Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Transkrypt

1 Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania II Funkcje trygonometryczne 5 Zadania III Ciągi 6 Zadania IV Granice funkcji, ciągłość 7 Zadania V Rachunek różniczkowy 9 Zadania VI Całki nieoznaczone Zadania VII Całki oznaczone 3 Zadania

2 VIII Powtórzenie 5 Zadania IX Pierwsze kolokwium Zestaw A Zestaw B Zestaw C Zestaw D Zestaw E Zestaw F Zestaw G Zestaw H X Drugie kolokwium 6 Zestaw A Zestaw B Zestaw C Zestaw D XI Egzamin 8 Zestaw A Zestaw B Zestaw C Zestaw D

3 Zestaw E Zestaw F Zestaw G Zestaw H XII Zadania trudniejsze 38 Zadania Warto także korzystać ze zbioru zadań, ułożonego przez pp. dra M. Gewerta i doc. Z. Skoczylasa, umieszczonego na stronie http: // prac. im. pwr. edu. pl/ ~gewert/ WYNIKI/ lz_ am_ 04_ 5. pdf Na stronach Katedry Matematyki Politechniki Wrocławskiej http: // im. pwr. edu. pl/ OnLineTools. php znajdują się wskazówki do korzystania z pożytecznych narzędzi do obliczeń matematycznych, aby np. weryfikować wyniki. Część I Elementy logiki, zbiory, funkcje Zadania.. Określ jako zdanie, funkcję inaczej: formę, formułę) zdaniową na podanym zbiorze X lub jako żadne z powyższych dwóch wyrażenie: a) tydzień ma siedem dni, b) tydzień ma osiem dni, c) 3 < 0, d) >, X = 0, ), x e) >, X = R. x Zdania określ jako prawdziwe lub fałszywe oraz podaj ich wartości logiczne... Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie a) p q) p q), 3

4 b) [p q r)] [p q) p r)], c) [p q) r] [p r) q]. Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki..3. Niech oznacza spójnik Pierce a, tzn. p q = p q). Za pomocą spójnika Pierce a jedyny, obok kreski Shefera por. Powtórzenie spójnik dwuargumentowy o tej własności) wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację..4. Zbadaj prawdziwość zdania: [ xy 0) x < 0 )], a) x R y R [ y = ) x < 0 )]. b) x R y R.5. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a) [A B) \ C] [A C) \ B] oraz A B C), b) A \ B) A \ C) oraz A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna... a) Zdanie prawdziwe o wartości logicznej, b) zdanie fałszywe o wartości logicznej 0, c) zdanie prawdziwe o wartości logicznej, d) funkcja zdaniowa, e) ani zdanie, ani funkcja zdaniowa... a) nie, b) tak, c) tak, d) tak..3. Np. p = p p, p q = p p) q q), p q = p q) p q)..4. a) zdanie prawdziwe, b) zdanie fałszywe..5. L lewa strona, P prawa strona, 4

5 a) L P, b) L P =. Część II Funkcje trygonometryczne Zadania.. Niech x oznacza miarę łukową kąta. Naszkicuj na płaszczyźnie okrąg o środku w 0, 0) i promieniu, a następnie kąt x. a) Wyjaśnij znaczenie liczby x. b) Zaznacz na osiach współrzędnych sin x, cos x, tg x, ctg x o ile dwie ostatnie wartości istnieją). c) Załóżmy, że x 0, π ). Udowodnij, że sin x < x < tg x... Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a) fx) = ctg x sin x, b) fx) = ctg x + tg ) x π, ) 5 c) fx) = cos π + arc sin x, d) fx) = tg arc cos x... a) Jest to długość łuku okręgu, odpowiadającego kątowi. b) Dla zaznaczenia sin x, cos x wykorzystaj trójkąt prostokątny o jednostkowej długości ) przeciwprostokątnej. Dla zaznaczenia tg x, ctg x wykorzystaj trójkąty prostokątne o jednostkowych przyprostokątnych. c) Porównaj pola wycinka koła i odpowiednich trójkątów... a) Dziedzina { D f = R \ {kπ : k Z}, cos x dla x kπ, k + )π), fx) = cos x dla x k + )π, k + )π), zbiór wartości W f =, ), { ctg x dla x kπ, π b) D f = R \ {kπ : k Z}, fx) = + kπ), 0 dla x [ π + kπ, kπ), W f = [0, ), c) D f = [, ], fx) = x, W f = [, ], 5

6 x dla x [, 0), d) D f = [, 0) 0, ], fx) = x dla x 0, ], W f = R. Część III Ciągi Zadania 3.. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach a) a n = 7 + arc tg arc tg n + arc tg n, n b) f n = k!, k=0 gdzie n N. 3.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a) a n = n 3 n 5 n + 7 n, b) a n = n + n + + n + n n + n n + n Rozważmy symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a), b) 0, c) 0 0, d). Dla dowolnego λ [, ] podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granic niewłaściwych) do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłaściwej Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n ) n+3 n a) a n =, n n ) n 3 + n + b) a n = n. + n + 5 6

