ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI

Transkrypt

1 Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13

2 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy, że funkcje u(x) oraz v(x) sa różniczkowalne w pewnym sa siedztwie S punktu a, że v (x) 0 dla x S oraz że wyrażenie jest w punkcie a symbolem nieoznaczonym typu [ [ 0 0] lub ]. u Jeżeli istnieje (skończona lub nieskończona) granica lim (x) x a v (x), to u(x) v(x) JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 2 / 13

3 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy, że funkcje u(x) oraz v(x) sa różniczkowalne w pewnym sa siedztwie S punktu a, że v (x) 0 dla x S oraz że wyrażenie jest w punkcie a symbolem nieoznaczonym typu [ [ 0 0] lub ]. u Jeżeli istnieje (skończona lub nieskończona) granica lim (x) x a v (x), u(x) to istnieje lim x a v(x) oraz u(x) lim x a v(x) = lim u (x) x a v (x). u(x) v(x) UWAGA. W tej regule zamiast x a można wpisać x a +, x a, x +, x. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 2 / 13

4 (Reguła de L Hospitala) PRZYKŁAD 1. Symbol [ 0 0]. sin(x 2 1) (H) lim = x 1 sin(x 1) }{{} [ 0 0 ] JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 3 / 13

5 (Reguła de L Hospitala) PRZYKŁAD 1. Symbol [ 0 0]. sin(x 2 [ 1) (H) sin(x 2 1) ] lim = x 1 sin(x 1) }{{} lim [ ] x 1 sin(x 1) [ 0 0 ] JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 3 / 13

6 (Reguła de L Hospitala) PRZYKŁAD 1. Symbol [ 0 0]. sin(x 2 [ 1) (H) sin(x 2 1) ] [cos(x 2 1)] 2x lim = x 1 sin(x 1) }{{} lim [ ] x 1 = lim sin(x 1) x 1 cos(x 1) [ 0 0 ] = 2 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 3 / 13

7 (Reguła de L Hospitala) PRZYKŁAD 1. Symbol [ 0 0]. sin(x 2 [ 1) (H) sin(x 2 1) ] [cos(x 2 1)] 2x lim = x 1 sin(x 1) }{{} lim [ ] x 1 = lim sin(x 1) x 1 cos(x 1) [ 0 0 ] = 2 PRZYKŁAD 2. Symbol [ ]. lim x + e x x 2 2x + 3 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 3 / 13

8 (Reguła de L Hospitala) PRZYKŁAD 1. Symbol [ 0 0]. sin(x 2 [ 1) (H) sin(x 2 1) ] [cos(x 2 1)] 2x lim = x 1 sin(x 1) }{{} lim [ ] x 1 = lim sin(x 1) x 1 cos(x 1) [ 0 0 ] = 2 PRZYKŁAD 2. Symbol [ ]. lim x + e x x 2 2x + 3 e x = lim x + 2x 2 (H) }{{} = x + [ ] lim (H) }{{} = x + [ ] lim (e x ) (x 2 2x + 3) e x 2 = + JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 3 / 13

9 (Reguła de L Hospitala) PRZYKŁAD 3. Symbol [ ]. ( 1 lim x 0+ sin x 1 ) = x }{{} lim x 0+ [ ] = lim x 0+ 1 cos x 1 sin x + x cos x (H) }{{} = x 0+ [ 0 0 ] lim x sin x x sin x (H) }{{} = x 0+ [ 0 0 ] lim (x sin x) (x sin x) sin x cos x + 1 cos x + x( sin x) = 0 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 4 / 13

10 (Reguła de L Hospitala) PRZYKŁAD 3. Symbol [ ]. ( 1 lim x 0+ sin x 1 ) = x }{{} lim x 0+ [ ] = lim x 0+ 1 cos x 1 sin x + x cos x (H) }{{} = x 0+ [ 0 0 ] lim x sin x x sin x (H) }{{} = x 0+ [ 0 0 ] lim (x sin x) (x sin x) sin x cos x + 1 cos x + x( sin x) = 0 PRZYKŁAD 4. Symbol [0 ]. lim lim x ln x = x 0+ }{{} x 0+ [0 ( )] ln x 1 x (H) }{{} = lim x 0+ [ + ] 1 x 1 x 2 = lim x 0+ ( x) = 0 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 4 / 13

11 Reguła de L Hospitala f g = e g ln f PRZYKŁAD 5. Symbol [ 0]. ponieważ lim x 1 x = x + }{{} lim e 1 x ln x = e 0 = 1, x + [ 0 ] 1 lim x + x ln x }{{} = lim x + [0 ] ln x x (H) }{{} = x + [ ] lim 1 x x = lim x + 1 = 0 (ln x) JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 5 / 13

12 Twierdzenie Lagrange a TWIERDZENIE ( Lagrange a o wartości średniej). Jeżeli funkcja f jest cia gła w przedziale [a, b] JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 6 / 13

13 Twierdzenie Lagrange a TWIERDZENIE ( Lagrange a o wartości średniej). Jeżeli funkcja f jest cia gła w przedziale [a, b] i różniczkowalna w (a, b), JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 6 / 13

14 Twierdzenie Lagrange a TWIERDZENIE ( Lagrange a o wartości średniej). Jeżeli funkcja f jest cia gła w przedziale [a, b] i różniczkowalna w (a, b), to istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c). JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 6 / 13

15 istnieje c (a, b) taki, że INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA. y f (a) f (b) f (a) b a = f (c) a f (b) b x y = f (x) tgα = f (c) tgα = f (c)

16 α = β INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA. y f (a) a β f (b) b x y = f (x) tgβ = f (b) f (a) b a tgα = f (c) tgα = f (c)

17 α = β INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA. y f (a) α a c β f (b) b x y = f (x) tgβ = f (b) f (a) b a tgα = f (c) tgα = f (c) JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 7 / 13

18 istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c) INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA. y f (a) α a c β f (b) b x y = f (x) Na wykresie funkcji y = f (x) istnieje taki punkt (c, f (c)), że styczna w tym punkcie do wykresu funkcji jest równoległa do prostej (siecznej) przechodza cej przez punkty (a, f (a)), (b, f (b)). JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 7 / 13

19 ZADANIE: uzasadnij, że sin x sin y x y dla dowolnych x, y R. Dla x = y nierówność jest spełniona (0 0). Dla x y zastosujemy twierdzenie Lagrange a dla funkcji f (x) = sin x w przedziale [x, y], o ile x < y lub w przedziale [y, x], o ile y < x. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 8 / 13

20 ZADANIE: uzasadnij, że sin x sin y x y dla dowolnych x, y R. Dla x = y nierówność jest spełniona (0 0). Dla x y zastosujemy twierdzenie Lagrange a dla funkcji f (x) = sin x w przedziale [x, y], o ile x < y lub w przedziale [y, x], o ile y < x. Istnieje c taki, że sin(x) sin(y) x y = f (c) = cos c. Oczywiście cos c 1, więc sin(x) sin(y) 1, x y czyli sin x sin y x y. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 8 / 13

21 Istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c). WNIOSEK. Funkcja o pochodnej stale dodatniej w pewnym przedziale jest w tym przedziale rosna ca. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 9 / 13

22 Istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c). WNIOSEK. Funkcja o pochodnej stale dodatniej w pewnym przedziale jest w tym przedziale rosna ca. Dowód. Niech x 1 oraz x 2 bȩda dowolnymi punktami z przedziału takimi, że x 2 > x 1. Z twierdzenia Lagrange a zastosowanego do przedziału [x 1, x 2 ] wiemy, że istnieje taki c (x 1, x 2 ), że f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = f (c)> 0 (pochodna w każdym punkcie jest dodatnia). Zatem x 2 > x 1 (mianownik jest dodatni) implikuje f (x 2 ) > f (x 1 ), czyli funkcja jest rosna ca. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 9 / 13

23 Istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c). WNIOSEK. Funkcja o pochodnej stale ujemnej w pewnym przedziale jest w tym przedziale maleja ca. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI / 13

24 Istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c). WNIOSEK. Funkcja o pochodnej stale ujemnej w pewnym przedziale jest w tym przedziale maleja ca. Dowód. Niech x 1 oraz x 2 bȩda dowolnymi punktami z przedziału takimi, że x 2 > x 1. Z twierdzenia Lagrange a f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = f (c)< 0. Zatem x 2 > x 1 (mianownik jest dodatni) implikuje f (x 2 ) < f (x 1 ), co oznacza, że f maleje. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI / 13

25 Istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c). WNIOSEK. Funkcja cia gła w przedziale [a, b], różniczkowalna w (a, b) o pochodnej stale równej 0 (w całym przedziale) jest stała w [a, b]. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI / 13

26 Istnieje c (a, b) taki, że f (b) f (a) b a = f (c). WNIOSEK. Funkcja cia gła w przedziale [a, b], różniczkowalna w (a, b) o pochodnej stale równej 0 (w całym przedziale) jest stała w [a, b]. Dowód. Niech x bȩdzie dowolnym punktem z przedziału (a, b]. Z twierdzenia Lagrange a zastosowanego do przedziału [a, x] wiemy, że f (x) f (a) x a = f (c) = 0. Zatem f (x) = f (a), funkcja f jest stała. JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI / 13

27 Przykład. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f (x) = 1 4 x x x 2 2x + 3. Liczymy pochodną: f (x) = x 3 + 2x 2 x 2. D f = D f = R. f (x) = x 2 (x + 2) (x + 2) = (x 2 1)(x + 2) = (x 1)(x + 1)(x + 2). Znaki pochodnej: x (, 2) ( 2, 1) ( 1, 1) (1, ) f + + Funkcja jest malejąca w przedziale (, 2) oraz w ( 1, 1). Funkcja jest rosnąca w przedziale ( 2, 1) oraz w przedziale (1, ). UWAGA. Nasza funkcja jest ciągła, możemy więc zapisać dokładniej: funkcja jest malejąca w przedziale (, 2] oraz w [ 1, 1]; funkcja jest rosnąca w przedziale [ 2, 1] oraz w przedziale [1, ). JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI / 13

28 Przykład. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f (x) = 1 4 x x x 2 2x + 3. Wykres funkcji: y x JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI / 13