Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu y = x lnx i osi a Ox dla x [1, e]. Zadanie 3 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego nierównościami x 2 + y 2 1 i 0 y 1 2. Zadanie 4 pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f(x) = prostymi x = 0, x = 1,oraz osi a Ox. Zadanie 5 długość łuku krzywej y = x x, zawartego miȩdzy punktami (0, 0) i ( 4 9, 8 27). Zadanie 6 5 4x x 2 4x+20 objȩtość bryły otrzymanej z obrotu figury ograniczonej krzywymi wokół osi Ox. y = cot x, π 6 x π 3. 1

2 Zadanie 7 objȩtość kuli o promieniu R > 0, korzystaj ac ze wzoru na objȩtość bryły obrotowej. Zadanie 8 pole obszaru D ograniczonego krzywymi y = x 2, y = x2 2. Zadanie 9 Proszȩ podać wzór na objȩtość bryły obrotowej. Korzystaj ac z tego wzoru proszȩ obliczyć objȩtość walca o wysokości H i promieniu podstawy R > 0 i wykonać rysunek. Zadanie 10 pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji f(x) = sin(x), gdzie 0 x π 2 wokół osi Ox. Zadanie 11 długość łuku krzywej o równaniu y = x2 gdzie 1 x 2. Zadanie 12 długość łuku krzywej ln x, 4 2 Zadanie 13 y = 2 x 3, gdzie 0 x 2. objȩtość stożka o promieniu podstawy R > 0 i wysokości H > 0, korzystaj ac ze wzoru na objȩtość bryły obrotowej i wykonać rysunek. 2

3 Zadanie 14 pole powierzchni stożka o promieniu podstawy R > 0, i wysokości H > 0, korzystaj ac z równania na pole powierzchni bryły obrotowej i wykonać rysunek. Zadanie 15 pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji f(x) = tan x oraz prostymi: y = 0,x = π 12. Zadanie 16 Zadanie 17 Zadanie x 4 + x 2. coslnx. x Zadanie 19 Zadanie 20 x 3 x 2. x 2 + 4x + 3. Zadanie 21 x 2 + 4x x x 2 + 4x

4 Zadanie 22 (2x + 1) x 3 + x 2 2x. Zadanie 23 Zadanie 24 x 3 + x. Zadanie 25 cos 3 x 2 sinx. Zadanie 26 Zadanie 27 1 cosx + sinx + 2. π 0 sin3x e. 2x Zadanie 28 cos x 2 + cos2x. Zadanie 29 x 3 + 9x. Proszȩ znaleźć funkcjȩ pierwotn a funkcji f(x) = x 3 e 3x. 4

5 Zadanie 30 Zadanie x 3 x 2 4. Proszȩ znaleźć funkcjȩ pierwotn a dla Zadanie 32 f(x) = x + 3 x x x + 1. Zadanie 33 Zadanie 34 Zadanie x. e 2x. Wyznaczyć ekstrema i punkty przegiȩcia wykresu funkcji f(x) = x 1 Zadanie lntdt. t 3 Proszȩ znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f(x) = x 2 e 1 x. Zadanie 37 Proszȩ sformułować twierdzenie Taylora i napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = x 5

6 przyjmuj ac x 0 = 2 i resztȩ R 3. Proszȩ odpowiedzieć na pytanie: dla jakich x otrzymany wzór jest prawdziwy? Zadanie 38 Proszȩ oszacować przy pomocy wzoru Maclaurina dokładność przybliżenia x 1 + x x2, dla 0 x 1. 8 Zadanie 39 Proszȩ wyznaczyć przedziały i ekstrema lokalne funkcji f(x) = 3 x 2 (x 3). Zadanie 40 Proszȩ wyznaczyć przedział na którym funkcja f(x) = x 2 lnx jest malej aca i wklȩsła. Zadanie 41 Proszȩ znaleźć najmniejsz a i najwiȩksz a wartość funkcji f(x) = Zadanie 42 3x 4x 2 +1 Proszȩ wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f(x) = ln(3x 2 x 3 ). Zadanie 43 Proszȩ wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegiȩcia wykresu funkcji f(x) = xe 2x. Zadanie 44 dla x [ 1, 2]. Korzystaj ac ze wzoru Taylora-Maclaurina z odpowiedi a reszt a, proszȩ uzasadnić nierówność dla każdego x > 0. Zadanie 45 e x > 1 x + x2 2 x3 6 Proszȩ napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji f(x) = x 2 e x z czwart a reszt a. Ko- 6

7 rzystaj ac z tego przybliżenia oszacować dokładność przybliżenia funkcji f na przedziale [ 0.1, 0.1] Zadanie 46 Proszȩ sformułować twierdzenie Lagrange i korzystaj ac z niego uzasadnić, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych x, y R. Zadanie 47 arctan x arctan y x y Proszȩ wyznaczyć najmniejsz a i najwiȩksz a wartość funkcji na przedziale [ 2, 3]. f(x) = 3 (x 2 + x) 2 Zadanie 48 Proszȩ wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji Zadanie 49 f(x) = x2 5x + 4. x 5 Proszȩ znaleźć asymptoty ukośne wykresu funkcji f(x) = xe 1 x. Zadanie 50 Proszȩ znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x 1 x2 1. 7