7 3.. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. 3.. a) 7, b) Np. lim n + λ) n) = λ R, lim n n ) =, n ) n n n =, lim n + n )n ) n) nie istnieje. lim n 3.4. a) e, b) e. Część IV Granice funkcji, ciągłość Zadania 4.. Wyznacz granicę funkcji lim x x 0 fx), jeśli a) fx) = sin x x π, x 0 = π, b) fx) = 3 sin x) x π, x 0 = π, c) fx) = d) fx) = x 3 e) fx) = + sin x ) x, x0 = 0, x3 + x 3 ), x 0 =, tg7x) 6 + 4x 4, x 0 = 0. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. 4.. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji x + )3 a) fx) = x + 6x + 8, b) fx) = 4x + arc sin 5 x, c) fx) = 3x + ln x x +, x 4 d) fx) = x + arc tg x, x e) fx) = cos x x ). x + π 7

8 4.3. Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji fx) = x + π cos x Naszkicuj wykres funkcji f : R R, spełniającej warunki: lim fx) = lim fx) =, lim fx) =, lim fx) =, x x x x + f ) = f). Czy może być ona ciągła w całej swojej dziedzinie? 4.5. Wyznacz zbiór punktów ciągłości funkcji fx) = x sin πx, gdzie symbol m oznacza część całkowitą, a m jest liczbą całkowitą, różną od Dla jakich wartości parametru a R w podpunkcie a) i parametrów a, b R w pozostałych podpunktach, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli { a a) fx) = x x ) dla x 0, ln dla x = 0, ln 4x) x dla x < 0, b) fx) = a + dla x = 0, tgbx) x dla x S + 0), gdzie S + 0) oznacza pewne sąsiedztwo prawostronne punktu x 0 = 0, c) fx) = sinbx) x dla x < 0, dla x = 0, a + ) lnx + e) dla x > Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja sinx) x dla x < 0, fx) = ax + b dla 0 x 5, cos ) jest ciągła na R? πx 3 dla 5 < x 4.8. Wyznacz granicę ciągu lim n lnn + ) ln n). n 4.9. Udowodnij, że równanie arctgx + x 3 = ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0, ) Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x 5 + x 3 + x = a) π, b) e 3, c) e, d), e) 4. 8

9 4.. a) x = 4 asymptota pionowa obustronna, y = x asymptota ukośna w i w, b) y = 4x asymptota ukośna w i w, c) x = asymptota pionowa lewostronna, x = asymptota pionowa prawostronna, y = 3x asymptota ukośna w i w, d) y = x + π asymptota ukośna w, y = x π asymptota ukośna w, e) x = 0 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota ukośna pozioma) w i w x = π + kπ, k Z \ {0} Nie może być ciągła w punkcje x 0 = Funkcja fx) jest ciągła na zbiorze R \ Z) {km : k Z} a) a =, b) a =, b = 0, c) a = 0, b = a = 3 0, b = Wykorzystaj własność Darboux na przedziale [0, ]. Dla uzasadnienia jednoznaczności zauważ monotoniczność występującej funkcji Jedno rozwiązanie, x Część V Rachunek różniczkowy Zadania 5.. Oblicz pochodną f x 0 ), jeśli a) fx) = x sin π x), x 0 =, b) fx) = sin x x + π, x 0 = π. 5.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli a) fx) = 5 + x + 0, 5)lnx + 0, 5), x 0 = 0, 5, b) fx) = x + e) lnx+), x 0 = 0. 9

10 5.3. Za pomocą różniczki zupełnej wyznacz przybliżoną wartość funkcji fx) = e + x) sin x w punkcie x = 0, Napisz równanie takiej stycznej do wykresu funkcji fx) = 3 x3 x + 3, która jest prostopadła do prostej y = x Wyznacz kąt, pod którym przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wykresy funkcji fx) = x i gx) = x + x Wykaż, że funkcja fx) ma dokładnie jedno mejsce zerowe w przedziale I, jeśli a) fx) = tg x 3x +, I = 0, π ), 4 b) fx) = x arc tg x, I =, ) Udowodnij, że dla x > zachodzi nierówność ln x < x Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji a) fx) = x + x + ) e x, b) fx) = xe x Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a) fx) = x 64 x, b) fx) = x sin x cos x Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) na przedziale I, jeśli [ ] 3 a) fx) = x 3 9x + x 4, I = 4,3. [ b) fx) = x 3 3x, I = 3, 3 ]. 5.. Za pomocą wzoru Taylora obliczyć sin 0, z dokładnością do Wyznacz wzór wielomianu, według którego [ można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji cos x w przedziale π 4, π ] z dokładnością do Wyznacz granicę lim x x 0 fx), jeśli a) fx) = lnx) tg x, x 0 = 0 +, ln + x) x b) fx) = x, x 0 = 0. 0

11 5.. a), b). 5.. a) y = x + 9, b) y = x f0, ), y = x π Do uzasadnienia istnienia miejsca zerowego można wykorzystać własność Darboux na przedziale I domknięcie przedziału I, czyli w tym przypadku przedział wraz z końcami) w podpunktach a) i b), a w podpunkcie c) na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Jedyność miejsca zerowego można uzasadnić za pomocą ścisłej monotoniczności każdej z funkcji, wykazanej za pomocą pochodnej Obie strony nierówności są funkcjami są ciągłymi na [, ). Porównaj pochodne tych funkcji na przedziale, ) i wartości w punkcie lub równoważnie, rozważ różnicę tych funkcji, jej pochodną na, ) i wartość w a) Funkcja fx) maleje na przedziałach, 0], [, ), rośnie na przedziale [0, ] i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = 0), 3 e maksimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ), b) fx) maleje na przedziałach [, 0), 0, ], rośnie na przedziałach, ], [, ) i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: e minimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ), e maksimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ) a) Funkcja fx) jest ściśle wypukła na przedziałach, 0), [4, ), ściśle wklęsła na przedziale 0, 4], a punktem przegięcia wykresu funkcji jest 4, 0), b) fx) jest ściśle wypukła na przedziale [ π, π], przedziałach postaci [kπ, k + )π] i przedziałach postaci [ k + )π, kπ], gdzie k N + = {,, 3,...}, fx) jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [k )π, kπ] i przedziałach postaci [ kπ, k )π, ], gdzie k N +, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci kπ, ) dla k Z \ {0} oraz k + )π, ) dla k Z a) Największą wartością jest 5, a najmniejszą 0, b) największą wartością jest, a najmniejszą 3.

