Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
|
|
- Zbigniew Drozd
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Zadanie. Korzystając z definicji oblicz pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f ) gdy f) = + 5 b) f ) gdy f) = + c) f ) gdy f) = 4 + d) f ) gdy f) = e Zadanie. Korzystając z definicji oblicz pochodne następujących funkcji: a) f) = b) f) = cos c) f) = cos d) f) = sin e) f) = log f) f) = 7 log + g) f) = e +5 + WSKAZÓWKA do b,c,d: Skorzystaj ze wzorów na różnicę sinusów i różnicę cosinusów. Zadanie. Oblicz, jeśli istnieje, pochodną funkcji f w punkcie 0, jeśli: { sin dla 0 a) f) =, 0 = 0 b) f) = 0 dla = 0, 0 = 0 { { c) f) = sin dla 0 0 dla > 0 0 dla = 0, 0 = 0 d) f) = + ) dla 0, 0 = 0 { { e) f) = + + dla arctg dla <, dla 0 0 = f) f) = 0 dla = 0, 0 = 0 g) f) = { e, 0 = 0 h) f) = + + dla + 4 dla >, 0 = i) f) = sin π), 0 = n Z j) f) = ma{, }, 0 = Zadanie 4. Zbadaj różniczkowalność następujących funkcji: a) f) = sgn b) f) = + + c) f) = 6 d) f) = e e) f) = ) Zadanie 5. Dobierz parametry a, b, c, d R tak, by funkcja f była różniczkowalna na R, jeśli: { a + b dla 0 sin dla < 0 a) f) = a b) f) = c + b dla 0 + d dla 0, ] dla > { c) f) = + 4 dla a + b dla >
2 Zadanie 6. Sprawdź, że następujące funkcje sa ciągłe zerze, ale nie są różniczkowalne w tym punkcie: a) f) = b) f) = Zadanie 7. Dobierz parametry a i b, tak by funkcja f dana poniżej była ciągła na R. Czy jest ona wówczas różniczkowalna na R? a + dla < f) = dla [, ) + + b dla Zadanie 8. Znadaj różniczkowalność funkcji f) = sin + w przedziale [ π, π ]. Zadanie 9. Załóżmy, że funkcje f i g maja pochodną w punkcie a. Oblicz granice: a) lim a fa) af) a b) lim a f)ga) fa)g) a c) lim a f)e fa) f) cos fa), a = 0, f 0) 0 Zadanie 0. Niech f0) = 0, istnieje f 0) oraz k N. Oblicz lim 0 [ f) + f ) + f ) f k )]. Zadanie. Zbadaj, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe we wskazanych punktach: a) f) = sin 5, 0 = 0 b) f) =, 0 = 0 Zadanie. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadź wzory na pochodne następujących funkcji: a) f) = arcsin b) f) = c) f) = e d) f) = ctg Zadanie. Funkcja f : R R ma pochodną na R. W jakich punktach R istnieje pochodna funkcji f? Zadanie 4. Korzystając z reguł różniczkowania oblicz pochodne następujących funkcji: a) y = b) y = e) y = c) y = + ln + d) y = 5 cos + e + +5 f) y = 4 g) y = 4 h) y = sin +cos cos sin i) y = ) 5 + ln sin ) + + j) y = e + cos 5 + cos + ) k) y = sin + + 4) 4 + cos 5 l) y = sin ) m) y = ln [ tg π + ) ] 4 n) y = + + e sin + 4 cos o) y = 7e ln + 5 ln0) p) y = tg + esin r) y = arctg ln + )+arctg s) y = ln + + )+ln ln t) y = ln +
3 u) y = arcctg v) y = b ac a+b b ac a+b+ b ac w) y = 6 + tg) sin ) y = ) + y) y = arctg arctg z) y = sin ) ln ) + e ) ab) y = + bc) y = cos log 7 + ) cd) y = + sin[sin sin )] de) y = sinh arcsin a ef) y = + ) 49 fg) y = arccos 8 ) log ) 0,5 gh) y = log 4 arcctg + ) ij) y = ln [ + ln + ln )] jk) y = a b ) b ) a a) b, a, b > 0 kl) y = log +cos ) arcctg5 ) lm) y = mn) y = arcsin [6 cos )] ln tg 7 ) 0+5 ) +arctg 6 ) +ln +0 ) tg ) Zadanie 5. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe, oblicz pochodne funkcji: a) y = log f) g) b) y = arctg f) g) c) y = [f)] + [g)] Zadanie 6. Uzasadnij, że pochodna funkcji: a) parzystej jest funkcją nieparzystą b) nieparzystej jest funkcją parzystą c) okresowej jest funkcją okresową o tym samym okresie Korzystając z powyższych faktów oblicz: i) f 4), jeśli f jest parzsta oraz f 4) = ii) f 0), jeśli f jest parzysta i ma pochodną w zerze iii) f ), jeśli f jest nieparzysta oraz f ) = iv) g 5), jesli g) = f), f jest funkcją okresową o okresie T = oraz f ) = 4 v) f 5), jeśli f jest nieparzysta, okresowa o okresie T = 4 oraz f ) = Zadanie 7. Oblicz pochodne rzędu drugiego następujących funkcji: a) f) = + + b) f) = arccos c) f) = e sin d) f) = + )arctg e) f) = Zadanie 8. Sprawdź, że funkcja f) = e +e spełnia równanie f )+ f ) f) = 0. 4 Oblicz f 0). Zadanie 9. Zbadaj, czy istnieje f 0), jeśli: { a) f) = 4 dla 0 b) f) = sin 4 dla > 0 Zadanie 0. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P = 0, y 0 ), gdy: a) f) =, 0 = b) f) = ln, 0 = c) f) = + ), P =, f )) d) f) =, P =, f))
4 Zadanie. W jakim punkcie styczna do linii y = 9 + jest równoległa do osi O? Zadanie. Jaki kąt z osią O tworzy styczna do paraboli y = + 8 w punkcie o odciętej =? Zadanie. Na wykresie funkcji y = ln znajdź punkt, w którym styczna jest równoległa do prostej y + = 0. Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do paraboli y = : a) tworzy z osią O kąt 45? b) jest prostopadła do prostej 6y + 5 = 0? c) jest równoległa do siecznej przeprowadzonej przez punkty o odciętych =, =? Zadanie 5. Dla jakich wartości parametrów b i c krzywa y = + b + c jest styczna do prostej y = w punkcie P =, )? Zadanie 6. Czy pochodna funckji różniczkowalnej jest zawsze funkcją ciągłą? Różniczka funkcji Zadanie 7. Oblicz różniczkę funkcji: a) e b) ln + ) Zadanie 8. Za pomocą różniczki oblicz przybliżoną wartość wyrażeń: a) ln0, 96) b) e,97 c), 06 d) sin e) arctg, 05) Zadanie 9. Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością mm i otrzymano 5mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole powierzchni całkowitej tego sześcianu? Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego Zadanie 0. Udowodnij, że jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest w tym punkcie ciągła. Zadanie. Korzystając z własności Darbou udowodnij, że: a) równanie 4 = ma dokładnie jeden pierwiastek ujemny b) równanie + ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale, ) Zadanie. Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle a na przedziale [, ]: a) f) = ) b) f) = 4
5 Zadanie. Korzystając z twierdzenia Rolle a uzasadnij, że: a) równanie g ) = 0 ma rozwiązanie w przedziale [, ], gdzie g) = b) wielomian w) = nie może mieć dwóch różnych pierwiastków w przedziale, ) c) na wykresie funkcji f) = 4 + istnieje taki punkt P 0 = 0, f 0 )), że 0, ) oraz styczna do wykresu tejże funkcji w punkcie P 0 jest równoległa do osi O Zadanie 4. Niech f) = + 6. Bez liczenia pochodnej uzasadnij, że równanie f c) = 0 ma rozwiązanie w przedziale, ). Zadanie 5. Nie znajdując pochodnej funkcji f) = + ) ) 4) 5) oblicz liczbę pierwiastków rzeczywistych równania f ) = 0 i podaj przedziały, w których leżą te pierwiastki. Zadanie 6. Na paraboli y = obrano dwa punty P i P o odciętych = oraz =. Przeprowadzono przez te punkty prostą sieczną. Korzystając z twierdzenia Lagrange a o wartości średniej podać punkt, w którym styczna do paraboli jest równoległa do otrzymanej siecznej. Zadanie 7. *) Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnij, że: a) a b a < ln a < a b α β, dla 0 < b < a b) b b cos β tgα tgβ α β cos α, dla 0 < β α < π c) sin sin y y, dla, y R d) + < ln + ) <, dla > 0 e) e > +, dla > 0 f) cos 00 cos 00 y 00 y, dla, y R WSKAZÓWKA do d), e): Rozważyć przedziała [0, ]. Zadanie 8. Korzystając z reguły de l Hôspitala oblicz granice: a) lim 0 sin b) lim ln c) lim 0 e e sin d) lim 0 sin e) lim 0 sin cos arctg f) lim + a g) lim b 0 e h) lim arctg+ π i) lim 0 e sin 5 j) lim 0 cos + sin k) lim ) π arctg l) lim m) lim + ln + ) 0 n) lim 0 cos o) lim π sin π ) e p) lim e ) cos 0 cos q) lim π e π e sin π ) sin r) lim s) lim 6 t) lim 0 sin 5 tg4 u) lim e e + + sin ) v) lim 0 + ln +) sin w) lim ln cos ) + ) lim arcctg 0 y) lim 0 sin tg z) lim 0 a b c d e ab) lim 6 arcsin arcsin e 0 bc) lim cos + 0 cd) lim 0 de) lim cos ef) lim ln fg) lim 0 + ln ctg gh) lim 0 + ln hi) lim ln sin ) + ij) lim π 4 cos tg tg π 4 +) 5
6 jk) lim 4 kl) lim e e 0 ctg lm) lim sinh +e no) lim 0 + ln sin a) ln sin b) op) lim 0 + ln ln e ) Zadanie 9. Korzystając z reguły de l Hôspitala oblicz granice: a) lim 0 + ln b) lim 0 e )ctg c) lim 0 ctg d) lim + )e e) lim + π arctg) ln f) lim 0 + ln g) lim )tg π h) lim i) lim e ) j) lim cos π ln ) k) lim tg π l) lim 0 ln [ln + )] m) lim sin arcctg ) o) lim [+)e ] p) lim 0 sin [ s) lim 0 +ctg ) t) lim 0 ln + + ) ln +) w) lim 0 + ln ) ) lim + e ) y) lim 0 + n*) lim [ + ) q) lim ln ] ) e ] sin + r) lim 0 sin ) u) lim v) lim π tg ln tg) ) tg ) a) z) lim a tg π a ab) lim 0 + bc) lim ) e cd) lim ) tg ) de) lim 0 +[lnln + ))] ef) lim ln fg) lim 0 +tg) tg gh) lim 0 + tg 4 ln 5 hi) lim ij) lim 0 e + ) mn) lim qr) lim 0 [cos sin )] uv*) lim [e jk) lim a ) +b 0 kl) lim cos ) lm) lim 0 cos ) ) ) no) lim + op) lim arcsin ) 0 ) ] + rs) lim π arctg) vw) lim ) arcctg st) lim 0 e +7) 5 pq) lim tg ) 0 tu) lim sin ) 0 WSKAZÓWKA do uv) : Wyciągnij przed nawias e, a następnie skorzystaj z reguły de [ + ]. l Hôspitala, aby oszacować granicę lim ) e Zadanie 40. Zbadaj, czy do obliczenia poniższych granic można zastosować regułę de l Hôspitala. Oblicz te granice. a) lim + e e b) lim c) lim + sin +sin d) lim + +cos e) lim 0 cos sin Zadanie 4. Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange a R n dla podanej funkcji f, punktu 0 oraz n N, gdy: a) f) =, 0 =, n = b) f) =, 0 =, n = Zadanie 4. Napisz wzór Maclaurina dla podanych funkcji z resztą R n : a) f) = sin, n = 4 b) f) = e, n N ustalone c) f) = cos, n = 4 6
7 4 Badanie funkcji danej równaniem y = f) Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema funkcji: a) f) = + 9 b) f) = )e + c) f) = ln d) f) = e) f) = e f) f) = e g) f) = e h) f) = + ) ln + ) i) f) = j) f) = ) ln ) k) f) = ) ln + 4 l) f) = + )arctg π 8 ) m) f) = 4 n) f) = tg o) f) = e p) f) = ln ) + ln q) f) = ) +) +) r) f) = ) n! n! e, n N s) f) = ) t) f) = arctg ln + 00 Zadanie 44. Korzystając z definicji uzasadnij, że podane funkcje mają ekstrema we wskazanych punktach: a) f) = +, 0 = b) f) = 4 00, 0 = 0 { { dla 0 dla c) f) = 0 dla = 0, 0 = 0 d) f) = dla >, 0 = Zadanie 45. Czy podane funkcje mają ekstremum w zerze? a) f) = b) f) = c) f) = Zadanie 46. Wyznacz ekstrema lokalne podanych funkcji. Rozstrzygnij, czy są to minima czy maksima. a) f) = ) +) b) f) = sin + cos c) f) = cos cos d) f) = ln + 0 e) f) = ln ln f) f) = g) f) = h) f) = i) f) = 5 j) f) = 4 k) f) = l) f) = e +) m) f) = arcsin + n) f) = e p) f) = sin + cos Zadanie 47. Posługując sie pochodnymi wyższych rzędów rozstrzygnij, czy podane funkcje osiągają ekstremum w zerze. Jeśli tak, to jest to minimum czy maksimum? a) f) = 4 b) f) = 4 c) f) = e + e + cos d) f) = Zadanie 48. Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji ciągłych. Wskazać punkty, w których funkcje te mają ekstrema lokalne. 7
8 a) b) Zadanie 49. Liczbę 8 przedstaw jako sumę takich dwóch składników, żeby suma ich sześcianów była najmniejsza. Zadanie 50. Funkcja f jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. przyjmuje ekstrema lokalne, jeśli Wskaż punkty, w których f f ) = 7) ) 0 ) 5 ) 6 + ) + 5) 9 + 0) ) 4. Zadanie 5. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji we wskazanym przedziale: a) f) = ln, [, e] b) f) = arctg, [0, ] c) f) =, [, ] d) f) = arcsin +, [, ] e) f) = + arctg ), [, ] Zadanie 5. Określ przedziały wypukłości / wklęsłości funkcji i wskaż punkty przegięcia: a) f) = + b) f) = arctg c) f) = ) +) e) f) = 9 5 e f) f) = ln e ) d) f) = )e g) f) = + ln cos h) f) = ln e i) f) = ln j) f) = e sin k) f) = e l) f) = log 5 ) e 5 m) f) = arccos 6 +9 n) f) = +) o) f) = + sin Zadanie 5. Wykorzystując pochodne wyższych rzędów rozstrzygnij, czy punkt 0, f0)) jest punktem przegięcia krzywej y = f), gdy: a) f) = b) f) = 6 c) f) = e + sin + cos jest malejąca i wklęsła jed- Zadanie 54. Wyznacz przedziały, w których funkcja f) = ln nocześnie. Zadanie 55. Uzasadnij, że funkcja f) = e jest różnowartościowa na przedziale, + ). Zadanie 56. Udowodnij, że funkcja f) = arctg+arcsin + ) jest stała na przedziale, + ) 8
