Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Transkrypt

1 . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja jest różnowartościowa: y = + 2 y = 2, [0, 3] y = 2, [, ] (4) Wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej do danej: y = 2 y = 3 2 4, [, 4] y = + 2, [ 2, + ) (5) Naszkicować wykres funkcji: y = y = 2 + y = y = 2 4 y = 2 9

2 2. Funkcje elementarne () Rozwiązać równanie: = 0 3 = = 0 ( 2 )( ) = ( 2 +)( 2) = 0 (2) Rozwiązać nierówność: > < 0 ( )( 2 + 2)( 2 5) > 0 (3) Rozwiązać równanie lub nierówność wykładniczą: ( 4 = ) 32 3 = = ( 2 3 2) = 8 (4) Rozwiązać równanie lub nierówność logarytmiczną: log 2 = 2 2 log 2 (log 3 ) = 0 log( ) = 0 log log (5) Rozwiązać równanie lub nierówność trygonometryczną: sin = 2 cos = 2 2 tg 2 = 3 sin 3 0 cos < 2

3 () Obliczyć granicę ciągu: a n = n 2 2n+3 a n = n2 +3 4n 3 2n+ a n = 3n2 4n+5 n a n = 4n2 + a n = 2n +3 n 3 n + a n = 2n 4n 2 + 2n (g) a n = n 2 n + 3 n (h) a n = sin n n (i) a n = ( )n n Ciągi i szeregi liczbowe n (j) a n = log 2 0n 2 +6n (2) Stwierdzić, czy dany szereg jest zbieżny: n 2 + Σ n= Σ n= 0 n! Σ n= n 4 n Σ n= Σ n= n 3 4n 3 +2n 2 2n+

4 () Obliczyć granicę funkcji: (g) (h) (i) (j) 4. Granica funkcji ( ) 2 2 4, +, sin 2 0 sin 3 tg , 0 + 2

5 5. Ciągłość funkcji () Wykazać, że następujące funkcje są ciągłe: y = sin y = y = (2) Sprawdzić, czy dana funkcja jest ciągła: { 2 + dla < y = + 5 dla { e dla 0 y = dla > 0 { 2 y = dla 3 dla = (3) Znaleźć wszystkie takie wartości parametru a, aby dana funkcja była ciągła: y = y = { 2 dla < 0 a 2 dla 0 { sin dla [0, π] 2 cos + a dla (π, 2π] ae dla < 0 y = 2 a dla 0 < ln dla

6 6. Pochodna funkcji () Obliczyć pochodne następujacych funkcji: (g) (h) (i) (j) (k) (l) y = y = tg y = 2 2 ln 3e arc tg y = y = + sin y = ln 2 + y = 2 y = sin 3 + cos 3 y = tg 2 3 y = 4 sin ( y = ln + ) 2 + y = arc sin( 2 + ) { 2 sin dla 0 0 dla = 0

7 7. Monotoniczność i ekstrema funkcji () Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: y = y = e y = 2 2 y = cos ln y = (2) Wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji: y = y = y = ln( + ) y = 2 e y = 3 + tg (3) Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą dla następujących funkcji: y = , [ 2, 2] y = +, [0, 4] y = 2 ln, [, e] y = 00 2, [ 6, 8] (4) Wyznaczyć asymptoty wykresów następujących funkcji: y = y = e y = ln(4 2 ) (5) Korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć granice: cos e ln 0 + ( + ) +

8 8. Całka nieoznaczona () Obliczyć całki nieoznaczone: ( ) d (g) (h) (i) (j) (k) (l) ( ) 4 cos d 2 e d e cos d 2 + d (2 + 7) 5 d d e 2 d sin 5 cos d d 2 + d d (m) d

9 9. Całka oznaczona () Obliczyć całki oznaczone: ( 4 2 ) d 2 4 d e d d (2) Obliczyć pole obszaru ograniczonego osią O i wykresem funkcji: y = sin, [0, π] y = 2 y = 3 (3) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy parabolami y = 2 oraz y 2 =. (4) Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = 2 2 oraz prostą + y = 0.

10 0. Całka niewłaściwa () Obliczyć całki niewłaściwe: π 2 0 d d tg d d 2 + e d d 4 + 2

11 () Wykonać mnożenie macierzowe: [ ] [ ] [ (g) [ Macierze ] 3 ] [ y z ] [ ] [ [ (h) ] ] [ ] a b c d e f g h i (2) Znaleźć macierze odwrotne do danych macierzy (o ile istnieją): [ ] [ ] [ ] 2 2 cos α sin α sin α cos α (3) Rozwiązać równania macierzowe: [ ] [ X = ] [ ] [ X = ] (4) Sprowadzić macierze do postaci trójkątnej zredukowanej:

12 2. Wyznaczniki () Obliczyć cos α sin α (g) sin α cos α (h) a b 0 0 y

13 () Rozwiązać układy równań: { 2 3y = 3 + 2y = 5 3. Układy równań liniowych { k + 4y = 2k + 2y = 5 (g) (h) + 2y + 3z = y + 2z = 2 + 3y + z = a + y + z = + ay + z = + y + az = k R parametr 4 6y + 2z + 3t = 2 2 3y + 5z + 75t = 2 3y z 5t = 3 5y + 2z + 4t = 2 7 4y + z + 3t = y 4z 6t = = = = = = 0 a R parametr = = = = 2 (2) Dla jakich wartości parametru a R układ równań { ( + a) ay = + a a + ( a)y = a ma dokładnie jedno rozwiązanie? a + y = 2 3 y = + 4y = a ma rozwiązanie?