Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Transkrypt

1 Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Pochodna funkcji str. 1/57

2 Iloraz różnicowy Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 r, x 0 + r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadajacym przyrostowi h, gdzie 0 < h < r, nazywamy liczbę f(x 0 + h) f(x 0 ) h. Pochodna funkcji str. 2/57

3 Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x 0, f(x 0 )) oraz (x 0 + h, f(x 0 + h)) do dodatniej półosi Ox. y f(x 0 + h) f(x 0 ) x 0 y = f(x) α x = h x 0 + h f = f(x 0 + h) f(x 0 ) x tg α = f x Pochodna funkcji str. 3/57

4 Pochodna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 r, x 0 + r), gdzie r > 0. Jeżeli istnieje skończona granica lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h. to nazywamy ją pochodna funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0. Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie x 0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x 0. Pochodna funkcji str. 4/57

5 Pochodna funkcji w punkcie f (x 0 ) def = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h f (x 0 ) def = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Przykład: Niech f(x) = x 2. Wtedy f (x 0 ) def (x = lim 0 +h) 2 x 2 0 h 0 h = lim h 0 2x 0 h+h 2 h = 2x 0 lub f (x 0 ) def x = x x0 lim 2 x 2 0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 ) (x+x 0 ) x x 0 = 2x 0 Pochodna funkcji str. 5/57

6 Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0, gdzie c R. (x p ) = px p 1, dla p R, zakres zmienności x zależy od p. ( ) 1 = 1 x x 2, x R \ {0}. ( x ) = 1 2 x, x R +. (sin x) = cos x, x R. (cos x) = sin x, x R. Pochodna funkcji str. 6/57

7 Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (tg x) = 1 cos 2 x, x π 2 + kπ, k Z. (ctg x) = 1 sin 2 x, x kπ, k Z. (a x ) = a x ln a, a > 0, x R. (e x ) = e x, x R. (log a x) = 1 x ln a, x > 0 i 0 < a 1. (ln x) = 1 x, x > 0. Pochodna funkcji str. 7/57

8 Prosta styczna do wykresu funkcji Niech x 0 R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona przynajmniej na przedziale (x 0 r, x 0 + r), gdzie r > 0. Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji przechodzących przez punkty (x 0, f(x 0 )) i (x, f(x)), gdy x x 0. y f(x) y = f(x) sieczne f(x 0 ) styczna x 0 x x Pochodna funkcji str. 8/57

9 Interpretacja geometryczna pochodnej Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) do dodatniej półosi Ox. y y = f(x) f(x 0 ) α x 0 styczna x tg α = f (x 0 ) Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )): y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Pochodna funkcji str. 9/57

10 Przykład Niech f(x) = e x. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x 0 = 0 ma postać: y = x + 1. y y =e x y = x + 1 (0, 1) x Pochodna funkcji str. 10/57

11 Przykład Niech f(x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji f w x 0 = π ma postać: y = π x. 1 y y =sin x π -1 π 2π 3π 4π y = π x x Pochodna funkcji str. 11/57

12 Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach x tego przedziału sa równe f (x) nazywamy pochodna funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f. f : x f (x), x I. Pochodna funkcji str. 12/57

13 Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x 0, to: (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ). (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g 2 (x 0 ), o ile g(x 0 ) 0. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, zaś c R, to (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ). Pochodna funkcji str. 13/57

14 Przykład f(x) = x 4 + 3x 2 1 x + x f (x) = 4x 3 + 6x + 1 x x g(x) = sin x ctg x, x kπ, k Z, ( g (x) = cos x ctg x + sin x 1 ) sin 2 = cos x ctg x 1 x sin x h(x) = x2 1 x 2 + 1, x R, h (x) = 2x (x2 + 1) (x 2 1) 2x (x 2 + 1) 2 = 4x (x 2 + 1) 2 Pochodna funkcji str. 14/57

15 Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f(x 0 ), to funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Przykład: f(x) = sin 3 x f (x) = 3 sin 2 x cos x g(x) = (3x 2 + x + 2) 5, g (x) = 5(3x 2 + x + 2) 4 (6x + 1) Pochodna funkcji str. 15/57

16 Postać logarytmiczno wykładnicza funkcji Każdą funkcję złożoną postaci [f(x)] g(x) można przedstawić w postaci logarytmiczno wykładniczej: [f(x)] g(x) = e g(x) ln f(x). Postać logarytmiczno wykładniczą stosujemy do obliczania pochodnych funkcji danych w postaci [f(x)] g(x). Przykład: f(x) = x x = e x ln x f (x) = e x ln x (ln x + x 1 x ) = xx (ln x + 1) Pochodna funkcji str. 16/57

17 Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej Niech x 0 D f. Niech f będzie funkcją ciągłą i różnowartościową w otoczeniu punktu x 0 oraz taką, że f (x 0 ) 0. Wówczas gdzie y 0 = f(x 0 ). ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ), Pochodna funkcji str. 17/57

18 Pochodne funkcji cyklometrycznych (arc sin x) = 1 1 x 2, x ( 1, 1). (arc cos x) = 1 1 x 2, x ( 1, 1). (arc tg x) = x 2, x R. (arc ctg x) = x 2, x R. Pochodna funkcji str. 18/57

19 Różniczka funkcji Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu x 0. Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą (jest różniczkowalna) w punkcie x 0. Różniczka funkcji f w punkcie x 0 nazywamy funkcję zmiennych x określoną wzorem: df(x 0 )( x) def = f (x 0 ) x. Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df(x 0 ) lub krótko df. Pochodna funkcji str. 19/57

20 Różniczka i obliczenia przybliżone Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x 0. Wtedy f(x 0 + x) f(x 0 ) + f (x 0 ) x, przy czym błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji f jej różniczką df = f (x) x dąży szybciej do zera niż x, tzn. lim x 0 f df x = 0. Pochodna funkcji str. 20/57

21 Różniczka i obliczenia przybliżone y y = f(x) f(x 0 ) x 0 x df f x Pochodna funkcji str. 21/57

22 Przykład Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia 15,96. Definiujemy funkcję f(x) = x. Przyjmujemy x 0 =16 x= 0,04. Ponieważ df dx = f (x) = 1 2 x,więc 15, ( 0,04) = 3,995. Pochodna funkcji str. 22/57

23 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizyczne x i y będą związane zależnością y = f(x). Ponadto niech x oznacza błąd bezwzględny pomiaru wielkości x. Wtedy błąd bezwzględny y obliczeń wielkości y wyraża się wzorem przybliżonym y f (x 0 ) x, gdzie x 0 jest wynikiem pomiaru wielkości x, przy czym f (x 0 ) jest właściwa. Pochodna funkcji str. 23/57

24 Przykład Czas w biegu na 100 m mierzy się z dokładnością t = 0,01 s. Zawodnik uzyskał 10 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć prędkość V tego zawodnika? Ponieważ V = 100 t, więc V (t) = 100 t 2, więc V V (10) t = 100 [ ,01 = 0,01 m s ]. Pochodna funkcji str. 24/57

25 Zwiazek różniczkowalności z ciagłości a funkcji Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, to jest w tym punkcie ciągła. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja f(x) = x jest ciągła w punkcie x 0 = 0, ale f (0) nie istnieje. y 2 y = x x Pochodna funkcji str. 25/57

26 Zwiazek różniczkowalności z monotonicznościa funkcji Twierdzenie: Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x I funkcja f spełnia warunek: f (x) = 0, to funkcja f jest stała na I; f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca na I; f (x) 0, to funkcja f jest niemalejąca na I; f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca na I; f (x) 0, to funkcja f jest nierosnąca na I. Pochodna funkcji str. 26/57

27 Pochodne wyższych rzędów Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie x 0 definiujemy indukcyjnie f (n) (x 0 ) = ( f (n 1)) (x0 ), dla n 1. Przyjmujemy, że f (0) (x 0 ) = f(x 0 ) i f (1) (x 0 ) = f (x 0 ). Piszemy: f (2) = f, f (3) = f, f (4) = f IV lub f (1) = f, f (2) = f lub f (n) = dn f dx n. Pochodna funkcji str. 27/57

28 Definicja minimum funkcji Funkcja f ma w punkcie x 0 D f minimum lokalne, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) f(x 0 ). Funkcja f ma w punkcie x 0 D f minimum lokalne właściwe, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) > f(x 0 ). Pochodna funkcji str. 28/57

