Rachunek różniczkowy funkcji f : R R
|
|
- Bernard Duda
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym przyrostowi zmiennej niezależnej, gdzie 0 < < δ, nazywamy liczbę f = f (x 0 + ) f (x 0 ). Uwaga 1. Iloraz różnicowy jest więc tangensem kąta nacylenia siecznej przecodzącej przez punkty (x 0, f (x 0 )) oraz (x 0 +, f (x 0 + )) wykresu funkcji f do dodatniej części osi OX, tj. tg α = f. Definicja 2. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 i istnieje granica ilorazu różnicowego 0 f (x 0 + ) f (x 0 ), to granicę tę nazywamy pocodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ), tzn. f f (x 0 + ) f (x 0 ) (x 0 ) =. 0 Jeżeli f (x 0 ) istnieje i jest skończona, to funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x 0. Przykład 1. Niec f (x) = 3x 2 2x + 1, x 0 = 2. Wtedy mamy f (2) = 0 f (2 + ) f (2) = = 0 3 (2 + ) 2 2 (2 + ) + 1 ( ) = = = 0 (3 + 10) = 10. Geometryczna interpretacja pocodnej. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, to prostą o współczynniku kierunkowym równym f (x 0 ) przecodzącą przez punkt (x 0, f (x 0 )) nazywamy styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f (x 0 )). Zatem styczna do krzywej y = f (x) w punkcie o odciętej x 0 ma równanie y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). 1
2 Fizyczna interpretacja pocodnej. Załóżmy, że punkt porusza się po prostej (osi liczbowej) i jego położenie w cwili t to s (t). Wtedy liczba s t = s (t 0 + t) s (t 0 ) t będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od cwili t 0 do cwili t 0 + t do czasu jej przebycia t nazywamy średnią prędkością tego punktu w cwili t 0. Podobnie zakładając, że prędkość punktu poruszającego się po prostej w cwili t jest równa v (t), liczbę v t = v (t 0 + t) v (t 0 ) t wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od cwili t 0 do cwili t 0 + t do czasu t, w którym ta zmiana nastąpiła, nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w cwili t 0. Jest więc jasne, że jeżeli zmiany t są coraz mniejsze, to zarówno średnia prędkość jak również średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość i przyspieszenie danego punktu w cwili t 0. Jeżeli więc istnieją granice s s (t 0 ) = t 0 t = s (t 0 + t) s (t 0 ) t 0 t oraz v v (t 0 ) = t 0 t = t 0 v (t 0 + t) v (t 0 ), t to nazywamy je odpowiednio prędkością cwilową i przyspieszeniem cwilowym w cwili t 0. Niec t oznacza czas (liczony w sekundac od pewnej cwili początkowej), a Q - ładunek elektryczny (mierzony w kulombac), jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od cwili początkowej do cwili t. Czyli mamy tu funkcję Q = Q (t). Iloraz różnicowy Q t = Q (t 0 + t) Q (t 0 ) t jest średnim natężeniem prądu w przedziale czasu między cwilami t 0 i t 0 + t, a granica tego ilorazu przy t 0, czyli pocodna jest natężeniem prądu w cwili t 0. Q Q (t 0 ) = t 0 t = Q (t 0 + t) Q (t 0 ) t 0 t 2
3 Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x 0, to jest ciągła w punkcie x 0. Dowód: Niec funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 i różniczkowalna w punkcie x 0. Wtedy Oznaczając = x x 0 dostajemy f (x) = x x 0 x x0 f (x) = f (x) f (x 0) x x 0 (x x 0 ) + f (x 0 ), dla x x 0. ( f (x) f (x0 ) x x 0 (x x 0 ) + f (x 0 ) ) ( ) f (x0 + ) f (x 0 ) = + f (x 0 ) = 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) = + f (x 0 ) = f (x 0 ) 0 + f (x 0 ) = f (x 0 ), 0 0 co właśnie oznacza, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. Uwaga 2. Łatwo pokazać, że jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie x 0, to nie musi być różniczkowalna w tym punkcie. Aby się o tym przekonać rozważmy funkcję f : R [0, + ) określoną wzorem f (x) = x. Wiemy, że jest ona ciągła w punkcie x 0 = 0. Z drugiej strony mamy oraz a więc = 0 = 0 = ( 1) = 1 0 = 0 + = 0 + = 1 = 1, nie istnieje, co oznacza, że funkcja f (x) = x nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 = 0. Pocodne niektóryc funkcji elementarnyc f (x) = c dla każdego x R, gdzie c jest pewną liczbą rzeczywistą, f (x) = 0 f (x + ) f (x) = 0 c c = 0 0 = 0 3
4 f (x) = x n dla każdego x R, n N, f (x + ) n x n (x) = 0 ( = nx n = 0 ( n2 ) x n ( n0 ) x n + ( n1 ) ( n2 ) ( nn ) x n 1 + x n 2 () () n x n ( nn ) () n 1) = nx n 1 f (x) = a x dla każdego x R, gdzie a (0, 1) (1, ), f (x) = 0 a x+ a x W szczególności f (x) = e x dla każdego x R, f (x) = e x ln e = e x = 0 a x a 1 = a x 0 a 1 = a x ln a = f (x) = log a x dla każdego x (0, ), gdzie a (0, 1) (1, ), ( ) ( ) f log (x) = a (x + ) log a x log a 1 + log x a 1 + x = = x = 1 ( ) x log a 1 + x = 1 0 x 1 ln a W szczególności x f (x) = ln x dla każdego x (0, ), f (x) = 1 x 1 ln e = 1 x Podobnie wykorzystując definicję pocodnej można pokazać, że (sin x) = cos x, dla każdego x R (cos x) = sin x, dla każdego x R 1 x = Twierdzenie 2. (O pocodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x 0, to (i) funkcja postaci f + g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), 4
5 (ii) funkcja postaci f g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ), (iii) dla każdego c R funkcja postaci c f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ), (iv) funkcja postaci f g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ), (v) jeśli g (x 0 ) 0, to funkcja postaci f g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) g [g (x 0 )] 2. Twierdzenie 3. (O pocodnej funkcji odwrotnej) Niec f będzie funkcją ciągłą i monotoniczną określoną w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz f (x 0 ) 0, to funkcja f 1 odwrotna do funkcji f jest różniczkowalna w punkcie y 0 = f (x 0 ), przy czym ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ). Pocodne niektóryc funkcji elementarnyc - ciąg dalszy Korzystając, między innymi, z twierdzenia o pocodnej funkcji odwrotnej można pokazać, że (arcsin x) = 1 1 x 2 dla x ( 1, 1) (arccos x) = 1 1 x 2 dla x ( 1, 1) (arctgx) = 1 1+x 2 dla x R (arcctgx) = 1 dla x R 1+x 2 Twierdzenie 4. (O pocodnej funkcji złożonej - reguła łańcucowa) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, zaś funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f (x 0 ), to funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz zacodzi wzór (g f) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). 5
6 Definicja 3. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającą przyrostowi zmiennej niezależnej nazywamy iloczyn f (x 0 ) i oznaczamy symbolem df (x 0 ), tj. df (x 0 ) = f (x 0 ). Uwaga 3. Różniczkę można wykorzystać do obliczania przybliżonyc wartości funkcji. Mamy bowiem f (x 0 + ) f (x 0 ) = f f (x 0 ) = df (x 0 ), czyli f (x 0 + ) f (x 0 ) + df (x 0 ). Przykład 3. Obliczyć przybliżoną wartość 4 15, 96. Niec f (x) = 4 x, x 0 = 16, = 0, 04. Wtedy f (x) = 1 4 x 3 4 = 4( 1 dla każdego x > 0. Stąd 4 x) 3 f (16) = 4 16 = 2, f 1 (16) = 4( 4 = 16) 1 1, a więc df (16) = ( 0, 04) = 0, Zatem 4 15, 96 = f (16 0, 04) f (16) + df (16) = 2 0, = 1, Twierdzenie 5. (Rolle a 1 o wartości średniej) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], różniczkowalna wewnątrz tego przedziału i f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) = 0. Twierdzenie 6. (Lagrange a 2 o wartości średniej) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to istnieje co najmniej jeden taki punkt c (a, b), że f (c) = f (b) f (a). b a Twierdzenie 7. (Caucy ego 3 o wartości średniej) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale [a, b], różniczkowalne wewnątrz tego przedziału oraz g (x) 0 dla każdego x (a, b), to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) g (c) = f (b) f (a) g (b) g (a). 1 Micel Rolle ( ), matematyk francuski 2 Josep Louis de Lagrange ( ), matematyk i astronom francuski 3 Augustin Louis Caucy ( ), matematyk francuski 6
7 (i) Twierdzenie 8. (Reguła de l Hospitala 4 ) Załóżmy, że funkcje f i f są określone na pewnym sąsiedztwie punktu x g 0 oraz, że f (x) = g (x) = 0 x x0 x x0 g [ ] f (x) = + ( ) x x 0 i g (x) = + ( ) x x0 (ii) istnieje granica x x0 f (x) g (x) właściwa lub niewłaściwa. Wtedy f (x) x x 0 g (x) = f (x) x x 0 g (x). Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jesnostronnyc w punkcie x 0 oraz dla granic w lub w +. Twierdzenie 9. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale I. Jeżeli (i) f (x) = 0 dla każdego x I, to funkcja f jest stała w przedziale I; (ii) f (x) > 0 dla każdego x I, to funkcja f jest rosnąca w przedziale I; (iii) f (x) < 0 dla każdego x I, to funkcja f jest malejąca w przedziale I; (iv) f (x) 0 dla każdego x I, to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I; (v) f (x) 0 dla każdego x I, to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I. Pocodne wyższyc rzędów Definicja 4. Pocodną właściwą n - tego rzędu funkcji f w punkcie x 0 definiujemy indukcyjnie f (n) (x 0 ) := ( f (n 1)) (x0 ) dla n = 2, 3,..., gdzie f (1) (x 0 ) = f (x 0 ). Ponadto przyjmujemy, że f (0) (x 0 ) = f (x 0 ). 4 Guillaume François Antoine de l Hôspital ( ), matematyk francuski 7
8 Twierdzenie 10. (Taylora 5 ) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pocodne do rzędu n 1 włącznie w przedziale domkniętym o końcac x 0 i x oraz ma pocodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x 0 i x, że f (x) = f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 + f (n) (c) n! (x x 0 ) n. Uwaga 4. Równość (T ) występującą w tezie Twierdzenia 16 nazywamy wzorem Taylora. Wzór ten możemy również zapisać w postaci gdzie T n 1 (x) := n 1 k=0 f (k) (x 0 ) k! f(x) = T n 1 (x) + R n (x), (x x 0 ) k, a R n (x) := f (n) (c) n! (x x 0 ) n. Wówczas T n 1 (x) nazywamy wielomianem Taylora, zaś R n (x) n-tą resztą Lagrange a. (T) Uwaga 5. Zauważmy, że dla n = 1, x 0 = a i x = b wzór Taylora przyjmuje postać f (b) = f (a) + f (c) 1! (b a) skąd po prostyc przekształceniac dostajemy tezę twierdzenia Lagrange a o wartości średniej. Zatem łatwo zauważyć, że twierdzenie Taylora jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange a. Uwaga 6. Dla x 0 = 0 wzór Taylora przyjmuje postać f (x) = f (0) + f (0) 1! x) + f (0) x f (n 1) (0) 2! i jest nazywany wzorem Maclaurina 6 funkcji f. (n 1)! xn 1 + f (n) (c) x n, gdzie 0 < c < 1, n! Przykład 4. Rozważmy funkcję f : R (0, + ) o wzorze f(x) = e x. Zauważmy, że f (n) (x) = e x, dla każdego x R, n N {0}, a więc 5 Brook Taylor ( ), matematyk angielski 6 Colin Maclaurin ( ), matematyk szkocki f (n) (0) = 1, dla każdego n N {0}. 8
9 Wobec tego wzór Maclaurina (przy ustalonym dowolnie n) dla funkcji f przyjmuje postać e x = 1 + x + 1 2! x ! x ! x4 + + dla pewnego c (0, 1). W szczególności, dla x = 1 i n = 7, mamy dla pewnego c (0, 1), a więc 1 (n 1)! xn 1 + ec n! xn, e = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + 1 6! + ec 7!, e przy czym błąd jaki popełniamy nie przekracza = R 7 (1) = ec 7! = ec 0<c<1 < < 0, = = 2, 7180(5), Ekstrema lokalne Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Definicja 5. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne [maksimum lokalne], jeżeli istnieje taka δ > 0, że f (x) f (x 0 ) [f (x) f (x 0 )] dla każdego x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ). (1) Jeżeli ponadto w (1) mamy nierówność ostrą, to mówimy o minimum [maksimum] właściwym. Minima i maksima lokalne obejmujemy wspólną nazwą - ekstrema lokalne. Twierdzenie 11. (Fermata 7 - warunek konieczny istnienia ekstremum) Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x 0 i ma ekstremum lokalne w punkcie x 0, to f (x 0 ) = 0. Uwaga 7. Implikacja odwrotna jest fałszywa!!! Rozważmy bowiem funkcję o wzorze f (x) = x 3 dla x R. Wtedy f (x) = 3x 2, skąd f (x) = 0 x = 0, ale w punkcie x = 0 funkcja f nie ma ekstemum. 7 Pierre de Fermat ( ), matematyk francuski 9
10 Również założenie istnienia pocodnej jest istotne. Funkcja f (x) = x ma bowiem w punkcie x = 0 minimum lokalne, a nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Wniosek 1. Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w tyc punktac, w któryc jej pocodna jest równa zero, albo w któryc jej pocodna nie istnieje. Twierdzenie 12. ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego) Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x 0, f (x 0 ) = 0 oraz istnieje taka δ > 0, że f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), [f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ)], to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum [minimum] lokalne właściwe. Uwaga 8. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 oraz f (x 0 ) 0 lub f jest ciągła w punkcie x 0, zaś f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) lub f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ), to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x 0. Twierdzenie 13.( II warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego) Załóżmy, że funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 ma w punkcie x 0 skończoną pocodną f (n) (x 0 ) przy pewnym n > 1 oraz f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 i f (n) (x 0 ) 0. (i) Jeżeli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym, gdy f (n) (x 0 ) < 0, to jest to maksimum, a gdy f (n) (x 0 ) > 0 minimum. (ii) Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f nie ma w punkcie x 0 ekstremum lokalnego. Funkcje wypukłe, funkcje wklęsłe, punkty przegięcia wykresu funkcji Niec funkcja f będzie określona na przedziale (a, b), gdzie a < b +. Definicja 6. Funkcję f nazywamy wypukłą [wklęsłą] na przedziale (a, b), jeżeli f ((1 λ) x 1 + λx 2 ) (1 λ) f (x 1 ) + λf (x 2 ). (2) [ a<x 1 <x 2 <b 0<λ<1 a<x 1 <x 2 <b 0<λ<1 ] f ((1 λ) x 1 + λx 2 ) (1 λ) f (x 1 ) + λf (x 2 ) 10
