Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
|
|
- Dominika Maj
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
2 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a, (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a, (tg x) = 1 cos 2 x (ctg x) = 1 sin 2 x (arc sin x) = 1 1 x 2 (arc cos x) 1 = 1 x 2 (ln x) = 1 x (sin x) = cos x (cos x) = sin x (arc tg x) = x 2 (arc ctg x) = x 2 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 2 / 34
3 Pochodne z działań na funkcjach (cf (x)) = c f (x) (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x) (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 3 / 34
4 Pochodne wyższych rzędów Pochodna n-tego rzędu funkcji f określamy wzorem f (n) (x) = (f (n 1) (x)) czyli jest to pochodna z pochodnej rzędu (n 1). Zatem f (x) = (f (x)) - druga pochodna jest pochodna z pierwszej pochodnej f (x) = f (3) (x) = (f (x)) f (n) (x) = (f (n 1) (x)) - trzecia pochodna jest pochodna z drugiej pochodnej... - n-ta pochodna jest pochodna z (n-1)-szej pochodnej Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 4 / 34
5 Reguła de L Hospitala Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 5 / 34
6 Regułę de L Hospitala stosujemy do liczenia granic typu lim x x 0 f (x) g(x) albo f (x) lim x ± g(x), w których po podstawieniu granicznej wartości x otrzymujemy symbol [ 0 0 ] albo [ ]. Zakładamy, że f i g sa funkcjami różniczkowalnymi. Wersja skrócona twierdzenia : f (x) lim x A g(x) = co rozumiemy następujaco: [ 0 0 albo f " jeśli istnieje granica lim (x) x A g (x) również wynosi k." ] H = lim x A f (x) g (x) = k, f (x) i wynosi k, to granica lim x A g(x) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 6 / 34
7 Przykład ln sin x f) lim x 0 + ln tg x g) lim x ln x x 0 + h) lim x ln(x 1) x 1 + Wskazówka W przykładzie g) skorzystać z przedstawienia f g = [0 ] = f 1 g albo = g 1 f Wskazówka W przykładzie h) skorzystać z tego, że dla wyrażeń f g przedstawiajacych symbole 1, 0, 0 0 mamy przedstawienie: f g = e g ln f. Dodatkowo z granica możemy przejść wtedy do wykładnika funkcji wykładniczej. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 7 / 34
8 Rozwiazanie przykładu g): ln x lim x ln x = [0 ( )] = lim x 0 + x x = [ ] H (ln x) = lim = x 0 + ( 1 x ) = lim x x 1 x 2 = lim ( x) = 0. x 0 + Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 8 / 34
9 Rozwiazanie przykładu h) : bo lim x ln(x 1) = [1 ] = lim eln(x 1) ln x = e lim [ln(x 1) ln x] x 1 + x 1 + x 1 + = e ( ) = e 0 = 1, ln(x 1) ( ) = lim [ln(x 1) ln x] = [( ) 0] = lim x 1 + x H (ln(x 1)) = lim x 1 + ( 1 ln x ) H (x(ln x) 2 ) = lim x 1 + ( x + 1) 1 x 1 = lim x ln 2 x x (ln x) ln x = lim x ln x = x(ln x) 2 = lim x 1 + x + 1 = = = 0. [ ] [ ] 0 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 9 / 34
10 Monotoniczność funkcji Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 10 / 34
11 Twierdzenie o monotoniczności funkcji Jeżeli dla każdego x z pewnego przedziału A funkcja f spełnia warunek: f (x) = 0, to f jest stała dla x A f (x) > 0, to f jest rosnaca dla x A f (x) < 0, to f jest malejaca dla x A Uwaga Jeżeli f (x) 0 dla każdego x A, przy czym równość f (x) = 0 zachodzi tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału (a nie na pewnym przedziale), to funkcja f jest rosnaca dla x A. Analogicznie dla funkcji malejacej. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 11 / 34
12 Schemat 1) obliczyć f (x) 2) wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej, czyli f (x) = 0 3) zbadać znak f (kiedy f (x) > 0, < 0) albo sporzadzić wykres f i odczytać z wykresu 4) Wnioski Przykład Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji a) f (x) = x 1 + x 2 b) f (x) = (x + 1)e x c) f (x) = ln 3 x 3 ln x Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 12 / 34
13 Ekstrema funkcji Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 13 / 34
14 Definicja Funkcja f ma w x 0 R minimum lokalne (właściwe), jeśli δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) > f (x 0 ). Funkcja f ma w x 0 R maksimum lokalne (właściwe), jeśli δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) < f (x 0 ). Czyli można wskazać takie (małe) otoczenie punktu x 0 w którym wartość f (x 0 ) jest najmniejsza (odpowiednio największa). Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 14 / 34
15 Twierdzenie Fermata Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz f (x 0 ) istnieje, to f (x 0 ) = 0. Zauważmy, że implikacja odwrotna jest fałszywa, tzn. sam fakt że punkt x 0 jest miejscem zerowym pochodnej nie gwarantuje tego, że f (x 0 ) jest ekstremum lokalnym. Wystarczy rozważyć funkcję f (x) = x 3. f (x) = (x 3 ) = 3x 2 punkt podejrzany: f (x 0 ) = 0 dla x 0 = 0, ale ekstremum lokalnego w zerze nie ma (patrz wykres). Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 15 / 34
16 Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie oraz jeżeli w tym punkcie wykres funkcji ma styczna, to ta styczna jest pozioma. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 16 / 34
17 Fakt - o lokalizacji ekstremów funkcji (tzw. punkty podejrzane) Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Twierdzenie - I warunek dostateczny Jeżeli f (x 0 ) = 0 oraz f (x) zmienia w x 0 znak, to f ma w x 0 ekstremum lokalne. Jeżeli zmiana: + - maksimum lokalne w x minimum lokalne w x 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 17 / 34
18 Schemat ekstremów = schemat monotoniczności (różne wnioski) 1) obliczyć f (x) 2) wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej, czyli f (x) = 0 3) zbadać znak f (kiedy f (x) > 0, < 0) albo sporzadzić wykres f i odczytać z wykresu 4) Wnioski (sprawdzić, czy w otoczeniu punktów podejrzanych następuje zmiana znaku f ) Zadanie Korzystajac z I warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: a) f (x) = x 3 3x b) f (x) = ln x x c) f (x) = (x 5)e x Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 18 / 34
19 Rozwiazanie a) f (x) = x 3 3x 2 + 4, D f = R, f (x) = 3x 2 6x, D f = R f (x) = 0 x = 0 x = 2 Metoda 1 Z wykresu f (x) = 3x 2 6x odczytujemy, że w punktach x = 0 oraz x = 2 następuje zmiana znaku. W x = 0 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 0 maksimum lokalne. W x = 2 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. Odp. f max (0) = 4, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 19 / 34
20 Rozwiazanie b) f (x) = ln x x, D f = (0, ), f (x) = 1 ln x x 2, D f = (0, ) f (x) = 0 ln x = 1 x = e Metoda 1 Badamy znak f (x). Zauważmy, że znak f zależy tylko od 1 ln x, bo mianownik jest zawsze dodatni, więc na znak całości nie wpływa. Zatem f (x) > 0 1 ln x > 0 ln x < 1 x (0, e) f (x) < 0 1 ln x < 0 ln x > 1 x (e, ). Dla x = e następuje zmiana znaku z "+" na " ", zatem f ma w x = e maksimum lokalne. Odp. f max (e) = e 1. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 20 / 34
21 Rozwiazanie c) f (x) = (x 5) e x, D f = R, f (x) = ( x + 6)e x, D f = R f (x) = 0 x = 6 (bo e x > 0 dla x R) Metoda 1 Badamy znak f. Ponieważ e x > 0 dla x R, więc nie wpływa na znak f. Zatem f (x) > 0 x + 6 > 0 x < 6. f (x) < 0 x + 6 < 0 x > 6. Stad w x = 6 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 6 maksimum lokalne. Odp. f max (6) = e 6. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 21 / 34
22 Zadanie Korzystajac z I warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: Zauważmy, że D f = R oraz f (x) = 3 (x 2 2x) 2 = (x 2 2x) 2 3. f (x) = 4 3 x 1 3 x 2 2x = 4 3 x 1 3 x 3 x 2, D f = R\{0, 2} f (x) = 0 x = 1. Stad mamy punkty podejrzane: x = 1 x = 0 x = 2. (bo w 0 i 2 pochodna nie istnieje) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 22 / 34
23 Badamy znak f. Zauważmy, że x 1 > 0 x > 1 3 x > 0 x > 0 Stad ( na podstawie pomocniczej tabeli): 3 x 2 > 0 x 2 > 0 x > 2 f (x) > 0 x (0, 1) (2, ) f (x) < 0 x (, 0) (1, 2) W x = 0 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 0 minimum lokalne. (tzw. minimum ostrzowe) W x = 1 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 1 maksimum lokalne. W x = 2 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. (tzw. minimum ostrzowe ) Odp. f min (0) = 0, f max (1) = 1, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 23 / 34
24 Alternatywna metoda badania ekstremów funkcji (nie będzie omawiana na wykładzie, ale można ja stosować na egzaminie) wykorzystuje druga pochodna funkcji. Twierdzenie - II warunek dostateczny Jeżeli f (x 0 ) = 0 oraz f (x) istnieje w otoczeniu punktu x 0, to a) f (x 0 ) > 0, to f ma w x 0 minimum lokalne b) f (x 0 ) < 0, to f ma w x 0 maksimum lokalne c) f (x 0 ) = 0, to nie można nic stwierdzić. Zadanie Korzystajac z II warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: a) f (x) = x 3 3x b) f (x) = ln x x c) f (x) = (x 5)e x Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 24 / 34
25 Rozwiazanie a) f (x) = x 3 3x 2 + 4, D f = R, f (x) = 3x 2 6x, D f = R f (x) = 0 x = 0 x = 2 Metoda 2 f (x) = (f (x)) = (3x 2 6x) = 6x 6, D f = R. Wyliczamy teraz wartość f w punktach podejrzanych x = 0 oraz x = 2 : f (0) = 6 < 0, zatem f ma w x = 0 maksimum lokalne. f (2) = 6 > 0, zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. Odp. f max (0) = 4, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 25 / 34
26 Rozwiazanie b) f (x) = ln x x, D f = (0, ), f (x) = 0 ln x = 1 x = e f (x) = 1 ln x x 2, D f = (0, ) Metoda 2 f (x) = (f (x)) = ( 1 ln x ) = 2 ln x 3, D x 2 x 3 f = (0, ). Wyliczamy teraz wartość f w punkcie podejrzanym x = e : f (e) = 1 e 3 < 0, zatem f ma w x = e maksimum lokalne. Odp. f max (e) = e 1 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 26 / 34
27 Rozwiazanie c) f (x) = (x 5) e x, D f = R, f (x) = ( x + 6)e x, D f = R f (x) = 0 x = 6 (bo e x > 0 dla x R) Metoda 2 f (x) = (f (x)) = (x 7)e x, D f = R. Wyliczamy teraz wartość f w punkcie podejrzanym x = 6 : f (6) = e 6 < 0, zatem f ma w x = 6 maksimum lokalne. Odp. f max (6) = e 6 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 27 / 34
28 Wypukłość i wklęsłość funkcji Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 28 / 34
29 Mówimy, że f (x) jest wypukła w punkcie x = x 0, jeżeli dla pewnego sasiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie nad styczna w punkcie (x 0, f (x 0 )). Mówimy, że f (x) jest wklęsła w punkcie x = x 0, jeżeli dla pewnego sasiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie pod styczna w punkcie (x 0, f (x 0 )). Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 29 / 34
30 Twierdzenie - warunek dostateczny Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to f jest wypukła na (a, b). Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to f jest wklęsła na (a, b). Punkty przegięcia Punktem przegięcia (p.p.) funkcji nazywamy taki punkt x 0, w którym zmienia się charakter funkcji z wypukłej na wklęsła, albo z wklęsłej na wypukła. Punkty przegięcia moga istnieć w punktach, w których f (x) = 0 albo takich, w których f nie istnieje. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 30 / 34
31 Przykład Jeżeli f (x) = x 3, to f jest wypukła dla x > 0, f jest wklęsła dla x < 0, x = 0 jest punktem przegięcia Przykład Jeżeli f (x) = x 2, to f jest wypukła dla x R, punktów przegięcia nie ma Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 31 / 34
32 UWAGA f jest wypukła - jest "kawałkiem" paraboli skierowanej ramionami do góry (o a > 0); f jest wklęsła - jest "kawałkiem" paraboli skierowanej ramionami do dołu (o a < 0); Przykład Określić przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f (x) = x 4 b) f (x) = x 2 ln x. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 31 / 34
33 Rozwiazanie a) f (x) = x 4, x R f (x) = 4x 3, f (x) = 12x 2 f (x) = 0 x = 0 Na podstawie wykresu f (x) = 12x 2 stwierdzamy, że f (x) 0 dla x R, zatem f jest wypukła dla x R i punktów przegięcia nie ma. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 32 / 34
34 Rozwiazanie b) f (x) = x 2 ln x, x (0, ) f (x) = 2x ln x + x, f (x) = 2 ln x + 3 f (x) = 0 2 ln x + 3 = 0 ln x = 3 2 x = e 3 2. Zauważmy, że f (x) > 0 2 ln x + 3 > 0 ln x > 3 2 x > e 3 2 f (x) < 0 2 ln x + 3 < 0 ln x < < x < e 3 2 Zatem f jest wypukła dla x > e 3 2 oraz wklęsła dla 0 < x < e 3 2. Punkt x = e 3 2 jest punktem przegięcia. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 33 / 34
35 Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 34 / 34
Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoOtrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na
Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na ograniczenie czasowe chciałam już dziś dać pewne wskazówki i porady,
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoWYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowoTekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie 1. Styczne do krzywej: (a) y = sin x x 0 = π/6 (b) y = x 3 2x 2 + x 1 x 0 = 1 Tą styczną to już gdzieś objaśniałem. Jest to prosta o równaniu
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 6.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6. Dariusz Wrzosek 14 listopada 2018 Matematyka dla biologów Zajęcia 6. 14 listopada 2018 1 / 25 Pochodna funkcji przypomnienie Dzięki pochodnej można określić czy funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 10: WYBRANE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO KOGNITYWISTYKA UAM, 016 017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Dzisiejszy wykład
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoFUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowo