25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

Transkrypt

1 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe. Równanie różniczkowe zwczajne zawiera tlko jedną zmienną niezależną, nieznaną funkcję tej zmiennej oraz jej pochodne, np. + tgsin Równanie różniczkowe cząstkowe zawiera kilka zmiennch niezależnch oraz (nieznaną) funkcję tch zmiennch i jej pochodne cząstkowe, np. z z z 0 ; w tm równaniu i są to zmienne niezależne, a zz(, ) jest funkcją zmiennch i. Tutaj będziem mówić o równaniach różniczkowch zwczajnch. 5.1

2 Równaniem różniczkowm zwczajnm nazwam równanie, w którm niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej i w którm wstępują pochodne ', ",..., M tej funkcji. Równanie różniczkowe możem zapisać w postaci f (,, ', ' ',..., ( n ) ) 0 Rzędem równania różniczkowego nazwam najwższ rząd pochodnej funkcji niewiadomej wstępującej w równaniu różniczkowm. Na przkład równanie jest rzędu pierwszego, równanie jest rzędu drugiego, a równanie jest rzędu trzeciego. ' + 0 ' ' ' ' ' ' ln + e ' Całką lub rozwiązaniem równania różniczkowego rzędu n f (,, ', ' ',..., ( n ) ) 0 nazwam każdą funkcję φ(), która ma pochodne do rzędu n włącznie i która spełnia to równanie w rozpatrwanm przedziale wartości zmiennej niezależnej, tzn. taką funkcję φ(), że f (, ϕ ( ), ϕ' ( ), ϕ' ' ( ),..., ϕ ( n) ( )) 0 dla wszstkich z tego przedziału. Wkres całki równania różniczkowego nazwam krzwą całkową. 5.

3 Rozwiązanie równania różniczkowego rzędu n najczęściej uzskujem drogą n-krotnego całkowania. Z uwagi na to, że każde całkowanie wprowadza jedną stałą dowolną, końcowe wrażenie na zmienną zależną będzie zawierało n stałch C 1, C,..., C n. W związku z tm wprowadza się dwa pojęcia: 1. Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnm nazwam wrażenie F(, C 1..., C n ), które zawiera n dowolnch stałch niezależnch (tj. tle, ile wnosi rząd równania) i które po wstawieniu za C,..., 1, C Cn liczb wbranch dowolnie z pewnch przedziałów spełnia równanie ( n ) f (,, ', ' ',..., ) C Cn C,,...,,. Funkcję postaci φ() spełniającą dane równanie różniczkowe dla odróżnienia od całki ogólnej będziem nazwać całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnm. Zagadnienie Cauch'ego dla równania różniczkowego rzędu n polega na znalezieniu takiego rozwiązania szczególnego danego równania, które dla danego z gór argumentu 0 i danch z gór liczb 0, 1,..., n 1 spełnia tzw. warunki początkowe ( 0 ) 0 ( 1 ) 1 ( n ) 1 n 1 Dane liczb 0, 0, 1,..., n 1nazwam wartościami początkowmi. 5.

4 5.. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO Równaniem różniczkowm rzędu pierwszego nazwam równanie postaci f (,, ' ) 0 gdzie jest funkcją niewiadomą zmiennej. Całką ogólną tego równania nazwam funkcję F(, C), zmiennej niezależnej ( a, b) i stałej dowolnej C, która prz każdej ustalonej wartości C wbranej dowolnie z pewnego przedziału spełnia w przedziale (a, b) równanie f (,, ' ) 0. Całka ogólna jest więc jednoparametrową rodziną krzwch całkowch danego równania. Całką szczególną równania f (,, ' ) 0 nazwam każdą funkcję φ(), która w przedziale (a, b) ma pierwszą pochodną i spełnia to równanie dla każdego ( a, b). Mając całkę ogólną F(, C) można rozwiązać zagadnienie Cauch'ego dla równania f (,, ' ) 0. Zagadnienie Cauch'ego dla równania różniczkowego rzędu pierwszego polega na wznaczeniu takiej całki szczególnej tego równania, która dla pewnej z gór danej wartości zmiennej niezależnej 0 przjmuje z gór daną wartość 0, tzn. że ( 0 ) 0. Uwzględniając w całce ogólnej F(, C) warunek początkow ( 0 ) 0 mam 0 F( 0, C) 5.4

5 skąd obliczam stałą dowolną C. Wstawiając obliczoną wartość liczbową stałej C do rozwiązania F(, C) otrzmujem szukaną całkę szczególną. W interpretacji geometrcznej zagadnienie Cauch'ego polega na wbraniu z rodzin krzwch całkowch, która jest dana równaniem F(, C), jednej krzwej, która przechodzi przez z gór dan punkt ( 0, 0 ) dla ( a, b). 5.. Równanie różniczkowe postaci f() Niech dane będzie równanie d d f ( ) gdzie f jest funkcją ciągłą w przedziale (a, b). Całkując względem zmiennej mam skąd gdzie C jest stałą dowolną. Całkę f ( ) d F( ) + C F ) + C ( nazwam całką ogólną lub d rozwiązaniem ogólnm równania f ( ). Nadając stałej C wartości d liczbową, np. C, otrzmujem całkę szczególną F( ) + 5.5

6 Przkład Znaleźć całkę szczególną równania początkow π 0 4. Rozważm równanie Po scałkowaniu otrzmujem Rozwiązanie d d sin sin d cos + C sin spełniającą warunek gdzie C jest stałą dowolną. Otrzmane rozwiązanie jest całką ogólną. Uwzględniając warunek początkow mam Funkcja π π ( ) cos + C C skąd cos + jest szukaną całką szczególną danego równania. C Przkład Ciało porusza się prostoliniowo z prędkością v, która jest proporcjonalna do kwadratu czasu. Znaleźć zależność, jaka zachodzi międz przebtą drogą s i czasem t, jeżeli prz t 0, s s

7 Rozwiązanie Z interpretacji fizcznej pochodnej wiadomo, że ds v. Skoro prędkość dt jest proporcjonalna do kwadratu czasu, to s(t) i t muszą bć związane następującm równaniem różniczkowm: ds kt dt gdzie k jest stałm współcznnikiem proporcjonalności. Całkując to równanie względem zmiennej t mam s k t dt s 1 kt + C Stałą C obliczam korzstając z warunku początkowego s(0) s 0 skąd 1 s 0 k 0 + C skąd C s0 1 Szukana zależność dana zatem jest równaniem s ( t ) kt + s Równanie różniczkowe postaci g() Gd równanie różniczkowe ma postać to przekształcam go do postaci d d g( ) d 1 d g( ) i rozwiązujem podobnie, jak równanie postaci d f ( ). d 5.7

8 Przkład Znaleźć całkę szczególną równania ' a, spełniającą warunek początkow (0) a. Rozwiązanie Równanie to możem napisać w postaci d d a skąd d d a 1 Całkując mam a d tzn. arcsin + C lub sin ( C ) a a ( 0 ) Z warunku początkowego mam sin ( 0 C ) tzn. 1 sin ( C ) skąd a π C. Stąd rozwiązanie: acos 5.5. Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch Równanie różniczkowe postaci d d f ( ) g( ) gdzie prawa strona jest ilocznem dwóch funkcji określonch i ciągłch dla ( a, b), ( c, d ) zmiennch rozdzielonch. nazwam równaniem różniczkowm o Równanie to dla g ( ) 0 przekształcam do postaci 5.8

9 d g( ) f ( ) d Całkując otrzmujem d g( ) f ( ) d a stąd równanie postaci G()F()+C. gdzie C jest stałą dowolną. Jeżeli rozwiążem równanie G()F()+C względem zmiennej, to otrzmam całkę ogólną równania d f ( ) g( ) d. Przkład Znaleźć całkę ogólną równania d ln d sin Rozdzielając zmienne i całkując otrzmujem skąd d ln d sin ln ln ln tg 1 + ln C, C > 0, 0 < < π Przekształcając to równanie otrzmujem skąd ostatecznie 1 ln Ctg e Ctg( 0, 5 ) 5.9

10 Przkład Rozwiązać równanie d d ( 1)( ( + 1) 1) Rozwiązanie Prz założeniu, że + postaci i całkujem 1 0 i 1 0, przekształcam dane równanie do 1 d d d d d d 1 0 i ostatecznie ln C jest całką ogólną tego równania. 1 ln Na koniec odnotujm, że proste 1 oraz 1 są również rozwiązaniami rozpatrwanego równania. 5.10

11 5.6. Równania różniczkowe liniowe Równanie postaci + P( ) Q( ) gdzie P i Q są funkcjami ciągłmi w pewnm przedziale nazwam równaniem różniczkowm liniowm (rzędu pierwszego), prz czm mówim, że jest to równanie jednorodne jeśli Q ( ) 0, zaś niejednorodne, gd funkcja Q nie jest tożsamościowo równa zeru. Całka ogólna równania jednorodnego + P( ) 0 wraża się formułą Ce P( ) d (C - stała dowolna) Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego + P( ) Q( ) można znaleźć uzmienniając w powższm wzorze stałą C, tj. szukając rozwiązania w postaci C( ) e P( ) d Sposób wznaczenia nieznanej funkcji C( ) wjaśnim na przkładzie. Przkład Rozwiązać równanie + e 5.11

12 Rozwiązanie Znajdujem najpierw całkę ogólną równania jednorodnego. Rozdzielając zmienne dostajem a po scałkowaniu d d ~ ln + C i ostatecznie Ce (C - stała dowolna) Uzmienniając stałą C mam C( ) e, stąd e C ( ) e C( ) Wstawiając prawe do równania różniczkowego dostajem e C ( ) e C( ) + C( ) e e i po uproszczeniu C ( ) Zatem C ( ) + C i ostatecznie poszukiwana całka ogólna 1 1 przjmuje postać e ( + C ). Przkład Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek (1). d d 5.1

13 Rozwiązanie d Najpierw rozwiązujem równaniu liniowe jednorodne 0. Stąd d Uzmienniam stałą: d d mam d d ln ln ln C, skąd C C( ). Wstawiając tę funkcję do równania dc( ) d + C( ) C( dc( ) d C ( ) + C Całka ogólna tego równania ma więc postać Z warunku początkowego szczególną jest funkcja ) ( + C ) + C (1) wnika, że poszukiwaną całką Metod rozwiązwania równań różniczkowch I rzędu podsumowanie wbranch tpów równań Tp równania Przkład Nazwa Sposób rozwiązania ' f ( ) ' ln ' g( ) cos 5.1 całkować obustronnie ' podzielić przez g() i całkować obustronnie

14 f ( ) sin o zmiennch pomnożć przez g() i ' ' g( ) rozdzielonch całkować obustronnie ' f ( a + b + c) ' + ( ) podstawić u a + b + c a ' f ' p( ) q( ) ' arctg + 1 ' + jednorodne następnie podstawić u ' a + b' u liniowe metoda uzmienniania stałej 5.8. Zadania 5.1. Rozwiązać równania a) ( + 4 ) d + ( + 4 ) d 0 b) e c) ( + 1) d + ( 1)( 1) d 0 d) 4 e) f) 5.. Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające dan warunek a) ( 1 ) d d 0, ( 0 ) 1 b) d 1 d 0, ) 1 c) cos, ( 0 ) 1 ( π 5.. Rozwiązać równanie a) 0 b) sin sin cos c)

15 1 d) e) + f) 4 6 e 5.4. Znaleźć całkę szczególną równania, spełniającą podan warunek a) +, ( 0) b) +, ( 1 ) 0 c) +, ( 1 )