Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Transkrypt

1 Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu rzeczwistości gospodarczej. Model liniow jednie przbliża realną stuację ekonomiczną. Uzskanie opisu układu gospodarczego któr adekwatnie odzwierciedlałb rozpatrwane relacje ekonomiczne wmaga zastosowania modelu uwzględniającego wszstkie jego komplikacje. Taka możliwość pojawiła się z chwilą wprowadzenia innch niż liniowe dziedzin programowania matematcznego. Element programowania nieliniowego Programem nieliniowm nazwam zadanie o postaci: 1... n -->> min lub ma prz warunkach ograniczającch: g i g 1 1 n < lub > 1 n > i 1... r gdzie prznajmniej jedna z unkcji: lub g i nie jest unkcją liniową prz czm zakłada się że unkcje i g i są ciągłe. W przeciwieństwie do programowania liniowego gdzie uniwersalną metodą rozwiązwania jest algortm simpleks nie ma ogólnej metod rozwiązwania programów nieliniowch. Metoda rozwiązwania zależ od postaci jaką zadanie przjmuje. Strona 1/1

2 Ekonomia matematczna II Funkcje dwóch zmiennch Funkcją rzeczwistą dwóch zmiennch nazwam odwzorowanie : R R czli przporządkowanie każdej parze liczb rzeczwistch dokładniej jednej liczb rzeczwistej z czli: R z z R Przkład unkcji dwóch zmiennch: 6 1 arcsin Wznaczanie dziedzin unkcji: Dziedziną unkcji z nazwam zbiór tch wszstkich R dla którch wzór unkcjn ma sens liczbow. Przkład 1 Znajdź dziedzinę unkcji: 1 Rozwiązanie: Ab powższ przepis miał sens należ założć że wrażenie wstępujące w mianowniku jest różne od zera i wrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne. Zatem: i Po przekształceniu otrzmujem: i i Na płaszczźnie będzie to obszar złożon z czterech ćwiartek koła o środku w punkcie i promieniu bez odcinków osi i zawartch w tm kole. Strona /1

3 Ekonomia matematczna II Przkład Znajdź dziedzinę unkcji: 1 ln Rozwiązanie: Ab powższ przepis miał sens należ założć że wrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne oraz wrażenie logartmowanego jest dodatnie: 1 i > co po przekształceniu daje: 1 i < Na płaszczźnie jest to pierścień ograniczon okręgami o środkach w punkcie i odpowiednio promieniach r 1 r. wraz z okręgiem o promieniu 1 zaś bez brzegu okręgu zewnętrznego: Strona /1

4 Ekonomia matematczna II Pochodne cząstkowe unkcji wielu zmiennch Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu Jeżeli istniej i jest skończona granica: lim to nazwam ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego unkcji względem zmiennej w punkcie i oznaczam smbolem. o Analogicznie: niech. Jeżeli istnieje i jest skończona granica: lim to nazwam ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego unkcji względem zmiennej w punkcie i oznaczam smbolem. o Pochodne cząstkowe drugiego rzędu Pochodne cząstkowe rzędu drugiego są to pochodne cząstkowe pochodnch cząstkowch rzędu pierwszego. Oznaczam je odpowiednio: Obliczanie pochodnch cząstkowch unkcji dwóch zmiennch sprowadza się więc prz ustaleniu jednej z nich lub do obliczania pochodnch unkcji jednej zmiennej. Przkład Wznacz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu następującej unkcji: 1 9 Strona /1

5 Ekonomia matematczna II Rozwiązanie Pochodne pierwszego rzędu: 9 Pochodne drugiego rzędu: Ekstrema lokalne unkcji dwóch zmiennch Optmalizacja unkcji wielu zmiennch w ekonomii Funkcja ma w punkcie P o o o maksimum lokalne wted i tlko wted gd dla każdego punktu P należącego do pewnego sąsiedztwa P o o o spełniona jest nierówność: <. Funkcja ma w punkcie P o o o minimum lokalne wted i tlko wted gd dla każdego punktu P należącego do pewnego sąsiedztwa P o o o spełniona jest nierówność: >. Warunek konieczn istnienia ekstremum Jeżeli unkcja ma ekstremum lokalne w punkcie P o o o oraz istnieją pochodne cząstkowe: to: i i. Punkt w którm spełnion jest warunek konieczn nazwam punktem stacjonarnm. Strona 5/1

6 Ekonomia matematczna II Warunek wstarczając istnienia ekstremum Jeżeli unkcja ma w pewnm otoczeniu punktu stacjonarnego P o o o pochodne pierwszego i drugiego rzędu ciągle oraz: W > to w punkcie P o o o istnieje ekstremum lokalne. W przpadku gd dodatkowo > lub > to w punkcie P o o o istnieje minimum lokalne; Jeśli zaś dodatkowo < lub < to w punkcie P o o o istnieje maksimum lokalne. Jeżeli W < to w punkcie stacjonarnm P o o o nie ma ekstremum. Uwaga: jeżeli W to w punkcie P o o o ekstremum może istnieć lub nie czli w tm przpadku twierdzenie nie rozstrzga istnienia ekstremum. Należ wówczas posłużć się deinicją lub innmi metodami poszukiwania ekstremum. Z powższch twierdzeń wnika następując schemat wznaczania ekstremów unkcji z 1 obliczam pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i oraz przrównujem je do zera znajdując w ten sposób punkt stacjonarne znajdujem pochodne cząstkowe rzędu drugiego i tworzm wznacznik W obliczam kolejno znak wznacznika W w punktach stacjonarnch a w przpadku gd jest on większ od zera badam także znak pochodnej < lub w tch punktach. Strona 6/1

7 Ekonomia matematczna II Przkład Dla podanej poniżej unkcji produkcji przedsiębiorstwa produkującego wrob i wznacz optmalną wielkość produkcji obliczając ekstrema lokalne unkcji: 6 1 Rozwiązanie Dziedziną tej unkcji jest R czli e R. Szukam najpierw - zgodnie ze schematem podanm wżej - punktów stacjonarnch czli pochodne cząstkowe pierwszego rzędu przrównujem do zera. 6 6 i 1 i rozwiązujem układ równań: a stąd otrzmujem czter punkt stacjonarne: P 1 l P l- P -l P -l- w którch spełnion jest warunek konieczn istnienia ekstremum czli punkt w którch może bć ekstremum. Następnie obliczam pochodne cząstkowe drugiego rzędu i tworzm wznacznik W: W 6 Badam teraz kolejno znak wznacznika w punktach P 1 l P l- P -l P -l- i na podstawie warunku wstarczającego wnioskujem o istnieniu ekstremum lokalnego. Badam punkt P W P > zatem istnieje ekstremum 1 > zatem w punkcie P 1 l istnieje minimum lokalne Badam punkt P l- Strona 7/1

8 Ekonomia matematczna II 1 P 1 1 W < zatem w tm punkcie nie istnieje ekstremum Badam punkt P -l 1 W P 1 1 < zatem w tm punkcie nie istnieje ekstremum Badam punkt P -l- 1 W P 1 1 > zatem istnieje ekstremum 1-1 < zatem w punkcie P -l- istnieje maksimum lokalne Odpowiedź: Przedstawiona w zadaniu unkcja ma dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne w punkcie P 1 1 i maksimum lokalne w punkcie P -l- prz czm: min ma Przkład 5 Sprawdzić cz w podanch punktach P 1 l i P unkcja: 6 ma ekstremum lokalne. 1 Rozwiązanie Ab odpowiedzieć na postawione ptanie należ najpierw zbadać cz podane punkt są punktami stacjonarnmi. W tm celu obliczam: 1 Badam punkt P 1 l P czli w punkcie P 1 l nie jest spełnion warunek konieczn istnienia ekstremum a więc w punkcie P 1 l rozważana unkcja nie ma ekstremum. Strona 8/1

9 Ekonomia matematczna II Natomiast P czli punkt P jest punktem stacjonarnm. Sprawdzam więc cz w tm punkcie spełnion jest warunek wstarczając: -1-1 W W > a więc w punkcie P dana unkcja 6 1 ma ekstremum i jest to maksimum lokalne ponieważ <. Strona 9/1

10 Ekonomia matematczna II Strona 1/1 Zadania do samodzielnego rozwiązania: 1. Podaj dziedzinę unkcji: a. ln b. 9 c. ln 1 d. 9 ln. Wznacz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu następującej unkcji: a b. 1 5 c Wznacz ekstrema następującch unkcji kosztów danego przedsiębiorstwa: a. b. 9 1 c