EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n

Transkrypt

1 EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy umieścić numer zadania, imię i nazwisko, nazwisko prowadzącego ćwiczenia.. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f = i narysuj jej wykres.. Zbadaj zbieżność szeregów sin π n + α, n n. W punkcie α jest rzeczywistym parametrem.. Zbadaj otwartość, domkniętość, zwartość i spójność zbioru A R n ze standardową metryką dla ] } A = {[. n R n i Z, i =,..., n 4. Oblicz promień zbieżności szeregu n + n n, wykorzystaj ten wynik do obliczenia sumy n +n 7 n. 5. Oblicz całkę 0 + d. Data 9 stycznia 06 r.

2 EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Zadanie. Rozwiązania Funkcja f jest gładka na zbiorze R \ {0, }, a ciągła na R. f > 0 dla ], 0[ ]0, [, f0 = 0, f < 0 dla >. W szczególności w punkcie 0 funkcja f ma lokalne minimum. Ponieważ f = i f jest ciągła, zbiorem wartości f jest całe R. W szczególności f nie ma globalnych ekstremów. f =. Na R \ {0, } mamy f = 4, f 9 = Stąd f 0 na R \ {0, }, a f ma jedno zero w punkcie 4. f > 0 ] 0, 4 [, f > 0 >. Stąd w punkcie 4 funkcja f ma lokalne maksimum, f 4 = 4. Mamy f = = ± 0 ± 0 ± oraz f = ± 4 4 ± =. W szczególności f nie jest różniczkowalna w punktach 0 i bo jest w tych punktach ciągła i z tw. Lagrange a wynika, że jeśli byłaby różniczkowalna w którymś z tych punktów, to pochodna miałaby tam skończoną granicę. Znając znak f określamy przedziały wklęsłości i wypukłości: f jest wklęsła na ], 0[ oraz na ]0, [, a wypukła na ], + [. Funkcja f nie ma asymptot poziomych ani pionowych. Mamy f = a podstawiając do wzoru a b = a b a +ab+b skąd wniosek, że i prosta y = + f + = = = =, wartości a = f, b = otrzymujemy f + + +, + f + = jest obustronną asymptotą dla f.

3 EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Równanie f = + rozwiązujemy podnosząc obie strony do trzeciej potęgi. Wówczas otrzymujemy = 9. Ponieważ f 9 = 4 9, punkt 9, 9 4 jest jedynym punktem przecięcia wykresu f z asymptotą. Z wklęsłości/wypukłości f wnioskujemy, że dla > 9 wykres f leży nad asymptotą, a dla < 9 pod nią. Wykres funkcji f

4 4 EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Zadanie. Ad. Niech a n oznacza wyraz ogólny badanego szeregu. Jeśli α = 0, to a n = 0 dla wszystkich n, a więc dla α = 0 szereg a n jest zbieżny bezwzględnie. Załóżmy teraz, że α 0. Mamy sin π n + α = sin π n + n + α n = cosπn sin π n + α n + sinπn cos π n + α n = cosπn sin π n + α n + 0 = n sin π n + α n Ciąg a n n N jest malejący dla f = + α mamy f = < 0, więc szereg +α sin π n + α jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza. Jednak a n = sin π n + α n πα = sin n + α + n dla pewnej stałej C > 0. Ponadto sin π Cn π Cn n π > sin, Cn więc dla α 0 szereg a n = +, czyli szereg sin π n + α jest zbieżny warunkowo. Ad. Rozważmy funkcję f = = ep log. Mamy f ep log log H 0 + = 0 + = log 0 + H = 0 + =. Ponieważ a n = f n, powyższy rachunek pokazuje, że a n n =, n a zatem szereg n n jest zbieżny bezwzględnie.

5 EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R 5 Zadanie. Rozważmy na R n metrykę d. Jest ona równoważna standardowej d, więc pojęcia otwartości, domkniętości, zwartości i spójności będą identyczne dla obu metryk. Zbiór A jest sumą kul: niech v =.. wtedy A = K,. Z n +v Stąd A jest otwarty. Dopełnieniem A jest suma płaszczyzn: R n \ A = { R n istnieje i takie, że i Z }. W szczególności 0 A. Ale 0 jest punktem skupienia A, więc A nie jest domknięty. Zbiór A nie jest zwarty, bo nie jest domknięty a poza tym ewidentnie nie jest ograniczony. Wreszcie A nie jest spójny, gdyż A = A + A, gdzie A ± = { A ± > 0 } dostarcza rozkładu na dwa podzbiory takie, że A + A = = A A +. Istotnie: każda granica g ciągu punktów A + spełnia g 0, więc g nie należy do A i podobnie każda granica g ciągu punktów A spełnia g 0, a więc g nie należy do A +.

6 6 EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Zadanie 4. Obliczamy R = sup n n n + n. Mamy n n n n + n n n dla dostatecznie dużych n. Stąd n n + n = i R =. n Możemy więc podstawiać w szeregu n + n n będzie gładka na tym zbiorze. n + n n wartości takie, że < i funkcja Korzystając z twierdzenia o pochodnej granicy ciągu funkcyjnego łatwo sprawdzamy, że dla < mamy n n = = oraz Stąd dla < n n = = + n + n n = + Podstawiając = 7 otrzymujemy +. n + n 7 n = 9 08.

7 + EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R 7 Zadanie 5. Funkcja jest różnowartościowa i gładka na otoczeniu [0, ] jej pochodną + jest funkcja + > 0. Dlatego możemy dokonać podstawienia u =. Granice 0, przetransformują się na,, a funkcją podcałkową po podstawieniu jest u. Z relacji u = + wynika, że = u u +, a więc = 6 u +. Tak więc skoro du = u d, otrzymujemy u du d = 8 u +. Podsumowując 0 + d = 8 u du u + = 8 du u + du u + = 8 [ arctgu u u + arctgu] = 4 [ arctgu u u + ] = + π.