12 5.. sin 0, 0, 0,3 3! + 0,5 5!. 5.. cos x x! + x4 4! x6 6! + x8 8! x0 0! a) 0, b). Część VI Całki nieoznaczone Zadania 6.. Oblicz fx) dx, jeśli a) fx) = x cos x, b) fx) = x x x + x. c) fx) = x cos4x). 6.. Oblicz całkę fx) dx z funkcji wymiernej a) fx) = 4x + 8x + 5, b) fx) = x + 3x + x 3 + x + x Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej a) fx) = 3 sin x sin x), b) fx) = c) fx) = 7tg x sin x, ctg x cos x. 6.. a) x tg x + ln cos x + C, b) ln ln x + x ) + C. 6.. a) arc tgx + ) + C, b) ln x + arc tgx + ) + C,

13 c) ln x x + ln x + x + ) arc tgx + ) + C a) ln 3 3sin + C, b) ln 7 7tg x + C, c) ln ctg x + C. Część VII Całki oznaczone Zadania 7.. Niech symbol oznacza część całkowitą. Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b a) fx) = x, a = 0, b = 9, b) fx) = x, a =, b =, c) fx) = x, a =, b =. a fx) dx, jeśli: 7.. Za pomocą całki oznaczonej oblicz lim n n tg π ) π 3π n )π + tg + tg tg. 4n 4n 4n 4n Uwaga: nie ma pomyłki w zapisie ostatniego składnika. { x dla x 0, 7.3. Wyznacz funkcje H pierwotne na R do funkcji hx) = cos x dla 0 < x Udowodnij, że πe 7.5. Oblicz 0 0 4x x x + 3 dx. π ) ) e x π cos 3 x + 4 arc tg x dx 3πe Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: ) x a) y = oraz y = ln x, e b) oś OX, y = x ln x, x = e, c) y = lnx), y = 0, x =, d) y = x, y = ln x, y = 0, 3

14 e) y = cos x, y = x π 4, f) y = x sin x dla x [ 0, π 3 ], oś OX, x = π Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji a) fx) = tg x dla x [ π 4, ] π 3, b) fx) = ctg [ ] π x) dla x,, c) fx) = 3 [ x cosx) dla x 0, π ] Wyznacz długość wykresu funkcji: [ a) fx) = x ) 3, ograniczonej do przedziału, 7 ], 3 b) fx) = ) 3 3 x, ograniczonej do przedziału [,3]. 7.. a) 3, b) 5 ln ln 3, 7.. π ln. c) Hx) = { x x + C dla x 0, sin x + C dla 0 < x Wskazówka: oszacuj największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale arc tg a) 4 e 3, b) e + 4, c) ln, d) e 5 3, e) + π3 6, f) π 36 3π a) 3 π ) π, b) π, 4

15 c) π30,5π ln 3) +ln 3) a) 56 7, b) Część VIII Powtórzenie Zadania P.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [ p q r) ] [ p q) p r) ], gdzie symbol oznacza albo alternatywę wykluczającą koniunkcję). Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki. P.. Niech oznacza kreskę Shefera, tzn. p q = p q). Za pomocą kreski Shefera wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację. P.3. Zbadaj prawdziwość zdania: a) x R b) x R y R y R [x + y > 0) x + y < 0)], [xy = 0) xy = )]. P.4. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a) A B) A C) oraz A B) A C), gdzie różnica symetryczną jest określona wzorem X Y = X \ Y ) Y \ X), b) [A \ B C)] oraz [A \ B C)] A B C). Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna. P.5. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a) fx) = tg x + tg x, b) fx) = tg x + π ) sin x, 5

16 π ) c) fx) = ctg + arc tg x, d) fx) = ctg arc sin x. P.6. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a) a n = n 00n + sin n 3 n + 0 n, b) a n = n n n n n n n 3 + n. P.7. Rozważmy symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a), b) 0 0, c) 0. Dla dowolnego λ [0, ] w a), λ [0, ] w b) oraz λ [, ] w c), podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granicy niewłaściwej) do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłasciwej. P.8. Wyznacz granicę funkcji lim x x 0 fx), jeśli a) fx) = lnx ) x 4, x 0 =, b) fx) = + sin x) x, x 0 = 0, c) fx) = x 3 x ) x 3, x 0 =, d) fx) = cos x x lnx + ), x 0 = 0, e) fx) = ln + sin5x)) ln + sin x), x 0 = 0. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. P.9. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f : D R, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R, jeśli a) fx) = x + arc tg3x), b) fx) = 5x + arc tg 7 x, c) fx) = cos x + ln + x x, 6

17 d) fx) = x3 + sin x x π). P.0. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli e ax x dla x < 0, a) fx) = b dla x = 0, sinx) x dla x > 0, b) fx) = c) fx) = a x ln x ) dla x < 0, dla x = 0, sinbx) 4x dla x > 0, ax ln 4x) dla x < 0, b dla x = 0, dla x > 0? sinx) arc tg8x) P.. Udowodnij, że równanie π ) a) ln x = sin 4 x, π ) b) = sin x 3 x, ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0, ). P.. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x 3 x = 4. P.3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli a) fx) = x + ) e x + x, x 0 = 0, b) fx) = + ) ln x, x0 =. x P.4. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji fx) = x + 3) x ). P.5. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a) fx) = e sin x, b) fx) = e arc tg x. P.6. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) = 8 ln x x na przedziale I = [, 3]. P.7. Wyznacz granicę lim x x 0 fx), jeśli 7

18 ln sin x a) fx) = ln sin 3x), x 0 = π, b) fx) = tg x x x 3, x 0 = 0. P.8. Oblicz fx) dx, jeśli a) fx) = x e 4x, b) fx) = 3 x cos x. P.9. Oblicz całkę fx) dx z funkcji wymiernej fx) = x3 + 3x + 4x + x 4 + x 3 + x. P.0. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej a) fx) = cos x sin x + 9, sin x b) fx) = cos xcos x + ). P.. Niech symbol oznacza część całkowitą. Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b a) fx) = x x, a = 0, b = 4, b) fx) = e x, a = 0, b = ln. a fx) dx, jeśli: P.. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: a) y x = 0, 3y x = 0, b) 5x + 4y = 0, x + y = 0, c) y = e x, y = x, x =, d) x =, y = x, xy = 8, 8 e) y = x ln, y = ln + x). P.3. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji a) fx) = [ x cos x dla x 0, π ], b) fx) = e x+, dla x [0,], c) y = lne + x) dla x [0, e]. 8

19 P.. Tautologia. P.. Np. p = p p, p q = p p) q q). P.3. a) Zdanie prawdziwe, b) zdanie fałszywe. P.4. L lewa strona, P prawa strona, a) L P =, b) L = P. P.5. a) Dziedzina D f { = R \ { π + kπ : k Z}, 0 dla x π wzór fx) = + kπ, kπ), tg x dla x [kπ, π + kπ), zbiór wartości W f = [0, ), { cos x dla x kπ, π b) D f = R \ {kπ : k Z}, fx) = + kπ), cos x dla x [ π + kπ, kπ), W f =, ), c) D f = [, ], fx) = x, W f = [, ], d) D f = [, 0) 0, ], fx) = W f = R. x dla x [, 0), x dla x 0, ], P.6. a) 0, b). P.7. Np. lim lim n n P.8. a) 4, b) e, c) 3, d), e) 5. ) + ln λ n n = λ 0, ), lim + n) n ) =. n n) n ) = 0, P.9. a) y = x+ π asymptota ukośna w, y = x π asymptota ukośna w, b) y = 5x asymptota ukośna w i w, c) x = asymptota pionowa prawostronna, x = asymptota pionowa lewostronna, 9

20 d) x = π asymptota pionowa, y = x + π asymptota ukośna w i w. P.0. a) a = b =, b) a =, b = 8, c) a = ln, b = 4. P.. Dla różnicy funkcji wykorzystaj własność Darboux na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Dla uzasadnienia jednoznaczności wykaż ścisłą monotoniczność różnicy funkcji na przedziale 0, ).. P.. Jedno rozwiązanie, x P.3. a) y = x +, b) y = x ln ln 3. P.4. fx) maleje na przedziałach, 3], [, ], rośnie na przedziałach [ 3, ], [, ), przyjmuje ekstrema lokalne: 0 dwukrotnie jako minimum lokalne właściwe w punktach x 0 = 3 i x 0 = ), 6 maksimum lokalne właściwe w punkcie x 0 = ). P.5. a) fx) jest ściśle wypukła na przedziałach postaci [ 3 4 π + kπ, 4 π + k + )π] dla k Z, fx) jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [ 4 π + kπ, 3 4 π + kπ] dla k Z, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci 4 π + kπ, e) oraz 3 4π + kπ, e) dla k Z, b) fx) jest ściśle wypukła na przedziale, ], ściśle wklęsła na przedziale [, ), a wykres ma jeden punkt przegięcia:, e π ). P.6. Największą wartością jest 8 ln 4, a najmniejszą. P.7. a), b) 3. P.8. a) 4 x e 4x 8 xe4x + 3 e4x + C, b) 3 x 4+ln 3 [ 3 P.9. 4 x sin4x) + 6 cos4x) + C. P.0. sinx) + ln 3 4 cosx)] + 3x ln 3 + C. a) sin x 3 arc tg 3 + C, b) ln cos x + ln cos x + ) + C. P.. a) 5, b) 5 ln ln 3. P.. a) 6, 0

21 b) 5, c) e ln, d) 8 ln 7 3, e) 5 3 ln. P.3. a) π3 6 π 4, b) πe6 ) 4, c) πe ln. Część IX Pierwsze kolokwium Zestaw A -A.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [p q r)] p q). -A.. Wyznacz granicę lim a n 7 n ciągu o wyrazach a n = n + 9 n n n 3 n n. -A.3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x arc sin x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. -A.4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli fx) = dla x = 0, sinbx) x dla x < 0, a + ) lnx + e) dla x > 0. -A.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i r oraz fałszywości q. -A.. 3. Po wyłączeniu przed pierwiastek 9/3 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). -A.3. Dziedziną naturalną jest zbiór, ] [, ). Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = x jest asymptotą ukośną w oraz w. -A.4. b =, a = 0.

