Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Transkrypt

1 Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n!

2 Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) = ln(1 + x) dla x > 1; n = 2. Wówczas f (0) = 0 oraz f (x) = x f 1 (x) = (1 + x) 2. Zatem f (0) = 0 i f (0) = 1 i dla x > 1 istnieje θ (0, 1) taka, że ln(1 + x) = x x 2 2(1 + θx) 2 Zadanie. Korzystając z powyższego dla x n = 1 n ( 1 ) n+1 n=1 n ln n jest zbieżny. wykazać, że

3 Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina Niech f : (a, b) R będzie funkcją klasy C oraz x, x 0 (a, b). Wówczas f (n) (x 0 ) f (x) = (x x 0 ) k k! wtedy i tylko wtedy, gdy lim n n=0 f (n) (x 0 + θ n (x x 0 )) (x x 0 ) n = 0 n!

4 Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina Warunek wystarczający Twierdzenie Niech f : (a, b) R będzie funkcją klasy C oraz x, x 0 (a, b). Jeśli istnieje M > 0, taka że f (n) (x) < M dla wszystkich x (a, b) i wszystkich n N, to szereg n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale (a, b).

5 Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina Przykłady f (x) = e x na przedziale ( r, r), x 0 = 0. Wówczas dla n N f (n) (x) = e x e r. e x = n=0 Pochodne funkcji sin są ograniczone przez 1 na całej prostej. Zatem sin x = n=0 x n n! ( 1) n (2n + 1)! x 2n+1 Podobnie cos x = n=0 ( 1) n (2n)! x 2n

6 Uwaga Nie każda funkcja klasy C jest sumą swojego szeregu Maclaurina. Np. { exp( x 2 ) dla x 0; f (x) = 0 dla x = 0. Definicja Jeśli istnieje δ > 0 taka, że funkcja f jest sumą swojego szeregu Taylora w zbiorze x x 0 < δ, to funkcję f nazywamy analityczną w punkcie x 0. Jeśli f jest analityczna w każdym punkcie zbioru otwartego A, to mówimy, że f jest analityczna na A, co zapisujemy f C ω (A).

7 Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Niech f : (a, b) R będzie różniczkowalna Definicja W punkcie x 0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, jeśli istnieje δ > 0 taka, że f (x) > 0 (odp. f (x) < 0) dla x (x 0 δ, x 0 ) i ; f (x) < 0 (odp. f (x) > 0) dla x (x 0, x 0 + δ)

8 Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Niech f : (a, b) R będzie różniczkowalna Definicja W punkcie x 0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, jeśli istnieje δ > 0 taka, że f (x) > 0 (odp. f (x) < 0) dla x (x 0 δ, x 0 ) i ; f (x) < 0 (odp. f (x) > 0) dla x (x 0, x 0 + δ) Twierdzenie Jeśli f : (a, b) R jest różniczkowalna oraz w x 0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, to f osiąga w x 0 ekstremum lokale.

9 Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Powyższego twierdzenia nie można odwrócić! Lokalna zmiana znaku jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum, ale nie jest warunkiem koniecznym. Przykład. Funkcja { x 4 (2 + sin 1 ), dla x 0; x 0, dla x = 0. posiada minimum w zerze, ale jej pochodna przyjmuje zarówno wartości dodatnie i ujemne w dowolnym otoczeniu ( δ, 0) i (0, δ), δ > 0 (Przeliczyć!).

10 Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Twierdzenie Niech n 2, x 0 (a, b) i niech f : (a, b) R będzie (n 1)-krotnie różniczkowalna oraz istnieje f (n) (x 0 ). Załóżmy, że f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 i f (n) (x 0 ) 0. 1 Jeśli n jest liczbą parzystą, to f osiąga w x 0 ekstremum lokalne. Jest to minimum, gdy f (n) (x 0) > 0; jest to maksimum, gdy f (n) (x 0) < 0. 2 Jeśli n jest liczbą nieparzystą to w punkcie x 0 nie ma ekstremum lokalnego.

11 Ekstrema funkcji Warunki dostateczne. Szkic dowodu Przy powyższych założeniach wzór Taylora z resztą Peano ma postać: ( f (n) (x 0) f (x 0 + h) f (x 0) = + r(h) ) h n (1) n! h n gdzie lim h 0 r(h)/h n = 0. Niech δ > 0 będzie na tyle małą liczbą, aby dla wszystkich 0 < h < δ r(h) h n < f (n) (x 0) n!. Wówczas f (n) (x 0) n! + r(h) h n f (n) (x 0) n! r(h) h n > 0 co oznacza, że wyrażenie w nawiasie po prawej z prawej strony równości (1) ma stały znak dla wszystkich h z δ-sąsiedztwa zera. Jeśli n jest parzyste to znak prawej strony (1) jest taki sam jak znak f (n) (x 0). Natomiast dla n nieparzystych prawa strona zmienia znak (h n zmienia znak przy przejściu h przez zero).

12 Ekstrema funkcji Warunki dostateczne. Przykład Niech f (x) = e x 3. Wtedy f (x) = 3x 2 e x 3 = 0 x = 0. f (x) = (6x + 9x 4 )e x 3 i f (0) = 0; f (x) = (6 + 54x x 6 )e x 3 i f (0) 0. Wniosek: f nie ma ekstremum w punkcie x = 0. Uwaga: Są funkcje, które nie reagują na powyższe kryterium. Np. f (x) = exp( x 2 ), x 0 i f (0) = 0. Dla wszystkich n N mamy f (n) (0) = 0.

13 Funkcje wypukłe Definicja Mówimy, że funkcja f : A R jest wypukła, jeśli dla dowolnych x 1, x 2 A oraz λ (0, 1) f ((1 λ)x 1 + λx 2 ) (1 λ)f (x 1 ) + λf (x 2 ) Mówimy, że funkcja f jest wklęsła, jeżeli funkcja f jest wypukła. Zastępując słabe nierówności przez nierówności ostre, mówimy o ścisłej wypukłości i wklęsłości.

14 Funkcje wypukłe Definicja Mówimy, że funkcja f : A R jest wypukła, jeśli dla dowolnych x 1, x 2 A oraz λ (0, 1) f ((1 λ)x 1 + λx 2 ) (1 λ)f (x 1 ) + λf (x 2 ) Mówimy, że funkcja f jest wklęsła, jeżeli funkcja f jest wypukła. Zastępując słabe nierówności przez nierówności ostre, mówimy o ścisłej wypukłości i wklęsłości. Twierdzenie Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną. Funkcja f jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x 0 A zachodzi nierówność f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Dla ścisłej wypukłości należy dla x x 0 znak zamienić na >.

15

16 Funkcje wypukłe Interpretacja geometryczna drugiej pochodnej Twierdzenie Niech f : (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną, x 0 (a, b) oraz f jest ciągła w punkcie x 0. Jeśli f (x 0 ) 0, to f jest wypukła w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeśli f (x 0 ) 0, to f jest wklęsła w pewnym otoczeniu punktu x 0.

17 Punkty przegięcia funkcji Niech f : (a, b) R będzie funkcją ciągłą. Definicja Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem przegięcia funkcji f, jeśli funkcja w tym punkcie zmienia charakter wypukłości.

18 Punkty przegięcia funkcji Niech f : (a, b) R będzie funkcją ciągłą. Definicja Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem przegięcia funkcji f, jeśli funkcja w tym punkcie zmienia charakter wypukłości. Twierdzenie Niech f : (a, b) R będzie dwukrotnie różniczkowalna. Jeśli x 0 jest punktem przegięcia funkcji f, to f (x 0 ) = 0.

19 Punkty przegięcia funkcji Warunek dostateczny Twierdzenie Niech f : (a, b) R będzie n-krotnie różniczkowalna, n 3, x 0 (a, b). Załóżmy, że f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 i f (n) (x 0 ) 0. Jeśli n jest liczbą parzystą, to x 0 nie jest punktem przegięcia f. Jeśli n jest liczbą nieparzystą to w punkcie x 0 f ma punkt przegięcia.