RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

Transkrypt

1 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI

2 Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja 1 Jeżeli istnieje granica ( ( lim ( to nazywamy ją pocodną unkcji w punkcie Jeśli granica ta nie istnieje, to unkcja ( nie posiada pocodnej w punkcie Pocodną unkcji ( w punkcie oznaczamy też symbolem y ( ' Interpretacja geometryczna pocodnej unkcji (

3 Z interpretacji geometrycznej pocodnej unkcji wynika, że ( ( tgβ, gdzie β jest kątem nacylenia siecznej krzywej y ( przecodzącej przez punkty, ( i, (, do osi OX ( ( Biorąc granicę wyrażeń znajdującyc się po obu stronac powyższej równości przy, otrzymujemy tgα, gdzie α jest kątem nacylenia stycznej do krzywej y ( poprowadzonej w punkcie, ( natomiast tgα ( do osi OX jest współczynnikiem kierunkowym tej stycznej.

4 Wniosek 1 Równanie stycznej do krzywej, poprowadzonej w punkcie o odciętej, ma postać gdzie y y (. y (, Deinicja 2 Funkcję ( posiadającą pocodną w punkcie nazywamy różniczkowalną w tym punkcie. Jeśli unkcja ( posiada pocodną w każdym punkcie zbioru D to nazywamy ją różniczkowalną w tym zbiorze. Znajdowanie pocodnyc unkcji nazywamy różniczkowaniem. Pocodną oznaczamy także symbolem y' ( lub krótko y'.

5 Przykład Z deinicji pocodnej wyprowadzić wzory na pocodną jeśli 1. ( sin, R 2. ( log, a >, a 1, > a Podobnie można wyprowadzić wzory na pocodne innyc unkcji. Twierdzenie 1 (wzory podstawowe Prawdziwe są następujące wzory: (Tab.1

6 Twierdzenie 2 (podstawowe Jeżeli unkcje ( oraz ( to w zbiorze tym [ a ( ] a ( g są różniczkowalne dla D, [ ( g( ] ( g ( [ ( g( ] ( g( ( g ( ( ( g( ( g ( g( g 2 ( Jeżeli ponadto 1 jest różniczkowalna na zbiorze D g, to dla ( g( g( g ( [ ] ( D,

7 Deinicja 3 Przyrostem unkcji y ( w punkcie odpowiadającym przyrostowi d argumentu nazywamy liczbę y( ( ( d (. Deinicja 4 Różniczką unkcji ( przyrostowi d y argumentu w punkcie odpowiadającym, nazywamy liczbę dy ( d ( d. Pomiędzy przyrostem i różniczką unkcji zacodzi następująca przybliżona zależność d (, ( skąd otrzymujemy następujące przybliżenie ( d ( d. Interpretacja geometryczna różniczki unkcji: (

8 Deinicja 5 Jeżeli pocodna y ' y ( unkcji jest unkcją ( y '' ( ' różniczkowalną w zbiorze D, to jej pocodną nazywamy pocodną rzędu drugiego unkcji y ( w tym zbiorze i oznaczamy symbolem y' ' lub symbolem ' Podobnie deiniujemy pocodne wyższyc rzędów unkcji y (, czyli pocodną n-tego rzędu unkcji y (, nazywamy pocodną jej pocodnej n-1-go rzędu, tzn. ( n ( n 1 ( n ( n 1 y ( y ' lub ( ( ( ' dla n 1. Obok oznaczeń pocodnyc y', y'', y''', y (4,..., y ( n,... L,, ', '', (,..., ( 4 ( n stosujemy także oznaczenia dy, d y d y d ( d ( d (,,... 2 d d d 3 oraz,,, d d d,...

9 Twierdzenie 3 (reguła de L Hospitala Jeżeli i Funkcje (, g(, i g są określone w pewnym ii sąsiedztwie punktu lim ( lim iii Istnieje granica to istnieje granica i ponadto lim g( lim lim g' ( ( g( ( g( albo lim ( ± i lim g( (właściwa albo niewłaściwa, lim g ±

10 Uwaga Twierdzenie de L Hospitala służy do obliczania granic ilorazów będącyc tzw. symbolami nieoznaczonymi typu oraz typu Jest ono słuszne także w przypadku granic jednostronnyc w punkcie tzn. gdy oraz w przypadkac gdy zmierza do ±, lub Twierdzenie 4 (o monotoniczności unkcji Jeśli > dla każdego ( a, b, to ( jest rosnąca w tym przedziale, natomiast jeśli < dla każdego ( a, b,to jest malejąca w tym przedziale, jeżeli dla każdego ( ( a, b ( ( a, b., to jest stała w przedziale Uzasadnienie: Prawdziwość twierdzenia wynika z interpretacji geometrycznej pocodnej (styczna do wykresu ma dodatni współczynnik kierunkowy dla unkcji rosnącej

11 Deinicja 6 Funkcja ( ma w punkcie maksimum lokalne, gdy dla każdego z pewnego sąsiedztwa tego punktu zacodzi nierówność ( ( Funkcja ( ma w punkcie minimum lokalne, gdy dla każdego z pewnego sąsiedztwa tego punktu zacodzi nierówność ( ( Maksima i minima nazywamy ekstremami. Zamiast ekstremum lokalne mówimy także krótko ekstremum.

12 Twierdzenie 5 (warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli unkcja ( ma ekstremum w punkcie i ma w tym punkcie pocodną pierwszego rzędu, to. Wniosek Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktac, w któryc jej pocodna jest równa zeru, albo w punktac w któryc jej pocodna nie istnieje.

13 Twierdzenie 6 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli unkcja ( posiada w pewnym sąsiedztwie punktu pocodną oraz, to unkcja ( ma w punkcie i minimum lokalne y min (, gdy < dla < oraz > dla > ii maksimum lokalne y ma (, gdy > dla < oraz < dla > (w pewnym sąsiedztwie punktu Uwaga Powyższe twierdzenie oznacza, że na to aby w punkcie unkcja ( posiadała ekstremum lokalne wystarcza aby pocodna pierwszego rzędu była równa zero w tym punkcie i zmieniała w nim znak. Przykład Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema unkcji y e 4 2 2

14 Twierdzenie 7 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli unkcja ( ma w pewnym otoczeniu punktu pocodne ( do rzędu n, pocodna jest ciągła w punkcie, n jest n ( liczbą parzystą, a ponadto ( k ( ( dla k 1,2,..., n 1 oraz n (, to unkcja ( ma w punkcie ( i maksimum lokalne, gdy n ( <, ( ii minimum lokalne, gdy n ( >. Deinicja 7 Ekstremum absolutnym unkcji ( w przedziale domkniętym [a,b] nazywamy jej wartość największą lub odpowiednio wartość najmniejszą w tym przedziale. Wniosek Funkcja ciągła określona w przedziale domkniętym osiąga ekstrema absolutne tylko w punktac, w któryc ma ekstrema lokalne lub na końcac tego przedziału.

15 Deinicja 8 Jeśli styczna do krzywej w każdym punkcie przedziału (a,b znajduje się pod tą krzywą, to krzywą nazywamy wypukłą w dół w tym przedziale. Jeśli natomiast styczna do krzywej w każdym punkcie przedziału (a,b znajduje się nad tą krzywą, to krzywą nazywamy wypukłą w górę w tym przedziale. Twierdzenie 8 (wypukłość krzywej Jeżeli ' > dla każdego ( a, b, to krzywa y ( jest wypukła w dół w przedziale ( a, b ' < ( a, b y ( w górę w przedziale ( a, b dla każdego, to krzywa jest wypukła

16 Deinicja 9 Punkt P (, ( nazywamy punktem przegięcia krzywej y jeżeli i istnieje styczna do tej krzywej w punkcie P ii krzywa ta jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu oraz jest wklęsła w pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu, albo na odwrót. ( Przykład (brak zgodnego z deinicją punktu przegięcia ( ln

17 Twierdzenie 9 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia Jeśli i unkcja ( ma w pewnym otoczeniu punktu pocodną 2-go rzędu ' ciągłą w tym punkcie ii punkt P (, ( jest punktem przegięcia krzywej y ( to '. Twierdzenie 1 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Jeśli i unkcja ( ma w pewnym otoczeniu punktu pocodną 2-go rzędu ' ciągłą w tym punkcie, ii ' ' ( zmienia znak w punkcie, to P (, ( jest punktem przegięcia krzywej y (

18 Twierdzenie 11 (drugi warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia ( ( n ( Jeżeli unkcja ma w pewnym otoczeniu punktu pocodne do rzędu n, pocodna jest ciągła w punkcie, n jest liczbą nieparzystą, a ponadto ( k ( ( dla k 1,2,..., n 1 oraz n (, to jest punktem przegięcia unkcji (.

19 Deinicja 1 Prostą o równaniu y m k nazywamy asymptotą ukośną (poziomą, gdy m gdy m ( lim, (analogicznie dla k lim( ( m Deinicja 11 Prostą o równaniu nazywamy asymptotą pionową, gdy c lim c ( lub lim c (

20 Badanie przebiegu zmienności krzywej 1. Określenie dziedziny (punkty nieciągłości 2. Punkty przecięcia z osiami układu 3. Granice na krańcac dziedziny, prawostronne i lewostronne w punktac nieciągłości 4. Asymptoty ukośne 5. Monotoniczność i ekstrema 6. Przedziały wypukłości i punkty przegięcia 7. Szkic wykresu Przykłady: 1. ( 3 (1 2 D : R \ { 1} 2. g( 2 arcsin 1 2 D g : R

21 Twierdzenie Rolle a Założenia: (i y( jest unkcją ciągłą w przedziale [a,b] (ii y( jest unkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału (a,b (iii (a(b Teza: c ( a, b : c Twierdzenie Caucy ego Założenia: (i y(, yg( są unkcjami ciągłymi w przedziale [a,b] (ii y(, yg( są unkcjami różniczkowalnymi w każdym punkcie przedziału (a,b (iii g ( dla dowolnego ( a, b Teza: ( b ( a c ( a, b : g( b g( a c g' ( c

22 Twierdzenie Lagrange a Założenia: (i y( jest unkcją ciągłą w przedziale [a,b] (ii y( jest unkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału (a,b Teza: ( b ( a c ( a, b : c b a Twierdzenie Taylora Założenia: (i y( jest unkcją n1-krotnie różniczkowalną w każdym punkcie przedziału (a,b ( 1 (ii n ( ciągła w (a,b Teza: c ( a, b: ( b n i ( a ( b a i! ( i i ( c ( b a n 1! ( n 1 ( n 1

23 Wyrażenie R n ( b, a ( c ( b a n 1! ( n 1 ( n 1 nazywamy resztą w postaci Lagrange a. Jeżeli zastosujemy twierdzenie Taylora do unkcji na odcinku [, ], to otrzymane wyrażenie nazywane jest wzorem Maclaurina: ( ( ( n 1 n i ( c ( n 1 i ( i i! n 1! Przykład Rozwinąć według wzoru Taylora unkcję (ln w przedziale [1,2] oraz dla n3 Przykład Obliczyć e z dokładnością do,1

24 Krzywizna krzywej Założenia: (i y( jest unkcją 2-krotnie różniczkowalną w każdym punkcie przedziału (a,b (ii ( ciągła w [a,b] (<a,b> Wiemy, że równanie stycznej do krzywej y( w punkcie gdzie ma postać: (, (, y ( a, b ( ( Prostopadłą do stycznej w punkcie styczności nazywamy normalną do krzywej y( i jej równanie ma postać: y 1 (, (

25 Niec (, (, gdzie ( a, b będzie punktem na krzywej y(. Normalna w punkcie ma postać: y (, ( 1 ( ( Niec normalne do krzywej y( poprowadzone w punktac (, ( (, ( i przecinają w Po rozwiązaniu układu równań: y y ( ( 1 ( 1 ( się w punkcie ( w, y Rys.:(

26 Otrzymujemy: ] ( ( [ ( ] ( ( [ y w w co można zapisać w postaci: y w w ( ( 1 ( ( ( 1

27 Przecodząc do granicy przy otrzymujemy współrzędne środka krzywizny: y s s ( [ ] 1 ' 1 [ ] 2 ' (, ( Odległość punktów i s nazywamy promieniem krzywizny: ( s, y 2 r [ [ ] 2 1 ] ' 3 2

28 Krzywizną krzywej y ( w punkcie (, ( Nazywamy odwrotność promienia krzywizny w tym punkcie: K 1 r ' [ [ ] ] Przykład Znaleźć równanie okręgu krzywiznowego w punkcie, w którym parabola y ma największą krzywiznę