22 Zestaw B -B.. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [A B) \ C] A C) oraz A B C). Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna. -B.. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n n + arc tg n + arc tg n + arc tg n a n = n + n n. -B.3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + ln x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. Uwaga: można wykorzystać wzór lim x ln x x = 0. -B.4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli arc tgbx) x dla x < 0, fx) = dla x = 0, a + ) sin ) x + 3π dla x > 0. -B.. Zbiory są równe. -B... Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. -B.3. Dziedziną naturalną jest przedział 0, ). Prosta o równaniu x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną. Nie ma asymptot ukośnych. -B.4. b =, a =. Zestaw C -C.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = x sin 3π ) tg x. -C.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n arc tgn n ) sin n. -C.3. Wyznacz granicę funkcji lim fx), jeśli fx) = cos x x x 0 x 3π oraz x 0 = 3π. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. -C.4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x x = 0.

23 -C.. Dziedzina D = R \ π, π ), k Z. -C... -C.3.. -C.4. Jedno rozwiązanie, x { π + kπ : k Z }, fx) = fx + kπ) = sin x dla x Zestaw D -D.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = ctg x + ) tg x + π. -D.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n sin n + + n sin n n sin n n + n. -D.3. Wyznacz granicę funkcji lim fx), jeśli fx) = ctg x x x 0 x 5π oraz x 0 = 5π. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. -D.4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x arc tgx ) = 0. -D.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) ctg x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, 0 dla x kπ + π, k + )π), k Z. -D... -D.3.. -D.4. Jedno rozwiązanie, x Zestaw E -E.. Używając symboli negacji i alternatywy oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -E.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = tg x π ) sin x. 3

24 -E.3. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n n + sin n -E.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + arc tg x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D x + R. -E.. p q = [ p) q)]. -E.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) cos x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, cos x dla x kπ + π, k + )π), k Z. -E.3.. -E.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = x. Zestaw F -F.. Używając symboli negacji i koniunkcji oraz nawiasów wyraź równoważność. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -F.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres π ) funkcji fx) = ctg arc tg x. -F.3. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n n n n n n 3 + n. -F.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. + ln + x 4 x, -F.. p q = { [p q)] [ p) q]}. -F.. Dziedzina D = R, fx) = x. -F.3.. -F.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x = 0, asymptota pionowa prawostronna o równaniu x =, asymptota pionowa lewostronna o równaniu x =. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D =, 0) 0, ). 4

25 Zestaw G -G.. Używając symbli negacji i alternatywy, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -G.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = x tg + 7π ) sin x. -G.3. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach a n = ln + ) n nn + n n -G.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x arc ctg x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D x R. -G.. p q = [ p) q)]. -G.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) cos x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, cos x dla x kπ + π, k + )π), k Z. -G.3.. -G.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = x +. Zestaw H -H.. Używając symboli negacji i koniunkcji, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź alternatywę. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. -H.. Wyznacz dziedzinę naturalną D) R, uprość wzór i naszkicuj wykres 3π funkcji fx) = tg + arc ctg x. -H.3. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n a n = n + n 3 + n + n n + n n 3 n. -H.4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. + ln + x 9 x, 5

26 -H.. p q = [ p) q)]. -H.. Dziedzina D = R, fx) = x. -H.3.. -H.4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptota pionowa prawostronna o równaniu x = 3, asymptota pionowa lewostronna o równaniu x = 3. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D = 3, ), 3). Część X Drugie kolokwium Zestaw A -A.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = lnx + cos x), x 0 = 0. -A.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x+) x+). -A.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y x = 0, 3y x = 0. -A.4. Oblicz e x cos x dx. -A.. y = x. [ -A.. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach, 3 ściśle malejąca na przedziałach, ], ], [, ), f jest [ 3, ] ; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. -A.3. Punkty przecięcia wykresów to, ), 4, ), pole to np. P = y )dy = 6. 3y -A.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na sin x + cos x jedą stronę, I = e x + C.. 6

27 Zestaw B -B.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = sin π + ln x), x 0 =. -B.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji fx) = x 64 x. -B.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + 4y = 0, x + y = 0, -B.4. Oblicz x e 4x dx -B.. y = x. -B.., 0), [4, ); drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. -B.3. Punkty przecięcia wykresów to 0, 0), 5, 5 ), pole to np. P = ) 5 y + y dy = 5. -B.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = 4 x e 4x 8 xe4x + 3 e4x +C. Zestaw C -C.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = lnx + sin x), x 0 = π. -C.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x x + ). -C.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach x y = 0, 3x y = 0. -C.4. Oblicz e x sin x dx. x π ) + ln -C.. y = π + π + ). -C.. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach [, ], [0, ), f jest ściśle malejąca na przedziałach, ], [, 0]; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 7

28 -C.3. Punkty przecięcia wykresów to, ),, 4), pole to np. P = 3x x )dx = 6. -C.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na sin x cos x jedą stronę, I = e x + C. Zestaw D -D.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0, jeśli fx) = cos π + ln x), x 0 =. -D.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji fx) = 9x 64 3x. -D.3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5y + 4x = 0, y + x = 0, -D.4. Oblicz x e x dx -D.. y =. -D.., 0), [ 4 3, ) ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. ) 5 -D.3. Punkty przecięcia wykresów to 0, 0),, 5, pole to np. P = ) 5 x + x dx = 5. -D.4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = x e x xex + 4 ex + C. Część XI Egzamin Zestaw A e-a.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [p q r)] p r). 8