29 Definicja maksimum funkcji Funkcja f ma w punkcie x 0 D f maksimum lokalne, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) f(x 0 ). Funkcja f ma w punkcie x 0 D f maksimum lokalne właściwe, jeżeli δ>0 x S(x 0,δ) f(x) < f(x 0 ). Pochodna funkcji str. 29/57

30 Ekstrema funkcji Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYMI. Pochodna funkcji str. 30/57

31 Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie (Fermata): Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to f (x 0 ) = 0. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład dla funkcji f(x) = x 3 mamy f (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie x 0 = 0. y y = x 3 x Pochodna funkcji str. 31/57

32 Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0, ciągła w punkcie x 0 i różniczkowalna przynajmniej w sąsiedztwie punktu x 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że x (x 0 δ,x 0 ) f (x) > 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) < 0 to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe. Pochodna funkcji str. 32/57

33 Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0, ciągłą w punkcie x 0 i różniczkowalną przynajmniej w sąsiedztwie punktu x 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że x (x 0 δ,x 0 ) f (x) < 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) > 0 to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe. Pochodna funkcji str. 33/57

34 II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0. Jeżeli 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, 2 f (n) (x 0 ) 0, to, gdy n > 2 jest parzyste, funkcja f osiąga w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to minimum, gdy f (n) (x 0 ) > 0, zaś maksimum gdy f (n) (x 0 ) < 0. Gdy n jest nieparzyste, ekstremum nie występuje. Pochodna funkcji str. 34/57

35 Minimum globalne Liczba m jest najmniejsza wartościa funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt x 0 A, taki że i dla każdego x A Liczbę m nazywamy f(x 0 ) = m f(x) f(x 0 ) = m. minimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Pochodna funkcji str. 35/57

36 Maksimum globalne Liczba M jest największa wartościa funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt x 0 A, taki że i dla każdego x A Liczbę M nazywamy f(x 0 ) = M f(x) f(x 0 ) = M. maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Pochodna funkcji str. 36/57

37 Ekstrema globalne Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Pochodna funkcji str. 37/57

38 Ekstrema globalne Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn. punktów x k, w których f (x k ) = 0 lub f (x k ) nie istnieje. Jeżeli f jest funkcja ciagł a na domkniętym i ograniczonym zbiorze A, to funkcja f osiaga na A wartość najmniejsza i największa. Pochodna funkcji str. 38/57

39 Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krytycznych, tzn. punktów x k, w których f (x k ) = 0 lub f (x k ) nie istnieje. Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy postępując według algorytmu: Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnątrz przedziału A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach. Obliczmy f(a) i f(b). Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą. Pochodna funkcji str. 39/57

40 Przykład Niech f : A R R i f(x, y) = x 1, gdzie A = 0, 3. x = 1 jest punktem krytycznym funkcji f, gdyż f (1) nie istnieje. Wtedy f(1) = 0. f(0) = 1 i f(3) = 2. Wówczas m = f najmniejsze = 0 i M = f największe = 2. Pochodna funkcji str. 40/57

41 Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji Twierdzenie (Reguła de l Hospitala): Niech funkcje f i g spełniają warunki: 1 funkcje f,g i f, g będą określone w sąsiedztwie punktu x 0 1 lim f(x) = lim g(x) = 0 albo lim f(x) = lim g(x) = x x0 x x0 x x0 x x0 3 istnieje granica Wówczas istnieje granica f (x) x x0 lim g (x) = a. f(x) x x0 lim g(x) oraz f(x) lim x x 0 g(x) = a. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz dla granic w + lub w. Pochodna funkcji str. 41/57

42 Funkcja wypukła Funkcje f nazywamy wypukła na przedziale (a, b) R wtedy i tylko wtedy, gdy a<x 1 <x 2 <b 0<t<1 f(tx 1 + (1 t)x 2 ) < tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ). Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wypukła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży powyżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna. Pochodna funkcji str. 42/57

