9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Transkrypt

1 BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego punktu z sąsiedztwa punktu 0 zachodzi f( 0 ) > f() (f( 0 ) < f() ) Wyznaczanie ekstremum funkcji oraz przedziałów monotoniczności funkcji opiera się na następujących twierdzeniach: Jeżeli pochodna jest w pewnym przedziale dodatnia (ujemna), to funkcja jest w tym przedziale rosnąca (malejąca) Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero lub nie istnieje Jeżeli pochodna f przy przejściu przez punkt 0 zmienia znak z dodatniego (+) na ujemny ( ), to funkcja f osiąga w punkcie 0 maksimum lokalne Jeżeli pochodna f przy przejściu przez punkt 0 zmienia znak z ujemnego ( ) na dodatni (+), to funkcja f osiąga w punkcie 0 minimum lokalne Jeżeli f ( 0 ) f ( 0 ) f (n-) ( 0 ) 0 i f (n) ( 0 ) < 0 ( f (n) ( 0 ) > 0 ) oraz n jest liczbą parzystą, to funkcja ma w 0 maksimum lokalne ( minimum lokalne)

2 Przykład Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały monotoniczności funkcji f ( ) + 4 Rozwiązanie jest zbiór liczb rzeczywistych, tzn D f R + 4 Obliczamy pochodną funkcji : Dziedziną funkcji f ( ) ' ( ) ( + 4) ( + 4) ' 4 ( + 4) ( + 4) f' Tutaj D f D f Szukamy miejsc zerowych pochodnej rozwiązując równanie f' ( ) 0 4 ( + 4) Ponieważ f () < 0 dla (, ) i (,+ ) oraz f () > 0 dla ( ; ) to funkcja jest malejąca w przedziałach(,),(,+ ) przedziale ( ;) Pochodna przy przejściu przez zmienia znak z ( ) na (+), natomiast przy przejściu przez zmienia znak z (+) na ( ) Oznacza to, że lub i rosnąca w funkcja ma w punkcie posiada minimum lokalne f ( ) natomiast w punkcie funkcja posiada maksimum lokalne ( ) f ma 4 min, 4

3 Wartość największa i najmniejsza funkcji w zbiorze Wyznaczając wartość największą (najmniejszą) funkcji w przedziale [a, b] D f postępujemy według schematu: Wyliczamy miejsca zerowe pierwszej pochodnej i do dalszych obliczeń bierzemy tylko te, które należą do przedziału [a, b] Obliczamy wartość funkcji w punktach wyznaczonych w podpunkcie oraz w punktach a i b Z wyliczonych wartości wybieramy największą (najmniejszą) Uwaga! Funkcja rosnąca w przedziale [a, b] przyjmuje wartość najmniejszą w punkcie a, natomiast największą w punkcie b Dla funkcji malejącej jest odwrotnie Przykład Wydajność pracownika w ciągu 8 godzinnego dnia pracy dana jest wzorem t W ( t) 00 t e W której godzinie pracy pracownik ma największą wydajność? Rozwiązanie Tutaj dla W t ( t) 00 t e mamy, że t [ 0, 8] t ( t) W' ( t) 00e rozwiązujemy równanie t Po wyliczeniu pochodnej ( t) 0 t W' ( t) 0 00e Następnie wyliczamy wartość funkcji na krańcach przedziału oraz dla t f ( 0) 0 < f 8 ( 8) 800e < f ( ) 00e Tak więc największą wydajność osiąga pracownik dla t

4 Punkty przegięcia, przedziały wypukłości Mówimy, że funkcja f jest wypukła w dół (wypukła w górę) w przedziale a, b D, gdy wykres funkcji znajduje się całkowicie poniżej (powyżej) [ ] f dowolnej cięciwy o końcach P ( ) i P ( ) oraz y f( ) i y f( ) y y, gdzie a < < < b a) b) P P P P Rys Przykład funkcji a) wypukłej w dół, b) wypukłej w górę Punktem przegięcia wykresu funkcji nazywamy taki punkt, w którym styczna do wykresu przechodzi z jednej strony wykresu na drugą Wyznaczanie punktów przegięcia oraz przedziałów wypukłości funkcji opiera się na następujących twierdzeniach: Jeżeli druga pochodna jest w pewnym przedziale dodatnia (ujemna), to funkcja jest w tym przedziale wypukła w dół (wypukła w górę) Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których jej druga pochodna równa się zero lub nie istnieje Jeżeli druga pochodna f przy przejściu przez punkt 0 zmienia znak, to wykres funkcji ma w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięcia 4 Jeżeli f ( 0 ) f ( 0 ) f (n ) ( 0 ) 0 i f (n) ( 0 ) 0 oraz n jest liczbą nieparzystą, to funkcja ma w punkcie ( 0,f( 0 )) punkt przegięcia 4