29 e-a.. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji fx) = x + arc sin 5 x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. e-a.3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0 = 0, jeśli fx) = ln + sin x). e-a.4. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x ) x + 5). e-a.5. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y x = 0, 3y x = 0. e-a.6. Oblicz e x cos x dx. e-a.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i q oraz fałszywości r. e-a.. Dziedziną naturalną jest D =, 5] [5, ). Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = x jest asymptotą ukośną w oraz w. e-a.3. y = x. e-a.4. f x) = 4x )x + 5)x + ), f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 5, ], [, ) lub przedziały otwarte), f jest ściśle malejąca na przedziałach, 5], [, ] lub przedziały otwarte); suma, np. [ 5, ] [, ), to błąd. ) e-a.5. Punkty przecięcia to,,, ), pole to np. P = 3y y ) dy = =. e-a.6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = sin x + cos x e x + C. 5 9

30 Zestaw B e-b.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji π ) fx) = sin x tg x. e-b.. Wyznacz dwa pierwsze wyrazy ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + 3 arc cos n + n + 3 arc cos n n + 3 arc cos n n. e-b.3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 x = x, e-b.4. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji fx) = 9x 64 3x. e-b.5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji fx) = e 5x dla x [0,]. e-b.6. Oblicz x + ) e x dx. e-b.. Dziedzina D = R \ dla x π, π { π + kπ : k Z }, fx) = sin x ), funkcja jest okresowa o okresie π. e-b.. a =, a = π 3 = + π 4 4, lim a n =. n Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. e-b.3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji fx) = 3 x x, ) przynajmniej jedno z własności Darboux: f0) > 0, f) < 0, f < 0. Odpowiedź: x 0 4. e-b.4. f x) = 8x x, f x) = 7x3 64 3x 3, przedziałami ścisłej wypukłości [ ) 4 są, 0), 3, ten drugi przedział może być otwarty). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 30

31 e-b.5. V = π e 0 ) 0. e-b.6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = x+) e x x+)ex + 4 ex + C. Zestaw C e-c.. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [A C) \ B] A B), A B C). Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna. e-c.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach n 3 n + 5 n ) n a n =. 7 n + 0 n e-c.3. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli fx) = 5 dla x = 0, a arc tgx) x dla x < 0, b + ) sin ) x + 7π dla x > 0. e-c.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) = ln x x na przedziale I = [, e]. e-c.5. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + y = 0, 5x + y = 0. e-c.6. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = cos x sin x + ). e-c.. Zbiory są równe. e-c... Po wyłączeniu przed pierwiastek 5/0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). e-c.3. a = 5, b = 7. e-c.4. f x) = x = x, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = x {f), f), fe)} = {, ln, e}. Łatwo f) < fe). Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od x = ) maleje, zatem m =, M = ln. 3

32 e-c.5. Punkty przecięcia to 5 ),, 0, 0), pole to np. P = 0 5 y + 5 ) y dy = ) = 5. e-c.6. Podstawienie t = sin x, zatem I = t + ) dt = 5 sin5 x 3 sin3 x sin x + C. Zestaw D e-d.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = ctg x + ) tg x + π. e-d.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli a n = n + arc tg n + n + n + arc tg n + n n + arc tg n n + n. ) e-d.3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg 3 x = ln + e )x). ln cos4x) e-d.4. Wyznacz granicę lim fx), jeśli fx) = x x 0 x, x 0 = 0. e-d.5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji y = ln x dla x [, e]. e-d.6. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = sin x cos x + 5. e-d.. Dziedzina { D = R \ {kπ : k Z}, ) ctg x dla x kπ, kπ + π fx) =, k Z, 0 dla x [ kπ + π, k + )π), k Z. e-d.. a = 4 + π, lim 8 a n =, można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. n 3

33 e-d.3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji fx) = ) arc tg 3 x + ln + e )x), przynajmniej jedno z własności Darboux: f0) = < 0, f) = π 3 > 0. Odpowiedź: x 0. e-d.4. Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0, otrzymujemy po 0 pierwszym kroku l x) 4 sin4x) m = x) x cos4x) = e e-d.5. V = π 0 8 cos4x) sin4x) 8. 4x ln x dx = π [x ln x x] e x= = π.. e-d.6. Podstawienie t = 5 + cos x, zatem dt I = dt = ln 5 + cos x + C. t + 5 Zestaw E e-e.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią) wyrażenie [p q r)] p r). e-e.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie o odciętej x 0 = 0, jeśli fx) = ln + arc tg x). e-e.3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji fx) = x x + 4). e-e.4. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y 4x = 0, 3y 4x = 0. e-e.5. Oblicz e x sin x dx. e-e.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = sin x w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. 33

34 e-e.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy fałszywości zdań p i r zdanie q dowolne). e-e.. f0) = 0, f x) = + x ) + arc tg x), f 0) =, y = x. e-e.3. f x) = 4xx+4)x+), f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 4, ], [0, ) lub przedziały otwarte), f jest ściśle malejąca na przedziałach, 4], [, 0] lub przedziały otwarte); suma, np. [ 4, ] [0, ), to błąd. ) e-e.4. Punkty przecięcia to 4,,, ), pole to np. P = e-e.5. np. I = 3y 4 y 4 ) dy = = 4. e x sin xdx = e x cos x e x cos xdx = e x cos x e x sin x I, skąd I = cos x + sin x e x + C. e-e.6. R k+ x) = )k cos c k + )! xk+ stąd wystarczy k =, zatem sin x x x3 6. Zestaw F e-f.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji π ) fx) = cos + x ctg x. e-f.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli n arc tg n arc tg n arc tg n a n = n + n n. e-f.3. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji fx) = 9x 8 3x. e-f.4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji fx) = x dla x [0,]. 34

35 e-f.5. Oblicz x + 3) sin x dx. e-f.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = ln + x) w przedziale [0, ] z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. e-f.. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, fx) = cos x dla x 0, π), funkcja jest okresowa o okresie π. e-f.. a = π 4, n π n a n, lim n a n =. e-f.3. f x) = 8x + 8 3x, f x) = 7x3 8 3x 3, przedziałami ścisłej wypukłości [ ) są, 0), 3, ten drugi przedział może być otwarty). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. e-f.4. V = π e-f x dx = 3π ln. x+3) sin xdx = x+3) cos x+ x + 3) sin x + cos x + C. x+3) cos xdx = x+3) cos x+ e-f.6. R n x) = )n x n x stąd wystarczy n = 3, zatem ln + x) x n + c) n. Zestaw G e-g.. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [B C) \ A] B A), B A C). Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna. e-g.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n 3 n + 5 n + 7 n + 0 n ) n. e-g.3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale I = [, e ]. fx) = lnx) x 35

36 e-g.4. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + 8y = 0, 5x + 4y = 0. e-g.5. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = sin x tg x + ). e-g.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = cos x w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. e-g.. Zbiory są równe. e-g.. 0. Po wyłączeniu przed pierwiastek 0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). e-g.3. f x) = x = x, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = x {f/), f), fe/)} = { /, ln, e/)}. Łatwo f/) < fe/). Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od x = ) maleje, zatem m = /, M = ln. e-g.4. Punkty przecięcia to 5, ), 0, 0), pole to np. P = 0 e-g.5. I = 85 y + 45 ) y dy = ) = 30. sin x cos x dx = cos x + C. e-g.6. R k x) = )k cos c x k stąd wystarczy k = 3, zatem cos x x / + k)! x 4 /4. Zestaw H e-h.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji fx) = tg x + ctg x + π ). 36

37 e-h.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli a n = n + arc ctg n + n + n + arc ctg n + n n + arc ctg n n + n. ln cos x) e-h.3. Wyznacz granicę lim fx), jeśli fx) = x x 0 x, x 0 = 0. e-h.4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji y = ln x ) dla x [, e]. e-h.5. Oblicz całkę fx) dx z funkcji trygonometrycznej fx) = cos x + ctg x. e-h.6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji fx) = e x w przedziale [0, ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. e-h.. Dziedzina D = R \ e-h.. a = 3 + π, n { π + kπ : k Z }, fx) = n + n a n n + π n + n, lim n a n =. { tg x, gdy tg x 0, 0, gdy tg x < 0. e-h.3. Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0 0, otrzymujemy l x) m x) = e e-h.4. V = π 0 sin x) cos x)x = cos x) sinx) x. ln x ) e dx = π [x ln x x] x= = π e). e-h.5. I = sin x cos x dx = 3 sin3 x + C. e-h.6. R n x) = ec n! xn, stąd wystarczy n = 5, zatem e x 4 n=0 x n n!. 37

38 Część XII Zadania trudniejsze Zadania T.. Przyjmuje się, że a) dla dowolnego zbioru X i obiektu a: a X lub a / X oraz b) jeśli ϕ ) jest dowolną formułą zdaniową na zbiorze X tzn. po podstawieniu elementu a X, wyrażenie ϕa) jest zdaniem), to elementy ze zbioru X, spełniające formułę ϕ, tworzą zbiór. Z powyższych dwóch przesłanek wywnioskuj, że nie istnieje twór będący zbiorem złożonym ze wszystkich zbiorów tzw. paradoks Russela). T.. Udowodnij, że różnica symetryczna zbiorów jest działaniem łącznym i przemiennym. T.3. Udowodnij, że różnica symetryczna skończonej ilości zbiorów składa się z elementów należących do nieparzystej liczby zbiorów. T.4. Wyprowadź wzory na sinus i kosinus sumy kątów. T.5. Udowodnij następujące twierdzenia o granicach ciągów: a) lim n n =, n b) dla 0 < a < zachodzi lim n a n =, c) dla < a < i r R zachodzi lim n T.6. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach e n = n r a n = 0. + n) n, n N + = {,, 3,...}. T.7. Oznaczmy lim e n = e, lim f n = f, gdzie ciągi e n ), f n ) zostały określone w poprzednich dwóch zadaniach. Udowodnij, że e = f. n n ) T.8. Udowodnij, że jeśli lim a n =, to lim + an n n a n = e. T.9. Niech x oznacza miarę łukową kąta. Wykaż, że lim x 0 sin x x =. T.0. Załóżmy, że funkcja f : Ox 0 ) R jest określona w pewnym otoczeniu Ox 0 ) punktu x 0 R oraz że przyjmuje w x 0 ekstremum lokalne właściwe lub nie). Udowodnij, że jeśli istnieje pochodna f x 0 ), to f x 0 ) = 0 twierdzenie Fermata). 38

39 T.. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], różniczkowalna na a, b) oraz że fa) = fb), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c a, b), dla którego f c) = 0 twierdzenie Rolle a). T.. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna na a, b), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c a, b), dla którego f fb) fa) c) = twierdzenie Lagrange a). b a T.3. Załóżmy, że funkcje f, g : [a, b] R są ciągłe na [a, b] i różniczkowalne na a, b), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c a, b), dla którego [gb) ga)]f c) = [fb) fa)]g c) twierdzenie Cauchy ego). T.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji fx) = sinh x 5 4 x na przedziale I = [0, ], gdzie funkcja sinh x = ex e x hiperboliczny. T.5. Oblicz: oznacza sinus x arc ch x dx, gdzie symbol arc ch oznacza funkcję odwrotną do ograniczonej do przedziału [0, ) funkcji kosinus hiperboliczny. T.6. Wyznacz długość wykresu funkcji: a) fx) = lnx + ), ograniczonej do przedziału [ 0, ], b) fx) = e x, ograniczonej do przedziału [, lne)]. T.. Gdyby taki zbiór X istniał, to zbiorem byłby rownież Y = {A X : A / A}, a wtedy jednocześnie Y Y oraz Y / Y. T.. Wynika to z łączności i przemienności spójnika logicznego albo. T.3. Różnica symetryczna n zbiorów powstaje w wyniku obliczenia n razy różnicy symetrycznej. Zauważ, że jeśli element należy do parzystej ilości zbiorów, to przy kolejnym obliczeniu pojawia się, znika lub pozostaje bez miany, a po ostatniej zmianie znika. Podobnie dla przynależności do nieparzystej ilości zbiorow. T.4. Niech x, y 0, π ) dla innych x, y można wykorzystać wzory redukcyjne. a) Naszkicuj trójkąt, aby kąt α przy jednym z jego wierzchołków wynosił α = x + y, a wysokość opuszczona z tego wierzchołka dzieliła α na kąty x i y. 39

40 b) Oblicz pole dużego trójkąta na dwa sposoby: bezpośrednio i jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów. Z równości pól wyprowadź wzór na sinus sumy kątów. c) Zastosuj otrzymany wzór na sinus sumy kątów i wzory redukcyjne sin ) ) ϕ + π = cos ϕ, cos ϕ + π = sin ϕ do przekształcania cosx+ y) = sin x + )) y + π. T.5. a) Z jednej strony, n n > dla dowolnego n N +. Z drugiej strony, niech δ > 0 będzie dowolną liczbą. Dla dostatecznie dużych n, n n < + δ, gdyż + δ) n = + nδ + nn ) δ δ n > nn ) δ > n. T.6. b) Dla a, a n < n n od pewnego miejsca. c) Oznaczmy a = + δ, gdzie δ > 0. Ustalmy liczbę k, r < k N +. Dla dostatecznie dużych n, a n = + δ) n = + nδ + nn ) δ nn )n )...n k) k+)! δ k δ n > nn )n )...n k) k+)! δ k+ > δ k+ n k+ k+)!. a) Wykorzystując wzór Newtona na potęgę dwumianu zauważ, że e n = + + n) + n) n) n) n)... n b) Wywnioskuj, że ciąg e n ) jest rosnący. c) Udowodnij, że e n + n k=0 n ) 3... n. k oraz że ciag e n ) jest ograniczony. T.7. a) Zauważ, że e n f n dla n N +. Wywnioskuj, że e f. b) Ustalmy dowolne n 0 N +. Rozważ ciąg g n ) o wyrazach g n = + + n) + n) n) n) n)... n0 n ) 3... n 0, określonych dla n n 0. Zauważ, że g n e n. Udowodnij, że lim g n = f n0 i dalej, n że f n0 e. Wywnioskuj, że f e. T.8. Niech x oznacza część całkowitą liczby x R. Dla wystarczająco dużych n zachodzi a n >. Jeśli a n, to + a n + ) an ) + a n + a n. ) an + Dla a n < wykorzystaj równość ) + an a n = + a n T.9. Zauważ, że ) an + a n ) ) + a n + + an a n lim cos x =. Za pomocą twierdzenia o trzech funkcjach x 0 + i nierówności z zadania. wywnioskuj, że skorzystaj z nieparzystości funkcji sin x i x. ). sin x lim x 0 + x =. Dla x < 0 40

41 T.0. Oznaczmy Ix) = fx) fx0) x x 0 iloraz różnicowy) dla x Sx 0 ) = Ox 0 ) \ {x 0 } sąsiedztwo punktu). Zauważ, że ilorazy różnicowe Ix) z jednej strony punktu x 0 są niedodatnie, a z drugiej nieujemne. T.. W pewnym punkcie c a, b) funkcja f przyjmuje najmniejszą lub największą wartość na całym przedziale [a, b]; wartość ta jest równocześnie ekstremum lokalnym, zatem f c) = 0. T.. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji hx) = fx) fb) fa) b a x a). T.3. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji hx) = [fb) fa)]gx) [gb) ga)]fx). T.4. Największą wartością jest 0, a najmniejszą T.5. 8 ln + 3 ) + 3 ln + 3 ) ln 4. T.6. a) 5 + ln + 5 +, b) 5 + ln ln