9 Zadanie 57. Dana jest funkcja f) = { dla 0 dla > 0. Czy istnieje f 0)? Czy f ma w zerze ekstremum lokalne? Czy f ma w zerze punkt przegięcia? Zadanie 58 *). Dana jest funkcja f) = { sin dla 0 0 dla = 0. Uzasadnij, że f jest ciągła i różniczkowalna na R. Czy f jest funkcją klasy C na R? Czy f ma w zerze ekstremum lokalne? Czy f ma w zerze punkt przegięcia? Zadanie 59. Naszkicuj kształt wykresu funkcji f na podstawie wykresu jej pochodnej f. a) b) Zadanie 60. Na rysunku przestawiono wykres pierwszej i drugiej pochodnej pewnej funkcji f. Podaj przedziały monotoiczności i wypukłości funkcji f. Wskaż jej ekstrema lokalne i punkty przegięcia. Zakładając że f0) = 0, naszkicuj kształt wykresu funkcji f. Zadanie 6. Narysuj wykresy funkcji spełniających następujące warunki: a) lim f) = 0, lim 0 + f) =, f - parzysta b) lim f) =, lim 0 f) =, lim f) + ) = 0 c) lim f) =, lim 4 f) =, lim 4 + f) = 0 d) lim f) =, lim f) nie istnieje, f - nieparzysta 9
10 e) f nieparzysta, w = ma punkt nieciągłości drugiego rodzaju, w = ma punkt przegięcia, = 5 to jej asymptota obustronna, w = 6 ma punkt niciągłości pierwszego rodzaju f) f jest okresowa o okresie podstawowym T =, w = ma maksimum lokalne, = 5 to asymptota pionowa lewostronna nie prawostronna), w = 8, 5 jest ciągła ale nie różniczkowalna Zadanie 6. Wyznacz asymptoty pionowe, ukośne, poziome podanych funkcji. W przykładach a)-e) naszkicuj wykres funkcji. a) f) = e b) f) = + c) f) = + 4 d) f) = arctg e) f) = f) f) = 6+ sin g) f) = h) f) = ln) 5 i) f) = j) f) = ln e + ) k) f) = arccos l) f) = e 4 m) f) = e 9 n) y = arctg + o) y = + ) ln + + ) p) f) = )+) + ln ) q) f) = arcctg r) f) = 4 ++) +6 +)+) Zadanie 6. Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) f) = b) f) = e c) f) = e ) d) f) = ln e) f) = + cos f) f) = arcsin + g) f) = h) f) = + i) f) = log j) f) = 4 Odpowiedzi Zadanie. a) b) 9 c) d) e Zadanie. a) f ) = b) f ) = sin c) f ) = sin + cos d) f ) = sin ln cos e) f ) = ln f) f ) = 7 ln log +) g) f ) = e+5 e +5 +) Zadanie. a) f 0) = 0 b) f 0) nie istnieje c) f 0) = 0 d) f 0) nie istnieje e) f ) nie istnieje f) f 0) nie istnieje g) f 0) nie istnieje h) f ) = i) f n) = 0 j) f ) nie istnieje Zadanie 4. a) różniczkowalna na R\{0} b) różniczkowalna na R\{, } c) różniczkowalna na R \ {, } d) różniczkowalna na R \ {0, } e) różniczkowalna na R \ {} Zadanie 5. a) b =, a dowolne b) a = d =, b = 0, c dowolne c) a = 5, b = 5 Zadanie 7. a =, b =, nie jest wówczas różniczkowalna Zadanie 8. f 0) nie istnieje Zadanie 9. a) fa) af a) b) ga)f a) fa)g a) c) f 0)+f0) f 0) 0
11 Zadanie 0. f 0) [ k ] Zadanie. a) pochodna niewłaściwa równa b) różne pochodne jesnostronne niewłaściwe Zadanie. Funkcja f jest różniczkowalna w tych punktach, dla których f) 0. Zadanie 4. a) f ) = b) f ) = 9 ) c) f ) = ln ln d) f ) = 5 4 cos 5 sin + e +5) e) f ) = 4 7 +) +5) f) f ) = g) f ) = 4 4 h) f ) = i) f ) = 54 cos sin ) 5 + ) 4 8 5) + ctg + + j) f ) = e + 5 cos 5 4 sin + ) k) f ) = sin ln cos 4 + 4) + 5 sin 5 l) f ) = sin m) f ) = cos n) f ) = cos e sin 8 sin cos o) f ) = 8e ln ln p) f ) = 4 tg cos sin esin r) f ) = arctg s) f ) = + + t) f ) = + ln + ) u) f ) = v) f ) = + w) f ) = 6 6 ln + ) + tg) sin [cos ln tg) + +c) a+b cos ] ) f ) = + ) ln + ) + ) y) f ) = + arctg arctg) z) f ) = 7 sin ) cos + + ln +) +) ln +) + e ln ln ) [ln ln ) + ln ] + ee ln [e ln + e ] ab) f ) = ln +) bc) f ) = cos ln sin log ) 7 + ) + 6cos + ) ln 7 cd) f ) = [arcsin )] + cos [sin sin )] cos sin ) cos de) f ) = a ) cosh + sinh 9 ef) f ) = [49 + ) ) 49 4 ln + )] fg) f ) = ln 8 8 log ) ln a ) arccos 8 ) gh) f ) = +) + ln 4 arcctg + ij) f ) = + ln +ln )[ ] jk) f ) = a + ln b ) b )a a )b [ln a + b a] b kl) f ) = [arcctg5 )] log + cos )) ) lm) f ) = [ sin ln 7 4+)+ ln +cos ) ] arcctg5 + 5 ln ) +arctg 6 ) tg ) [ tg ) +ln +0 +[tg ) ] ] arctg 6 ) ln + ) +ln +0 +arctg 6 ) cos ) 4 + ) ln +arctg +ln +0) 4+ arctg mn) f ) = arcsin 6 cos )) ln 6 ) ) +ln ) ) ) +ln +0) sin )) ln tg 7 ) 0+5 +arcsin 6 cos 0+5 )) tg 7 ) tg7 ) 70+5 ) cos 7 ) tg 7 )5 ln 5 6 cos )) 0+5 ) g ) Zadanie 5. a) y g) = ln f)) f ) ln g)) f) b) y = f )g) f)g ) c) y = g)) f)) +g)) [f)) + g)) ] f)f ) + g)g )) Zadanie 6. i) f 4) = ii) f 0) = 0 iii) f ) = iv) g 5) = v) f 5) = Zadanie 7. a) f ) = 6 4 b) f ) = ) c) f ) = e sin cos + cos sin ) d) f ) = arctg + + e) f ) = [ln +) + ] Zadanie 8. f 0) = Zadanie 9. a) nie istnieje b) f 0) = 0
12 Zadanie 0. a) y = 6 b) y = c) y = 4 ) d) 4ln + ) 4 ln + ) Zadanie. w punktach, 7) oraz, 5) Zadanie. 4 π Zadanie. punkt, 0) Zadanie 4. a), ) b), 9 ) c), 4) 4 4 Zadanie 5. b =, c = Zadanie 6. nie Zadanie 7. a) + )e d b) + d Zadanie 8. a) 0, 04 b) 0, 97e c), 0 d) π + ) e) π Zadanie 9. 5 cm Zadanie. a) tak b) nie Zadanie 5. trzy licząc z krotnościami) pierwiastki leżące w przedziałach, ),, 4), 4, 5) Zadanie 6., 4) Zadanie 8. a) b) c) d) e) f) g) ln a h) i) 9 j) 6 b 50 k) l) m) n) o) 4 p) 4 q) r) 40 s) 6 t) 5 u) v) w) ) 0 y) z) ln a b ab) bc) cd) de) ef) 0 fg) 0 gh) ln c d hi) ij) jk) 0 kl) lm) mn) no) op) Zadanie 9. a) 0 b) c) d) e) 0 f) 0 g) h) i) j) 0 k) 4 l) π π 0 m) n*) e o) p) 0 q) r) s) 0 t) u) v) w) ) e 4 y) z) ab) bc) cd) de) ef) e 5 7 fg) gh) hi) ij) e jk) ab e kl) lm) e mn) 4 no) e op) e 6 pq) qr) e rs) e π st) e 9 5 tu) e 6 uv) vw) 0 Zadanie 40. a) b) można, ale nie upraszcza to problemu c) d) e) nie można Zadanie 4. a) c, ) = )+ ) ) c ) 4, c, ) b) = + ) 8 + ) 6 c 5, Zadanie 4. a) sin = 4 + sin c), c 0, ) b) c+n)e c n, c 0, ) c) cos = + 4 cos c, c 0, ) n! 4 e = +! +! n n )! + Zadanie 4. a) f rosnąca dla, ),, ), f malejąca dla, 0), 0, ), w = maksimum lokalne, w = minimum lokalne b) f rosnąca dla, 0),, ), f malejąca dla, ), 0, ), w = ± minimum lokalne, w = 0 maksimum lokalne c) f rosnąca dla e, ), f malejąca dla 0, ),, e), w = e minimum lokalne d) f rosnąca dla, 0), f malejąca dla 0, ), w = 0 maksimum lokalne e) f rosnąca dla, ), 4, ), f malejąca dla, ),, 4), w = maksimum lokalne, w = 4 minimum lokalne f) f rosnąca dla, ),
13 , ),, ), f malejąca dla, ),, ), w = minimum lokalne, w = maksimum lokalne g) f rosnąca dla, ), 0, ), f malejąca dla, 0),, ), w = ± maksimum lokalne, w = 0 minimum lokalne h) f rosnąca dla, ), f malejąca dla, ), w = minimum lokalne e e e i) f rosnąca dla, ), 4, 8), f malejąca dla, ),, 4), w = oraz = 4 minimum lokalne, w = maksimum lokalne j) f rosnąca dla +, ), e + e, ), f malejąca dla, + e ),, + e ), w = + e maksimum lokalne, w = + minimum lokalne k) f rosnąca dla 0, ), e, ), e f malejąca dla, e), w = maksimum lokalne, w = e minimum lokalne l) f rosnąca dla, 0),, ), f malejąca dla 0, ), w = 0 maksimum lokalne, w = minimum lokalne m) f rosnąca dla, ), f malejąca dla, ),, ), w = minimum lokalne, w = maksimum lokalne n) f rosnąca dla π, π), f 4 4 malejąca dla π, π), π, π), w = π minimum loklane, w = π maksimum lokalne o) f rosnąca dla, ), 0, ), f malejąca dla, 0),, ), w = ± maksimum lokalne, w = 0 minimum lokalne p) f rosnąca dla 0, ), e, ), e f malejąca dla, ),, e), w = maksimum lokalne, w = e minimum lokalne e e q) f rosnąca dla, ), f malejąca dla ),,, ), w = maksimum lokalne r) Dlan parzystych, f malejąca, brak ekstremów, dla n parzystych f rosnąca dla < 0, malejąca dla > 0, w = 0 maksimum globalne) s) f rosnąca dla, 0), 0, ),, ), f malejąca dla, ), w = maksimum lokalne, w = minimum lokalne t) f malejąca dla 0, ), tj. w całej dziedzinie, brak ekstremów Zadanie 45. a) b) tak, minimum c) nie Zadanie 46. a) funkcja rosnąca w całej dziedzinie, brak ekstremów b) w punktach = ± π +kπ, k Z f ma maksima lokalne, w = lπ, l Z minima lokalne c) w punktach = ± π + kπ, k Z f ma minima lokalne, w = lπ, l Z maksima lokalne d) w = maksimum lokalne e) w = ±e minimum lokalne f) w = minimum lokalne g) w = 0 minimum lokalne e h) w = 0 minimum lokalne i) brak ekstremów j) w = 0 oraz = minima lokalne k) w = 4 minimum globalne l) w = 0 minimum lokalne m) w = minimum lokalne, w = maksimum lokalne n) w = ± maksimum lokalne, w = 0 minimum lokalne p) w = π + kπ, = π + kπ, = π + kπ, k Z minima lokalne, w = 5 π + kπ, = kπ, 4 4 = π + kπ, k Z maksima lokalne Zadanie 47. a) c) tak, minimum b) tak, maksimum d) nie Zadanie 48. a) w = 4 minimum lokalne, w = maksimum lokalne b) w = ± minimum lokalne, w = 0 maksimum lokalne Zadanie = Zadanie 50. = oraz = 5 Zadanie 5. a) wartość najmniejsza f) = 0, wartość największa fe) = e b) wartość najmniejsza f0) = 0, wartość największa f) = π c) wartość najmniejsza f ) = f0) = 4 f) = 0, wartość największa f) = 7 d) wartość najmniejsza f0) =, wartość największa f±) = π e) wartość najmniejsza f) =, wartość największa f ) = + arctg
