp. f wypuk la dla x > 2, wklȩs la dla x < 2. Brak punktu przegiȩcia. b) f(x) = log(1 + x 2 ) Odp. f wypuk la dla x < 1 oraz x > 1, wklȩs la dla x ( 1, 1). Punkty przegiȩcia dla x = 1 lub x = 1. c) f(x) = x x 2 2x + 1 Odp. Wypuk la w (, 2) oraz (1, ). Wklȩs la ( 2, 1), punkty przegiȩcia x = 2 lub x = 1. d) f(x) = x x 2 +1 Odp. Wypuk la w ( 3, 0) ( 3, ). Wklȩs la w (, 3) (0, 3). Punkty przegiȩcia : 3, 0, 3. 6