Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
|
|
- Kazimierz Jakubowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x 0 i oznaczamy: f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) =. h 0 h Jeżeli funkcja posiada pochodną w punkcie x 0 to nazywamy ją różniczkowalną w tym punkcie. Uwaga Geometrycznie pochodna funkcji w punkcie daje nam tangens kąta nachylenia stycznej w tym punkcie. Przykład Jeżeli = x 2, x 0 = 1 to f (1) = 2. Przykład Funkcja = x nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 = 0 zatem funkcja ta nie posiada w punkcie x 0 = 0 stycznej. Uwaga Jeżeli w definicji pochodnej istnieją granice jednostronne to granice te nazywamy odpowiedni pochodną lewo lub prawostronną i oznaczamy f (x 0 ) oraz f +(x 0 ). Wniosek Jeżeli funkcja f : O(x 0 ) R jest różniczkowalna w punkcie x 0 to istnieją pochodne lewostronna i prawostronna oraz f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ). Uwaga Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b) to nazywamy ją różniczkowalną w przedziale (a, b) oraz funkcji przyporządkujemy w tym przedziale funkcję f Pochodne funkcji: wybranych (x). Pochodną funkcji w punkcie x 0 będziemy też oznaczać jako: f (x) x0. Przykład Jeżeli = x 2 to f (x) = 2x. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie to mówimy, że funkcja posiada w punkcie Definicja Jeżeli istnieje granica h Uwaga Z faktu, że funkcja jest ciągła ni Twierdzenie Jeżeli funkcja f : O(x0) log a x (a- a x (a-co x c
2 Uwaga W naturalny sposób możemy wprowadzić pochodne niewłaściwe jednostronne. Przykład = x Twierdzenie Niech funkcje i g(x) będą różniczkowalne na przedziale (a, b). Wtedy dla x (a, b) zachodzi 1) [k ] = k f (x) (k-stałe) 2) [ ± g(x)] = f (x) ± g (x), 3) [ g(x)] = f (x) g(x) + g (x) [ ] 4) g(x) = f (x)g(x) g (x) [g(x)] o ile g(x) 0, 2 5) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x), 6) [ () (g(x))] = () (g(x)) ( ) g (x) ln + g(x) f (x) o ile > 0, Uwaga W powyższym twierdzeniu nie dopuszczamy granic niewłaściwych gdyż generowałyby symbole nieoznaczone. Twierdzenie Niech f : O(x 0 ) R będzie ciągła i ściśle monotoniczna na O(x 0 ) oraz niech f (x 0 ) 0. Wtedy ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ) gdzie y 0 = f(x 0 ). Przykład (ln x) = 1 x. Definicja Niech f : O(x 0 ) R będzie różniczkowalna w O(x 0 ), tzn istnieje funkcja f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje granica f (x 0 + h) f (x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy drugą pochodną funkcji w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). Uwaga Druga pochodna funkcji to pochodna z pierwszej pochodnej, czyli f (x) = (f (x)). Uwaga Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Pochodną n tego rzędu (n tą pochodną) oznaczamy jako f (n) (x). Przyjmujemy, że pochodna 0 wego rzędu to f ( 0)(x) =. Zastosowania pochodnych Różniczka funkcji Definicja Różniczką funkcji różniczkowalnej w x 0 odpowiadającą przyrostowi argumentu x nazywamy wyrażenie (df)(x 0, x) = f (x 0 ) x. Uwaga Różniczkę funkcji można wykorzystać do liczenia przybliżonych wartości funkcji, mianowicie zachodzi f(x 0 + x) f(x 0 ) + (df)(x 0, x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x. Ponadto błąd przybliżenia, czyli wyrażenie f = f(x 0 + x) f(x 0 ) ma następującą własność f(x 0 ) (df)(x 0, x) = 0. x 0 x Różniczka daje najlepsze liniowe przybliżenie wartości funkcji. Przykład , 03, ln(1.05), ln(1, 2) Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 36 Created by LATEX: 20 kwietnia :32
3 Styczna i normalna Niech dana będzie funkcja różniczkowalna w punkcie x 0. Styczna do wykresu funkcji ma równanie gdzie y 0 = f(x 0 ). Równanie normalnej to y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). Wykresy dwóch funkcji i g(x) różniczkowalnych w punkcie przecięcia, przecinają się pod kątem α takim, że tg α = f (x 0 ) g (x 0 ) 1 + f (x 0 )g (x 0 ). Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt pod jakim przecinają się styczne do wykresów poprowadzone w punkcie przecięcia. Jeżeli w mianowniku powyższego wzoru uzyskujemy 0 to wykresy są prostopadłe. Tw. Rolle a i tw. Lagrange a Twierdzenie Niech f : [a, b] R będzie ciągła na [a, b] (a, b R, b > a) oraz niech będzie różniczkowalna w (a, b) i niech f(a) = f(b). Wtedy istnieje c (a, b) takie, że f (c) = 0. Twierdzenie Niech f : [a, b] R będzie ciągła na [a, b] (a, b R, b > a) oraz niech będzie różniczkowalna w (a, b). Wtedy istniej c (a, b) takie, że f f(b) f(a) (c) =. b a Reguła de l Hospitala Twierdzenie Jeżeli x x g(x) 0 (dopuszczamy x 0 [, ] oraz granice jednostronne) jest symbolem nieoznaczonym typu [ [ 0 0] lub ] (g(x) 0 dla x f S(x0 )) oraz istnieje granica (x) x x g (x) 0 istnieje x x 0 g(x) oraz Przykład sin x x 0 x x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). [ 0] 0 (sin x) cos x == H x 0 x = x 0 1 e x 1 [ 0 0] e x == x 0 2x H x 0 2 = 1 2 Uwaga Regułę de l Hospitala można stosować kilkukrotnie. x sin x [ 0 0] Przykład x 0 x == = 1 3 H 6. [ 1 1] == 1, (skończona lub nieskończona) to Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 37 Created by LATEX: 20 kwietnia :32
4 f Uwaga Jeżeli granica (x) x x g (x) 0 Przykład Wzór Tylora nie istnieje to nie można nic wnioskować o granicy x x g(x). 0 x+sin x [ ] (x+sin x) x x == 1 mimo, że 1+cos x x x = x 1 nie istnieje. Niech f : [a, b] R będzie funkcją n + 1 krotnie różniczkowalną w przedziale [a, b] (a krańcach przyjmujemy jednostronną różniczkowalność). Wtedy dla każdego x (a, b) zachodzi: = f(a) + x a f (1) (a) + 1! n (x a) k = f (k) (a) + R n (x, a) k! k=0 gdzie R n (x, a) spełnia warunek R n(x,a) x a (x a) n (x a)2 f (2) (a) ! (x a)n f (n) (a) + R n (x, a) n! = 0. Funkcja R n (x, a) nazywana jest resztą Peano we wzorze Taylora. W przypadku a = 0, wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina. Reszta w postaci Lagrange a: istnieje takie ξ [a, x] dla x > a lub ξ [x, a] dla x < a, że R n (x, a) = Przykład Obliczyć ln(1, 2) z dokładnością do Obliczyć sin 1 z dokładnością do Monotoniczność i ekstrema (x a)n+1 f (n+1) (ξ). (n + 1)! Twierdzenie Niech f : [a, b] R będzie różniczkowalna na [a, b]. Wtedy 1) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) = 0 to jest stała na [a, b], 2) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) > 0 to jest rosnąca na [a, b], 3) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) < 0 to jest malejąca na [a, b], Uwaga Jeżeli dostajemy nierówności nieostre to mówimy odpowiednio o funkcjach nierosnących i niemalejących. Definicja Funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne właściwe, gdy δ>0 f(x 0) >. x S(x 0,δ) Definicja Funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne właściwe, gdy δ>0 f(x 0) <. x S(x 0,δ) Uwaga Jeżeli w powyższych definicjach znaki nierówności staną się nieostre to dostajemy maksima i minima lokalne niewłaściwe. Uwaga Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi. Twierdzenie 2.76 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f posiada w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, oraz jest różniczkowalna w tym punkcie to f (x 0 ) = 0. Przykład Funkcja = x 3 jest różniczkowalna i f (0) = 0 ale w x 0 = 0 funkcja nie posiada ekstremum. Przykład Funkcja = x ma minimum w x 0 = 0 mimo, że f (0) nie istnieje. Definicja Mówimy, że punkt x 0 D f jest punktem krytycznym funkcji jeżeli f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje. Twierdzenie 2.80 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x) zmienia znak w punkcie x 0 to funkcja posiada w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe. Jeżeli f (x) zmienia znak z + na tzn. istnieje δ > 0 taka, że f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to w punkcie x 0 jest maksimum lokalne właściwe. Natomiast jeżeli f (x) zmienia znak z na + tzn. istnieje δ > 0 taka, że f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to w punkcie x 0 jest minimum lokalne właściwe. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 38 Created by LATEX: 20 kwietnia :32
5 Twierdzenie 2.81 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) 0 to w x 0 jest ekstremum lokalne. Dokładniej mówiąc gdy f (x 0 ) > 0 to minimum a gdy f (x 0 ) < 0 to maksimum lokalne właściwe. Twierdzenie 2.82 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest n krotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) = 0,..., f (n 1) (x) = 0 oraz f ( n)(x 0 ) 0 to w x 0 jest ekstremum lokalne. Dokładniej mówiąc gdy n jest parzyste i f (n) (x 0 ) > 0 to minimum a gdy f (n) (x 0 ) < 0 to maksimum lokalne właściwe a gdy n jest nieparzyste i f (n) (x 0 ) > 0 to maksimum a gdy f (n) (x 0 ) < 0 to minimum lokalne właściwe Uwaga Jeżeli funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie x 0 to x 0 jest punktem krytycznym funkcji. Aby znaleźć ekstrema lokalne funkcji należy wyznaczyć jej dziedzinę, znaleźć wszystkie punkty krytyczne a następnie w punktach krytycznych w których funkcja jest różniczkowalna sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremów a w punktach krytycznych w których funkcja nie jest różniczkowalna sprawdzić definicję ekstremum lokalnego. Przykład Zbadać istnienie ekstremów lokalnych dla funkcji = 3 x 2 x. Definicja Funkcja f : D f R ma w punkcie x 0 minimum globalne właściwe, gdy x D f f(x 0 ) <. Definicja Funkcja f : D f R ma w punkcie x 0 maksimum globalne właściwe, gdy x D f f(x 0 ) >. Uwaga Jeżeli w powyższych definicjach znaki nierówności staną się nieostre to dostajemy maksima i minima globalne niewłaściwe. Uwaga Minima i maksima globalne są zbiorczo nazywane ekstremami globalne. Uwaga Aby wyznaczyć ekstrema globalne należy wyznaczyć ekstrema lokalne, wartości funkcji na krańcach dziedziny a następnie wybrać największą i najmniejszą z tych wartości. Przykład Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji = x 3 + 2x 2 4x + 12 dla x [ 3, 1]. Wypukłość i punkty przegięcia Definicja Funkcę f : [a, b] R nazywamy ściśle wypukłą (czasem mówimy ściśle wypukłą w dół) gdy ( ) x1 + x 2 f < f(x 1) + f(x 2 ). x 1,x 2 [a,b] 2 2 x 1 x 2 Definicja Funkcę f : [a, b] R nazywamy ściśle wklęsłą (czasem mówimy ściśle wypukłą w górę) gdy ( ) x1 + x 2 f > f(x 1) + f(x 2 ). x 1,x 2 [a,b] 2 2 x 1 x 2 Uwaga Jeżeli w powyższych definicjach mamy nierówności słabe to dostajemy pojęcia wypukłości i wklęsłości słabych. Twierdzenie Niech f : [a, b] R będzie dwukrotnie różniczkowalna na [a, b]. Wtedy 1) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) = 0 to jest liniowa na [a, b], 2) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) > 0 to jest wypukła na [a, b], 3) Jeżeli dla dowolnego x [a, b] zachodzi f (x) < 0 to jest wklęsła na [a, b], Definicja Funkcja f : [a, b] R, ciągła w punkcie x 0 (a, b) ma w punkcie x 0 punkt przegięcia gdy funkcja jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x 0 oraz jest wklęsła w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x 0 lub odwrotnie. Inaczej mówiąc punkt przegięcia to punkt zmiany wypukłości. Twierdzenie 2.96 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f posiada w punkcie x 0 punkt przegięcia, oraz jest dwukrotnie różniczkowalna w tym punkcie to f (x 0 ) = 0. Uwaga Funkcja może mieć punkt przegięcia w punkcie w którym druga pochodna nie istnieje. Przykładem może być funkcja = x x. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 39 Created by LATEX: 20 kwietnia :32
6 Twierdzenie 2.98 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x) zmienia znak w punkcie x 0 to funkcja posiada w punkcie x 0 punkt przegięcia. Twierdzenie 2.99 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f : [a, b] R jest trzykrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz istnieje punkt x 0 taki, że f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) 0 to w x 0 jest punkt przegięcia. Przykład Funkcja = x 4 jest różniczkowalna i f (0) = 0 ale w x 0 = 0 funkcja nie posiada punktu przegięcia. Przebieg zmienności funkcji Elementy składające się na przebieg zmienności funkcji: 1) Dziedzina funkcji, 2) Punkty przecięcia z osiami, 3) Parzystość, nieparzystość, okresowość, 4) Asymptoty i granice na krańcach dziedziny, 5) Ciągłość, 6) Monotoniczność i ekstrema (pochodna funkcji i dziedzina pochodnej) 7) Wypukłość i punkty przegięcia (druga pochodna funkcji i dziedzina drugiej pochodnej) 8) Tabela przebiegu zmienności, 9) Wykres. Przykład Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji 1) = 3 x2 2 x, 2) = 3 x 2 x. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 40 Created by LATEX: 20 kwietnia :32
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO KOGNITYWISTYKA UAM, 016 017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Dzisiejszy wykład
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoTekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie 1. Styczne do krzywej: (a) y = sin x x 0 = π/6 (b) y = x 3 2x 2 + x 1 x 0 = 1 Tą styczną to już gdzieś objaśniałem. Jest to prosta o równaniu
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Analiza Matematyczna Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Analiza Matematyczna. Pochodne wyższych Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk 23 kwietnia
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowo1 Pochodne pierwszego rzędu
Pocodne pierwszego rzędu. Podstawowe definicje Def. Niec funkcja f będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt a. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a dla przyrostu nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo