Analiza Matematyczna MAEW101

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 006 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

2 Lista. Zadanie. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic oraz o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć podane granice (a) n n 3 + n + n 3n 3 (n 0 + ) 3 (b) n (n 3 + ) 0 n n3 + 3 n5 + + (d) n ( n + 4n + n + n) (e) n ( 4 n n) ( 3 5 n + n + 3 (f) n 5 n 4 n (g) n 3 8 n+ + 3 n + ) 5 (h) n (n 4 3n 3 n ) ( ) n + n (i) n n (j) n (n + )! n! + Zadanie. Korzystając z twierdzeń o trzech i o dwóch ciągach znaleźć podane granice n (a) n n + 3 n 5 n + 4 n (b) n n n n + n ( ) 3 n n n3 + n (d) n n + ( ) n 3n + (e) n (sin n! )n (f) n n Zadanie.3 Korzystając z definicji liczby e obliczyć podane granice ( 5n + (a) n 5n + ( ) 3n n (b) n 3n + n ( n n + ) 5n ) n

3 3 Lista. Zadanie. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic oraz o granicach niewłaściwych funkcji obliczyć podane granice (a) x x 5x + 4 x(x 5) (b) x x + 3 x + x x 3 x 4 3 x 4 (d) x 64 x 8 (e) + x x x (f) x 6 (g) x x 6 tg x + x π tg x + 5 (h) x ( x + x) (i) x (4x4 3x 3 + x x + ) ( (j) x ) x (k) x 3x + x + x + Zadanie. Korzystając z twierdzeń o trzech i o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości: + sin x (a) = 0 (d) x = 0 x x x (b) x + sin x x x + cos x = ( ) x cos = 0 + x (e) x x + x (f) = ( ( )) 3 cos x x = 3 Zadanie.3 Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice funkcji (a) sin (3x) x (b) e 3x sin(x) (d) + x 4 x ln( + x ) x 3 x (e) ( + sin x) /(3x) Zadanie.4 Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją podane granice funkcji (a) x x 4 x (b) x 3 Zadanie.5 Uzasadnić, że podane granice nie istnieją (a) x e x cos x (b) + sin ( ) x x x 3 x 3

4 4 Lista 3. Zadanie 3. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji (a) f(x) = x3 + x x 4 (b) f(x) = sin x x π f(x) = x 3 9 x Zadanie 3. Zbadać ciągłość podanej funkcji we wskazanym punkcie, przy czym w przypadku nieciągłości określić jej rodzaj: ( x cos dla x < 0 x) (a) f(x) = 0 dla x = 0 ( ) x sin x dla x > 0 x 0 = 0 (b) f(x) = x 0 = x x dla x (0, ) (, ) 3 dla x = e x + f(x) = e x + dla x 0 e dla x = 0, x 0 = 0 x + x dla x 0 (d) f(x) = x 0 dla x = 0 x 0 = 0 Zadanie 3.3 Dobrać parametry a, b R tak, aby podana funkcja była ciągła w obu wskazanych punktach: dla x 0 (a) f(x) = a x + b dla 0 < x <, x = 0 oraz w x = 3 dla x (b) f(x) = { x + ax + b dla x < x x 4 dla x, x = oraz w x = Zadanie 3.4 Korzystając z twierdzenia Darboux uzasadnić, że podane równanie ma jednoznaczne rozwiązanie we wskazanym przedziale. W punkcie wyznaczyć to rozwiązanie z dokładnością 0,5. (a) x 3 + 6x = 0, (0, ) (b) = sin x + x, 3 x + x = 3, (0, ) ( 0, π )

5 5 Lista 4. Zadanie 4. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieje pochodna właściwa lub niewłaściwa podanej funkcji we wskazanym punkcie (a) f(x) = x sin x, x 0 = 0 (b) f(x) = { x dla x x dla x >,, x 0 = f(x) = 3 5 x, x 0 = 0 (d) f(x) = sin x, x 0 = 0 Zadanie 4. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji (a) f(x) = (x 3 + x ) e x (b) f(x) = sin x x f(x) = 3 arc sin(x ) (d) f(x) = arctgx 3 x (e) f(x) = ( + 4 x) tg( x) (f) f(x) = sin x 3 cos x (g) f(x) = x tg x (h) f(x) = x x Zadanie 4.3 Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (a) (f ) (e + ) dla f(x) = x + ln x (b) (f ) (4) dla f(x) = x x Zadanie 4.4 Obliczyć f (x), f (x), f (x) dla podanej funkcji f(x) (a) f(x) = x 3 x (b) f(x) = x sin x f(x) = ex x (d) f(x) = sin 3 x + cos 3 x Zadanie 4.5 Napisać równanie stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie (a) f(x) = x +, (3, f(3)) (b) f(x) = x + x, (, f( )) f(x) = arctg(x ), (0, f(0))

6 6 Lista 5. Zadanie 5. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość podanego wyrażenia (a) 3, 98 (b) e 0,04 ln Zadanie 5. Stosując wzór Maclaurina obliczyć przybliżoną wartość podanego wyrażenia z zadaną dokładnością (a) e z dokł. 0 3 (b) ln(, ) z dokł. 0 4 sin(0, ) z dokł. 0 5 Zadanie 5.3 Korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć podane granice (a) x ln( x + ) x (b) x arctgx x x ln x + (d) ( ) x ctg x (e) (cos x) x Zadanie 5.4 Uzasadnić podaną tożsamość (a) arctgx + arcctgx = π dla x R ( ) x (b) arc sin = arctgx dla x (, ) + x

7 7 Lista 6. Zadanie 6. Znaleźć przedziały monotoniczności podanej funkcji (a) f(x) = x 3 30x + 5x (b) f(x) = xe 3x x3 f(x) = 3 x (d) f(x) = x ln x Zadanie 6. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanej funkcji (a) f(x) = x 3 4x (b) f(x) = (x 5)e x f(x) = x ln x (d) f(x) = x x 4 (e) f(x) = x 5x 6 Zadanie 6.3 Znaleźć wartości najmniejszą i największą podanej funkcji na wskazanym przedziale (a) f(x) = x 3 5x + 36x, [;, 5] (b) f(x) = 9 x, [ 4, ] Zadanie 6.4 Określić przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia podanej funkcji (a) f(x) = ln( + x ) (b) f(x) = f(x) = sin x + 8 sin(x) x Zadanie 6.5 (zadanie domowe) Zbadać przebieg zmienności podanej funkcji i naszkicować jej wykres (a) f(x) = x ln x x (b) f(x) = x f(x) = e x x (d) f(x) = x x (e) f(x) = 3 4 x 4 x

8 8 Lista 7. Zadanie 7. Obliczyć podane całki nieoznaczone (a) (b) x 4 x + dx x x dx x (d) x 5 x 0 x dx cos(x) cos x sin x dx Zadanie 7. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone (a) (b) x sin x dx x arctg x dx (d) ln(x + )dx e x sin x dx Zadanie 7.3 Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone (a) (b) (5 3x) 0 dx cos x x x dx 5 5x 3 + dx (d) (e) cos x + sin x dx dx 4x

9 9 Odpowiedzi i wskazówki: Lista nr :. (a) 3 ; (b) ; 0; (d) ; (e) 0; (f) 35 ; (g) ; (h) ; (i) 0; (j). (a) 3; (b) ; ; (d) ; (e) ; (f) (a) e 3 ; (b) 3 e ; e ; Lista nr :. (a) ; (b) 0; 3; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ; (h) 0; (i) ; (j) ; (k) (a) 9; (b) 3; 0; (d) ; (e) e/3 3 x 4.4 (a) nie istnieje, x + x (b) nie istnieje, x 3 + nie istnieje, x 3+ x x 3 x 4 = 4, x =, =, x 3 x = 4; x 3 = 0; x x 3 = ;.5 Wskazówka: (a) x n = nπ, x n = π + nπ; (b) x n = (nπ), x n = ( π + nπ) Lista nr 3: 3. (a) asymptoty pionowe obustronne x = i x =, asymptota ukośna y = x + w i ; (b) asymptota pozioma y = 0 w i ; asymptota pionowa prawostronna x = 3 3. (a) ciągła; (b) f(x) = 4 3 = f(), luka ; f(x) = = f(x), skok ; x + (d) f(x) =, nieciągłość II rodzaju, przy czym f(x) = 0 = f(0), ciągła lewostronnie (a) a =, b = ; (b) a = 0, b = przybliżone rozwiązanie to 0, 65

10 0 Lista nr 4: 4. (a) f (0) = 0; (b) nie istnieje; f (0) = ; (d) nie istnieje 4. (a) f (x) = (x 3 + x + 3x ) e x, x 0; (b) f (x) = (x4 + 4) cos x 4x 3 sin x ; x 3 (x 4 + 4) f (x) = ( ) 3 (arc sin(x )) 3 x, < x < ; (d) f (x) = 3 x x 4 + x ln 3 arctgx ; (e) f (x) = 3 4 x 4 tg( x) + ( + 4 x)( + tg ( ( ) π x)) x, x > 0, x + nπ ; (f) f (x) = (ln + ln 3) sin x cos x sin x 3 cos x ; ( (g) f (x) = e tg x ln x ( + tg x) ln x + tg x ), x > 0, x π x + nπ; (h) f (x) = e x ln x ( ln x), x > 0 x 4.3 (a) e e + ; (b) 3( + ln 3) 4.4 (a) f (x) = 3x + x, f (x) = 6x 4 x 3, f (x) = 6 + x 4 ; (b) f (x) = sin x + x cos x, f (x) = cos x x sin x, f (x) = 3 sin x x cos x; f (x) = (x )ex x, f (x) = (x x + )e x x 3, f (x) = (6x 3x x 3 6)e x x 4 ; (d) f (x) = 3 sin(x)(sin x cos x), f (x) = 3 ( cos(x)(sin x cos x)+sin(x)(cos x+sin x)), f (x) = 3 ( 5 sin(x)(sin x cos x) + 4 cos(x)(cos x + sin x)) 4.5 (a) y 3 = 4 ln 3 Lista nr 5: (x 3); (b) y 3 5. (a) 0, 505; (b), 04; 0, (a) 53 0, 368, f(x) = 44 ex, n = 7; (b) ,, f(x) = sin x, n = 5; (a) ln ; (b) 0; 0; (d) 0; (e) = 9 (x ); y = 0 0, 0953, f(x) = ln( + x), n = 4;

11 Lista nr 6: 6. (a) malejąca na (5, 5), rosnąca na (, 5) i na (5, ); (b) malejąca na (, 3 ), rosnąca na ( ), 3 ; Df : x 3, malejąca na (, 3) i na (3, ), rosnąca na ( 3, 3), na ( 3, 3) i na ( 3, 3); (d) D f : x > 0, x, malejąca na (0, ) i na (, e), rosnąca na (e, ) 6. (a) maksimum lokalne właściwe w x 0 = 0, f(0) = 0; minimum lokalne właściwe w x 0 = 8, 3 f ( ) 8 3 = 56 ; (b) minimum lokalne właściwe w x 7 0 = 4, f (4) = e 4 ; minimum lokalne właściwe w x 0 =, f ( ) e e = ; (d) maksima lokalne właściwe w x e 0 = i w x 0 =, f( ) = f() = ; (e) maksimum lokalne właściwe w x 0 = 5, f ( ) 5 = 49 ; minima 4 lokalne właściwe w x 0 = i x 0 = 6, f( ) = f(6) = (a) wartość najmniejsza 3 (w punkcie x = ), największa 8 (w x = ); (b) wartość najmniejsza 8 (w punkcie x = 0), największa (w x = 3) 6.4 (a) wypukła na (, ), wklęsła na (, ) i na (, ), p.p. (, ln ), (, ln ); (b) wypukła na (, ), wklęsła na (, ) i na (, ), brak p.p.; wypukła na (π + kπ, π + kπ), wklęsła na (kπ, π + kπ), p.p. (kπ, 0), gdzie k Z 6.5 odpowiedzi w skrypcie Analiza Matematyczna, Przykłady i zadania, do zadania nr 6.5 Lista nr 7: 7. (a) 3 x3 +x+arctgx+c; (b) x3 x+ 6x 6 x x+c; 5 x + x +C; (d) sin x cos x+c 7 7 ln 5 ln 7. (a) x sin x + ( x ) cos x + C; (b) x x arctg( x) x + ln x + + C; (x + ) ln(x + ) x + C; (d) 5 ex ( sin x cos x) + C 7.3 (a) 33 (3x 5) + C (podstawienie y = 5 3x); (b) sin( x) + C (podstawienie y = x); 8 (5x3 + ) 5 5x C (podstawienie y = 5x 3 + ); (d) + sin x + C (podstawienie y = + sin x); (e) arc sin(x) + C (podstawienie y = x)