11 Jeżeli w warunku (2) nierówność jest ostra, to funkcję f nazywamy ściśle wypukłą [ściśle wklęsłą]. Twierdzenie 14. Niec f będzie funkcją określoną na przedziale (a, b). (i) Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest ściśle wypukła na (a, b). (ii) Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest ściśle wklęsła na (a, b). (ii) Jeżeli f (x) 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b). (iv) Jeżeli f (x) 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). Definicja 7. Załóżmy, że funkcja f, określona w otoczeniu punktu x 0, jest ciągła w punkcie x 0. Punkt (x 0, f (x 0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f, jeżeli istnieje taka δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na przedziale (x 0, x 0 + δ) lub odwrotnie. Twierdzenie 15. (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji) Niec funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli (x 0, f (x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f oraz f (x 0 ) istnieje, to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie 16. (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji) Załóżmy, że f jest dwukrotnie różniczkowaną funkcją określoną przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x 0 oraz f (x 0 ) = 0. Jeżeli istnieje taka δ > 0, że lub f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to punkt (x 0, f (x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f. Asymptoty pionowe Asymptoty wykresu funkcji Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f, jeżeli x a +f(x) = + lub +f(x) =. 11 x a
12 Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f, jeżeli x a f(x) = + lub f(x) =. Prosta x = a jest asymptotą pionową obustronną lub krótko asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeżeli jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną. x a Asymptoty ukośne Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną prawostonną wykresu funkcji f, jeżeli (f(x) Ax B) = 0. x + Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną lewostonną wykresu funkcji f, jeżeli (f(x) Ax B) = 0. x Twierdzenie 17. Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną prawostonną wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy A = f(x) x + x oraz B = (f(x) Ax). x Prawdziwe jest też analogiczne twierdzenie o asymptotac ukośnyc lewostronnyc. Uwaga 9. Jeżeli f(x) = B, to A = x + f(x) x + x = 0, a więc prosta y = B jest prawostonną asymptotą ukośną wykresu funkcji f równoległą do osi OX i nazywamy ją wtedy asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji f. W przypadku asymptop ukośnyc lewostronnyc jest analogicznie. 1. Dziedzina funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji 2. Zacowanie się funkcji na końcac przedziałów określoności. 3. Własności szczególne funkcji (parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji). 4. Szczególne punkty wykresu funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnyc). 5. Przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji. 12
13 6. Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punkty przegięcia wykresu funkcji. 7. Asymptoty wykresu funkcji. 8. Zbiór wartości funkcji. 9. Tabelka i wykres funkcji. Przykład 5. Zbadać przebieg zmienności funkcji f określonej wzorem f(x) = x 3 (x 1) 2. 13
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że
Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowo1 Pochodne pierwszego rzędu
Pocodne pierwszego rzędu. Podstawowe definicje Def. Niec funkcja f będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt a. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a dla przyrostu nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowo( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO KOGNITYWISTYKA UAM, 016 017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Dzisiejszy wykład
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna
Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Analiza Matematyczna Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 5
Granica funkcji wykład 5 dr Mariusz Grządziel 4 listopada 200 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Analiza Matematyczna. Pochodne wyższych Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk 23 kwietnia
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowo