Pochodna funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

1 Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 ) = lim 0 + ) f( 0 ) f( = lim 0 ) f() to funkcję f() nazywamy różniczkowalną w punkcie 0, a granicę f ( 0 ) pochodną funkcji f() w punkcie 0. Def. (pochodnej jednostronnej) Pochodną prawostronną (lewostronną) funkcji f w punkcie 0 nazywamy granicę prawostronną (lewostronną) ilorazu różnicowego f() f( 0 ) 0 i oznaczamy odpowiednio przez f +( 0 ), ( f ( 0 ) ). Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej: Funkcja f ma pochodną w punkcie 0 wtw, gdy Pochodne funkcji elementarnych: f +( 0 ) = f +( 0 ). Lp. Wzór Wzór Uwagi. (c) = 0 c R. ( α ) = α α ( α ) = α α α R \ {0, } 3. ( n ) ) = n = n n n ( 4. (sin ) = cos (sin ) = (cos ) 5. (cos ) = sin (cos ) = ( sin ) 6. (tg ) = cos (tg ) = cos 7. (ctg ) = sin (ctg ) = sin n n n n N \ {0, }; > 0 π + kπ, k N kπ, k N 8. (a ) = a ln a (a ) = a ln a a > 0 9. (e ) = e (e ) = e 0. (ln ) = (ln ) = > 0. (log a ) = (log ln a a ) =. (arcsin ) = (arcsin ) = ln a a > 0, a 0; > 0 < 3. (arccos ) = (arccos ) = < 4. (arctg ) = (arctg ) = (arcctg ) = (arcctg ) = + + Podstawowe wzory rachunku różniczkowego: Jeśli funkcje f, g : D R, D R są różniczkowalne w punkcie 0 D to funkcje f + g, f g, f g, f g (o ile g( 0 ) 0) są różniczkowalne w 0 D oraz zachodzą wzory: ) (f ± g) ( 0 ) = f ( 0 ) ± g ( 0 ), ) (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0 ) g ( 0 ), 3) ( f g ) (0 ) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) g ( 0 ), o ile g( 0 ) 0

2 4) (f g) ( 0 ) = g (f( 0 ))f ( 0 ), 5) f (f( 0 )) = f ( 0 ) o ile f ( 0 ) 0. Reguła de L Hospitala: Jeśli funkcje f, g : D R, D R są określone i różniczkowalne w jednym ze zbiorów postaci: ) D := (a, 0 ) a < 0 +, ) D := ( 0, b) 0 < b +, 3) D := (a, 0 ) ( 0, b) a < 0 < b + oraz g ( 0 ) 0 dla każdego D i istnieją granice: f lim () g () 0 f() R to istnieje granica lim i g() 0 f() lim 0 g() = lim f () 0 g (). lim f() = lim g() = {0,, + } oraz 0 0 Rodzaj przekształceń wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomocą reguły L Hospitala Rodzaj nieoznaczoności Stosowane przekształcenie Otrzymana nieoznaczoność 0 f g = f g lub f g = g f 0 0 lub f g = g f fg 0 0, 0, 0 0 f g = e g ln f 0 Równanie stycznej do wykresu funkcji: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 to istnieje niepionowa styczna do wykresu funkcji f w punkcie ( 0, y 0 ) postaci: y y 0 = f ( 0 )( 0 ). Kąt przecięcia dwóch funkcji : Jeżeli funkcje f i g posiadają punkt wspólny ( 0, y 0 ) oraz mają w tym punkcie pochodne właściwe to ostry kąt φ miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie 0 wyraża się wzorem φ = arctan f ( 0 ) g ( 0 ) + f ( 0 ) g ( 0 ). W przypadku gdy + f ( 0 ) g ( 0 ) = 0 to styczne te są prostopadłe. Uwaga: Ostry kąt φ miedzy stycznymi do wykresów funkcji w punkcie 0 możemy również liczyć ze wzoru: φ = β α, gdzie α to kąt pomiędzy styczną do funkcji f w punkcie 0 a dodatnim kierunkiem osi O; β to kąt pomiędzy styczną do funkcji g w punkcie 0 a dodatnim kierunkiem osi O.

3 Badanie przebiegu zmienności funkcji (etapy): ) wyznacz dziedzinę funkcji, ) zbadaj podstawowe własności funkcji tj. parzystość, nieparzystość, okresowość, punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych, 3) wyznacz asymptoty (pionowe, poziome, ukośne) oraz oblicz granice na krańcach przedziału określoności i w otoczeniu punktów nieciągłości (granice jednostronne), 4) zbadaj pierwszą pochodną, a) oblicz pochodną funkcji, b) wyznacz miejsce zerowe-tu mogą być ekstrema lokalne funkcji, c) określ znak pochodnej wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji, 5) zbadaj drugą pochodną; a) wyznacz miejsca zerowe- tu mogą być punkty przegięcia, b) określ znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia funkcji, 6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7) sporządź wykresu funkcji. Twierdzenie Lagrange a: Jeśli funkcja f : [a, b] R, gdzie [a, b] R jest ciągła w [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b) to istnieje c (a, b) taka, że f (c) = f(b) f(a) a b. Wzór Taylora: Jeżeli funkcja f() ma n tą pochodną f (n) () w pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt 0, wówczas dla każdego z tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora: f() = f( 0 ) + f ( 0 ) (! 0 ) + f ( 0 ) (! 0 ) f (n ) ( 0 ) ( (n )! 0 ) n + f (n) (c n) ( n! 0 ) n, gdzie 0 < c n < gdy > 0 lub < c n < 0 gdy < 0. Ostatni wyraz we wzorze Taylora oznaczamy przez R n i nazywamy resztą wzoru Taylora(podana wyżej reszta to reszta Lagrange a). Wzór postaci: f() = f( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) f (n ) ( 0 ) (n )! ( 0 ) n + + f (n) ( 0 ) n! ( 0 ) n +... nazywamy szeregiem Taylora. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy 0 = 0 otrzymamy tzw. wzór Maclaurina. Twierdzenie: Funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora w przedziale( 0 δ, 0 + δ), δ > 0, jeżeli wewnątrz tego przedziału: a) funkcja ma pochodne każdego rzędu, b) lim n R n = 0, gdzie R n oznacza resztę szeregu ze wzoru Taylora. 3

4 . Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f() = ; 0 R, b) f() = sin ; 0 R, d) f() = ; 0. e) f() = ; 0 =, f) f() = = ; g) f() = +sin sin 0 = 0.. Korzystając z definicji pochodnych jednostronnych sprawdzić czy istnieją pochodne funkcji: a) f() = w punkcie 0 = 0; b) f() = w punkcie 0 = Korzystając ze wzorów na pochodną funkcji elementarnych, oblicz: (a) f() = (b) f() = (c) f() = 5 3 (d) f() = (4 )( + ) (e) f() = 3 (f) f() = (g) f() = (5 5 ) 0 (h) f() = (i) f() = + 0 (j) f() = cos (k) f() = e +4 (l) f() = tan (3 4) (m) f() = ln 3+4 sin +cos (n) f() = (o) f() = log + sin cos 5 (p) f() = 3 + (q) f() = ln 3 (r) f() = 5 sin (s) f() = 3 (t) f() = arctan(ln ) (u) f() = 6 arctg 3 (v) f() = ( ) ln arcctg (w) f() = ln () f() = e + (y) f() = ln arctg e +sin (z) f() = ln (a) f() = e 3 sin arcctg 3 (b) f() = e 4 ( 3 + ) 3 sin (c) f() = e arccos +ln( ) (d) f() = log (e + ) (e) f() = ( + 5) ln( + + ) (f) f() = 3 arcsin (g) f() = (3 + )( + ) ln( ) (h) f() = 5 sin +tan cot ln e (i) f() = log ( 4 + ) + 4 sin(ln ) (j) f() = 6 (+4) Obliczyć pochodne : a) f() = ln b) f() = c) f() = 0 3 d) f() = (tg ) cos e) f() = f) f() = ln g) f() = log sin h) f() =. log e Wskazówka: w podpunktach a-f wykorzystać metodę pochodnej logarytmicznej, w podpunktach g-h zamianę podstawy logarytmu. 5. Oblicz pochodną aż do 6 rzędu z funkcji: a) y = 4 + 4, b) y = , c) y = cos. 6. Oblicz podane granice korzystając z reguły de L Hospitala: a) lim 4, sin 5 sin b) lim, c) lim, 0 0 sin 3 e) lim + ln i) lim +( )e, f) lim +, m) lim tg ln, , g) lim + k) lim j) lim ( ), 0 sin n) lim 0 (e + ), o) lim + 4 e, sin d) lim 0 h) lim ln, + 0 3,, l) lim + ( e ), ( arctg ) p) lim (tg )tg π π 7. Napisz równanie stycznej do wykresu danej funkcji w podanym punkcie: a) y = + 5, ( 0, y 0 ) = (, 5), b) y = 3 4, ( 3 0, y 0 ) = (, ), c) y = + 3, gdy y 0 = 3, d) y = + 5; gdy 0 =. 8. Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji: a) f() = , g() = + 4; b) f() =, g() = 4. 4

5 9. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczność poniższych funkcji: a) f() = 3 +, b) f() = , c) f() = (+) +3 e) f() = 4 +4 f) f() = e g) f() = e 0. Znaleźć ekstrema następujących funkcji i wyznaczyć asymptoty. a) f() = e, b) f() = 6, c) f() = ++4 ( ) ln 3 +, d) f() = ln. Określ przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) f() = +, b) f() = , c) f() = ln, d) f() = arctg.. Wyznacz ekstrema globalne funkcji na odpowiednich przedziałach: a) f() = 3 3 +, [0, 0], b) f() = + 4, [ 4, ]. 3. Znajdź wszystkie możliwe asymptoty podanych funkcji: a) f() = arctg, b) f() = ln ln, c) f() = arctg, d) f() = + 4. Narysuj wykres funkcji w oparciu o podane w tabeli informacje : a) (, ) (, + ) + y 0 + X - 0 y + X + X y 0 oraz lim f() = +, lim b) f() = 3, f +() =. + (, ) (, 0) 0 (0, 3/) 3/ (3/, + ) + y 0 + X y 0 + X y X 0-4 oraz c) lim f() = +, lim f() = lim + (f() + + 3) = 0. + oraz (, ) (, 0) 0 (0, ) (, + ) + y X y X y lim (f() ) = 0, lim (f() + ) = Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a)f() = 4 b)f() = ln( + ), c) f() = , d) f() = 3 3, e) f() = e, f) f() = ( + ) 4 e. 5

6 6. Używając twierdzenia Lagrange a wykazać, że sin sin y y 7. Wykazać, że równanie = 0 ma tylko jeden pierwiastek Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych funkcji: a) , b) arctg, 005, c) sin 9 0, e) e 0,04, f) 3,98 9. Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange a dla podanej funkcji, wskazanego punktu 0 i liczby n : a) f() = sin, 0 = 0, n = 5, b) f() = e, 0 = 0, n = 5, 0. Rozwiń w szereg Taylora funkcję f() = w otoczeniu punktu =.. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcję f() = ln( + ).. Stosując wzory Maclaurina oblicz: a) e z dokładnością 0, b) ln. z dokładnością Oblicz jaki kąt tworzy z osią OX styczna do krzywej y = 3 6 w =. 4. Punkt materialny porusza się ze zmienną prędkością. Położenie tego punktu w chwili t jest opisane wzorem (t) = 3 t + 3t. Oblicz przyśpieszenie punktu w chwili, w której jego prędkość jest równa Wytrzymałość belki o przekroju prostokątnym jest proporcjonalna do długości podstawy tego przekroju i proporcjonalna do kwadratu wysokości. Jak należy wyciąć belkę o największej wytrzymałości z pnia o średnicy 30cm? 6. Wśród wszystkich prostokątów o danym polu S znajdź ten o najmniejszym obwodzie. 7. Wśród wszystkich prostokątów o danym polu S znajdź ten o najmniejszej przekątnej. 8. Wśród wszystkich prostokątów wpisanych w okrąg o promieniu R znajdź ten o największym polu. 9. Znajdź największa objętość stożka o zadanej tworzącej l. 30. Policzyć największa objętość walca, którego całkowita powierzchnia jest równa S. 6