5 Przykład Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości funkcji ( ) f e Rozwiązanie Dziedziną funkcji ( ) f e jest zbiór liczb rzeczywistych, tzn D f R Obliczamy pierwszą, a następnie drugą pochodną funkcji: f'' f' ( ) e, 4 5 ( ) ( ) e e e Tutaj D f R {0} Szukamy miejsc zerowych drugiej pochodnej rozwiązując równanie: f'' Ponieważ ( ) ( ) 0 e f () < 0 dla ( 0, 8) oraz f () > 0 dla (,0 ) i ( 8,+ ), to funkcja jest wypukła w górę w przedziale( 0, 8),0 8,+ i wypukła w dół w przedziałach ( ),( ) Druga pochodna przy przejściu przez punkty 0 i 8 zmienia znak, co 8, e punkty przegięcia oznacza, że funkcja ma w punktach ( ) 0, i ( ) 5

6 4 Badanie przebiegu zmienności funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji można przeprowadzić według schematu: Określenie dla funkcji: a) dziedziny, b) granic na krańcach przedziałów określoności funkcji, c) asymptot, d) jej własności, np parzystości, okresowości, miejsc zerowych, punktów przecięcia z osią OY Obliczenie pierwszej pochodnej oraz wyznaczenie: a) przedziałów monotoniczności funkcji, b) ekstremów funkcji Obliczenie drugiej pochodnej oraz wyznaczenie: a) przedziałów wypukłości funkcji, b) punktów przegięcia wykresu funkcji 4 Sporządzenie tabelki 5 Sporządzenie wykresu funkcji Uwaga! Jeżeli rachunki są zbyt trudne, to można zrezygnować z podpunktu oraz d) Również sporządzenie tabelki nie jest zawsze konieczne Przykład Zbadać przebieg zmienności funkcji f ( ) Rozwiązanie Dziedziną funkcji f ( ) jest zbiór D f,,, + ( ) ( ) ( ) 6

7 Liczymy granice lim lim, ± ± lim i lim, + 0 lim i lim Stąd prosta y jest asymptotą poziomą, a proste i są asymptotami pionowymi obustronnymi Obliczając pierwszą pochodną funkcji mamy 0 f' ( ) ( ) Dziedzina pochodnej jest taka sama jak dziedzina funkcji, tzn D f D f, a 0 jest miejscem zerowym pierwszej pochodnej Ponieważ f () < 0 dla ( 0; ) i (,+ ) oraz f () > 0 dla (, ) i ( ; 0), to funkcja jest malejąca w przedziałach ( 0; ), (,+ ) przedziałach (, ), ( ;0) i rosnąca w Ponadto pochodna zmienia znak przy przejściu przez punkt 0 z (+) na ( ), tak więc funkcja posiada w punkcie 0 maksimum lokalne: f 0 ( ) 4 ma Druga pochodna funkcji jest równa f ' ( ) + ' 0 oraz D f D f ( ) i druga pochodna nie ma miejsc zerowych Ponieważ f '' ( ) < 0 dla ( ; ) oraz f '' ( ) > 0 dla (, ) i (,+ ), to funkcja jest ; i wypukła w dół w przedziałach,+ wypukła do góry w przedziale ( ) (, ),( ) 7

8 Sporządzamy tabelkę: (, ) (,0 ) 0 ( 0, ) (,+ ) f '' () + + f ' () f () Wykres funkcji f ( ) + 4 jest następujący: Zadania Wykazać, że funkcje: a) y ln, b) Rys Wykres funkcji f ( ) są rosnące w swojej dziedzinie Wskazówka Zbadać znak pierwszej pochodnej Wykazać, że funkcje: a) y e, c) y, c) y , y, d) są malejące w swojej dziedzinie Wskazówka Zbadać znak pierwszej pochodnej y dla <, +

9 Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały monotoniczności funkcji: 4 8 a) y + 5, b) y +, c) y ( 8), d) y, e) y, f) y +, Wyznaczyć najmniejszą i największa wartość funkcji w danym przedziale: 4 a) y + 5, [ ; ], b) y e, ;, 5 Wykazać, że funkcje: a) y +, b) y e, c) y, są wypukłe w górę w swoich dziedzinach Wskazówka Zbadać znak drugiej pochodnej 6 Wykazać, że funkcje: a) y 6, b) y + 7, c) są wypukłe w dół w swoich dziedzinach Wskazówka Zbadać znak drugiej pochodnej y, 7 Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: 4 a) y , b) y + 6 +, c) y, d) y, e) y ln ( + + 5), + 8 Zbadać przebieg zmienności funkcji oraz narysować jej wykres: 4 a) y 8 +, b) y , c) y, r Figura płaska ma kształt taki jak na rysunku : Znaleźć a) największe pole figury przy stałym jej obwodzie k, b) najmniejszy obwód figury przy stałym polu S b rysunek