43 Funkcja wklęsła Funkcje f nazywamy wklęsła na przedziale (a, b) R wtedy i tylko wtedy, gdy a<x 1 <x 2 <b 0<t<1 f(tx 1 + (1 t)x 2 ) > tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ). Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każdy odcinek siecznej wykresu leży poniżej fragmentu wykresu położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna. Pochodna funkcji str. 43/57

44 Warunki wystarczajace wypukłości i wklęsłości Twierdzenie: Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b). Twierdzenie: Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). Pochodna funkcji str. 44/57

45 Punkt przegięcia wykresu funkcji Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna przynajmniej w otoczeniu punktu x 0. Punkt (x 0, f(x 0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz wklęsła na (x 0, x 0 + δ) lub odwrotnie. Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia: Twierdzenie: Jeżeli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu w punkcie x 0 oraz posiada w punkcie (x 0, f(x 0 )) punkt przegięcia, to f (x 0 ) = 0. Pochodna funkcji str. 45/57

46 Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0, ciągłą i różniczkowalną w punkcie x 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że x (x 0 δ,x 0 ) f (x) < 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) > 0 lub x (x 0 δ,x 0 ) f (x) > 0 oraz x (x 0,x 0 +δ) f (x) < 0 to w punkcie (x 0, f(x 0 )) funkcja f ma punkt przegięcia. Pochodna funkcji str. 46/57

47 II warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia Twierdzenie: Niech x 0 R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x 0. Jeżeli 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, 2 f (n) (x 0 ) 0, to, gdy n > 3 jest nieparzyste, funkcja f ma w punkcie (x 0, f(x 0 )) punkt przegięcia.. Pochodna funkcji str. 47/57

48 Pochodne a wykres funkcji f f f min. lok max. lok Uwaga: Jeżeli f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to x 0 jest punktem przegięcia się wykresu funkcji f. Pochodna funkcji str. 48/57

49 Badanie funkcji Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie następujących czynności: 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji. 2. Wskazanie podstawowych własności: (a) parzystość lub nieparzystość (b) okresowość (c) miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX) i punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OY (d) ciągłość 3. Zbadanie zachowania się funkcji na "końcach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji. 4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji. 5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji. 6. Sporządzenie wykresu funkcji. Pochodna funkcji str. 49/57

50 Przykład Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej wzorem: f(x) = x3 + 4 x D f = R \ {0} = (, 0) (0, + ). 2. Podstawowe własności funkcji f: (a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta. (b) f nie jest funkcją okresową. (c) f(x) = 0 x = 0 x = 3 4, zatem P 0 ( 3 4, 0) jest punktem przecięcia wykresu funkcji z osią OX; brak punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OY. (d) f jest ciągła w swojej dziedzinie. Pochodna funkcji str. 50/57

51 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 3. Ponieważ lim x 0 x x 2 = [ ] = +, więc prosta x = 0 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f. Ponieważ lim x ± x x 2 = ±, więc wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych. Pochodna funkcji str. 51/57

52 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 Zbadajmy istnienie asymptot ukośnych y = ax + b: a = lim x ± f(x) x = lim x ± x x 3 = lim x ± x 3 1 = 1, b = lim x ± [f(x) ax] = lim = lim x ± x ± x x 3 [ x x 2 x 2 = lim x ± ] x 4 x 2 = [ ] 4 = 0. Istnieje więc jedna asymptota ukośna o równaniu y = x. Pochodna funkcji str. 52/57

53 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 4. Monotoniczność i ekstrema: f (x) = 1 8 x 3 = x3 8 x 3, x 0. f (x) = 0 x = 2. f f min. lok Ponadto f min (2) = 3. Pochodna funkcji str. 53/57

54 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 5. Wklęsłość i wypukłość: f (x) = 24 x 4, x 0. Zauważmy, że dla każdego x 0 mamy f (x) > 0. f f Zatem wykres nie posiada punktów przegięcia jest to wykres wypukły. Pochodna funkcji str. 54/57

55 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x 2 x (, 3 4 ) 3 4 ( 3 4, 0 ) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f f f y = x y = x Pochodna funkcji str. 55/57

56 Przykład c.d. f(x) = x3 +4 x y y = x3 + 4 x x -3 Pochodna funkcji str. 56/57

57 Dziękuję za uwagę Pochodna funkcji str. 57/57