Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Transkrypt

1 27 grudnia 2011

2 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy D. Zbiór i zbiór jego punktów skupienia moga być różne, tzn. nie można postawić inkluzji w żadna ze stron.

3 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy D. Zbiór i zbiór jego punktów skupienia moga być różne, tzn. nie można postawić inkluzji w żadna ze stron.

4 Definicja Niech D x f (x) R, x 0 D. Granica funkcji f w punkcie x 0 nazywamy liczbę g R taka, że ɛ>0 δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) g < ɛ.

5 definicja granicy funkcji w/g Heinego Funkcja f : D x f (x) R posiada granicę g w punkcie x 0 D wtedy, i tylko wtedy gdy (xn) n=k D : lim n x n = x 0 lim n f (x n ) = f (x 0 ). jest jedyna.

6 definicja granicy funkcji w/g Heinego Funkcja f : D x f (x) R posiada granicę g w punkcie x 0 D wtedy, i tylko wtedy gdy (xn) n=k D : lim n x n = x 0 lim n f (x n ) = f (x 0 ). jest jedyna.

7 ciagłość funkcji a istnienie granicy Niech f : R D x f (x) R, x 0 D D. Funkcja f jest ciagła w punkcie x 0 wtedy, i tylko wtedy gdy istnieje granica funkcji w tym punkcie i jest równa jej wartości tzn. lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

8 granica funkcji a działania Niech f, g : R D R, x 0 D. Jeżeli funkcje f i g posiadaja w punkcie x 0 granice - lim f (x) = a, lim g(x) = b to: x x0 x x0 1 lim x x0 f + g(x) = a + b, 2 lim x x0 f g(x) = a b, 3 lim x x0 fg(x) = ab, 4 dla każdej liczby λ R zachodzi lim x x0 λf (x) = λa, 5 f jeżeli b 0 to lim x x0 g (x) = a b, przy czym funkcja f g jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0.

9 twierdzenie o trzech funkcjach Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim g(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi zwiazek f g h czyli istnieje ɛ taki, że dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) D zachodza nierówności f (x) g(x) h(x) to istnieje granica funkcji g w punkcie x 0 i jest równa granicy funkcji f i h w tym punkcie.

10 twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy Niech będzie dana funkcja f : R D R która posiada granicę w punkcie x 0 D. 1 Jeżeli dla pewnego a R istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi nierówność f a (tzn. istnieje ɛ > 0 taki, że dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) zachodzi nierówność f (x) a) to lim x x0 f (x) a. 2 Jeżeli lim x x0 f (x) > 0 to istnieje otoczenie x 0 w którym f > 0. Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego otoczenia x 0 otrzymamy nierówność silna f > a to dla granicy dalej mamy tylko nierówność słaba lim f (x) a. x x0

11 twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy Niech będzie dana funkcja f : R D R która posiada granicę w punkcie x 0 D. 1 Jeżeli dla pewnego a R istnieje otoczenie punktu x 0 w którym zachodzi nierówność f a (tzn. istnieje ɛ > 0 taki, że dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) zachodzi nierówność f (x) a) to lim x x0 f (x) a. 2 Jeżeli lim x x0 f (x) > 0 to istnieje otoczenie x 0 w którym f > 0. Jeżeli w punkcie 1) powyższego twierdzenia dla pewnego otoczenia x 0 otrzymamy nierówność silna f > a to dla granicy dalej mamy tylko nierówność słaba lim f (x) a. x x0

12 WYBRANE GRANICE FUNKCJI 1 lim x 0 a x = 1, dla a > 0, 2 lim x 0 sin x x = 1, ( ) 3 lim x x x = e, ( ) x x = e, 4 lim x 5 lim x 0 a x 1 x = ln a, dla a > 0.

13 Granice jednostronne Definicja Niech f R D R oraz x 0 D : 1 jeżeli dla każdej liczby δ > 0 zbiór (x 0 δ, x 0 ) D, tzn. zbiór skupia się po lewej stronie punktu x 0, oraz ɛ>0 δ>0 : x D (0 < x 0 x < δ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica lewostronna funkcji f w punkcie x 0 co oznaczamy lim f (x). x x 0 2 jeżeli dla każdej liczby δ > 0 zbiór (x 0, x 0 + δ) D, tzn. zbiór skupia się po prawej stronie punktu x 0, oraz ɛ>0 δ>0 : x D (0 < x x 0 < δ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica prawostronna funkcji f w punkcie x 0 co oznaczamy lim f (x). x x + 0

14 Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę funkcji rozumiemy odpowiednia granicę jednostronna. Jeżeli ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to zachodzi następujace twierdzenie: Niech będzie dana funkcja f : R D R oraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.

15 Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę funkcji rozumiemy odpowiednia granicę jednostronna. Jeżeli ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to zachodzi następujace twierdzenie: Niech będzie dana funkcja f : R D R oraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.

16 Granice jednostronne a granica funkcji Każdy punkt skupienia zbioru D musi skupiać się z przynajmniej jednej strony, tzn. dla każdego punktu x 0 D ma sens próba określenia granicy przynajmniej z jednej strony. Jeżeli granica ma sens tylko z jednej strony to przez granicę funkcji rozumiemy odpowiednia granicę jednostronna. Jeżeli ma sens zarówno granica z lewej jak i z prawej strony to zachodzi następujace twierdzenie: Niech będzie dana funkcja f : R D R oraz punkt x 0 D taki, że jest punktem skupienia zarówno z lewej jak i z prawej strony. Wówczas funkcja ma f ma w punkcie x 0 granicę równa g wtedy i tylko wtedy gdy ma w tym punkcie granice prawostronna i lewostronna i granice te wynosza g.

17 Granice w ± Definicja Niech f : R D R : 1 jeżeli dla każdej liczby M > 0 zbiór (M, ) D jest niepusty, oraz ɛ>0 M>0 : x D (M, ) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica funkcji f w. 2 jeżeli dla każdej liczby M < 0 zbiór (, M) D jest niepusty, oraz ɛ>0 M<0 : x D (,M) f (x) g < ɛ, to liczbę g nazywamy granica funkcji f w.

18 Rozbieżność funkcji Definicja Niech D x f (x) R, x 0 D. Jeżeli K R δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) > K to mówimy, że funkcja f jest w x 0 rozbieżna do. Jeżeli K R δ>0 : x D x x 0 < δ f (x) < K to mówimy, że funkcja f jest w x 0 rozbieżna do.

19 Rozbieżność w nieskończoności Definicja Niech f : R D R. Załóżmy, że dla dowolnego M zachodzi (M, + ) D. Wtedy: 1 lim f (x) = +, jeśli x + K R M R x D x > M = f (x) > K, 2 lim f (x) =, jeśli x + K R M R x D x > M = f (x) < K. Załóżmy że dla dowolnego M zachodzi (, M) D, wtedy 3 lim f (x) = +, jeśli x K R M R x D x < M = f (x) > K, 4 lim f (x) =, jeśli x K R M R x D x < M = f (x) < K.

20 Symbole nieoznaczone Dla szacowania granic funkcji zarówno jednostronnych jak i dwustronnych można stosować tabele znane z twierdzenia o ciagach.

21 Asymptoty poziome Definicja Niech f : R D R. Przyjmijmy, że sa spełnione założenia dotyczace dziedziny przy których poniższe granice maja sens. 1 Jeśli lim f (x) = b R, to mówimy, że funkcja f ma w x + + asymptotę pozioma o równaniu y = b. 2 Jeśli lim f (x) = b R, to mówimy, że funkcja f ma w x asymptotę pozioma o równaniu y = b. 3 Jeśli lim f (x) = b = lim f (x), to mówimy, że funkcja f x + x ma asymptotę pozioma (obustronna) o równaniu y = b.

22 Asymptoty pionowe Definicja Niech f : R D R. Przyjmijmy, że sa spełnione założenia dotyczace dziedziny przy których poniższe granice maja sens. 1 Jeśli lim x x + 0 f (x) = ±, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionowa prawostronna o równaniu x = x 0. 2 Jeśli lim x x 0 f (x) = ±, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionowa lewostronna o równaniu x = x 0. 3 Jeśli lim f (x) = ± i lim f (x) = ±, to mówimy, że x x + 0 x x 0 funkcja f ma asymptotę pionowa (obustronna) o równaniu x = x 0.

23 Asymptoty ukośne Definicja Niech f : R D R. Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptota ukośna w ( ), jeśli: lim (f (x) (ax + b)) = 0, lim x (f (x) (ax + b)) = 0. x Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptota ukośna(obustronn a), jeśli sa spełnione oba warunki. WZÓR a = f (x) lim x + x, b = lim (f (x) ax). x +