14 Zadanie 5. a) f wypukła dla, ), 0, ), f wklęsła dla, 0);, f )) punkt przegięcia b) f wypukła na R; brak punktu przegięcia c) f wypukła dla, ), f wklęsła dla, );, ),, f)) punkt przegięcia d) f wypukła dla, 0), 0, ), f wklęsła dla, );, f)) punkt przegięcia e) f wypukła dla 0, 5 5), , ), f wklęsła dla, 0); 5 5, 5+ 5), 5± 5, f 5± 5)) punkt przegięcia f) f wypukła dla, 0), f wklęsła dla, ); brak punktu przegięcia g) f wypukła dla e π +kπ, π +kπ), k Z, f wklęsła dla π +kπ, π +kπ), π +kπ, π +kπ), k Z; π + k π, 4 fπ + k π)) punkt przegięcia h) f wypukła dla 4 e ),, f wklęsła dla 0, e ); e, f e )) punkt przegięcia i) f wypukła dla 0, e 5 ), f wklęsła dla 0, e 5 ); e 5, fe 5 )) punkt przegięcia j) f wypukła dla 0, arcsin 5 ), f wklęsła dla arcsin 5, π); arcsin 5, farcsin 5 )) punkt przegięcia k) f wypukła dla, 0), 8, ), f wklęsła dla 0, 8); 0, f0)) oraz 8, f8)) punkt przegięcia l) f wypukła dla, 5), 0, 5), czyli w całej dziedzinie; brak punktu przegięcia m) f wypukła dla, ),, ), f wklęsła dla, ); ±, f±)) punkt przegięcia o) f wypukła na R; brak punktu przegięcia Zadanie 5. a) tak b) c) nie Zadanie 54. e, 0) Zadanie 57. f 0) nie istnieje, w = 0 minimum globalne, 0, f0)) punkt przegięcia Zadanie 58. f nie jest ciągła w = 0, dla = 0 nie ma ani ekstremum, ani punktu przegięcia Zadanie 60. f rosnąca dla, 0),, ), f malejąca dla, ), 0, ), w = ± minimum lokalne, w = 0 maksimum lokalne, f wypukła dla, ),, ), f wklęsła dla, ),, f )) oraz, f)) to punkty przegięcia Zadanie 6. a) = 0 asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w ± b) = 0 asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w ± c) = ± asymptota pionowa obustronna, y = asymptota pozioma w ± d) brak asymptot pionowych, y = π asymptota ukośna w, y = + π asymptota ukośna w e) = asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w ± f) brak asymptot pionowych, y = 6 asymptota ukośna w ± g) = asymptota pionowa lewostronna, = asymptota pionowa prawostronna, y = asymptota ukośna w, y = asymptota ukośna w h) = 0 asymptota pionowa prawostronna, = 5 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota pozioma w i) brak asymptot pionowych i ukośnych j) = asymptota pionowa lewostronna, y = + asymptota ukośna w ± k) brak asymptot pionowych, y = π asymptota pozioma w ± l) = e e asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota pozioma w m) = ± asymptota pionowa obustronna, brak asymptot ukośnych n) = 0 asymptota pionowa prawostronna, y = π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w o) = asymptota pionowa prawostronna, y = + ) ln asymptota ukośna w ± p) =, = asymptota pionowa obustronna, = asymptota pionowa lewostronna, y = asymptota ukośna w q) brak asymptot pionowych,y = 0 asymptota pozioma w, y = π asymptota ukośna w r) = asymptota pionowa obustronna, y = + asymptota ukośna w 4
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoTydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)
Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowo( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowo