Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e) f(x) = x ln x x sin(π + x) )) cos(π x) (f) f(x) = tg( x x 2 cos(x 2 )) W punkcie (b) podaj też dziedzinę pochodnej. Zadanie 2. Rozwiąż nierówność: (x ln x ) < 0. Zadanie 3. Dla jakich par parametrów (A, B) podana funkcja jest różniczkowalna w x 0? e Ax + B dla x 0 (a) f(x) = Bx dla x < 0,, x 0 = 0 x 1 (b) f(x) = Zadanie 4. x ex dla x > 1 e Ax B dla x 1,, x 0 = 1 Korzystając z twierdzenia Darboux uzasadnij, że istnieje x 0 ( 0, π 2 ) taki, że styczna do wykresu funkcji f(x) = arctg(x + cos x) wyznaczona w (x 0, f(x 0 )) jest równoległa do prostej 3y = x. Zadanie 5. W jakich punktach przecinają oś 0y te styczne do wykresu funkcji y = ln(tg 2 x), które są prostopadłe do prostej 4y + x = 1? 1

2 Zadanie 6. Wyznacz te styczne do wykresu funkcji y = 2 x + 4 x, które są równoległe do podanej prostej: (a) y + x ln 2 = 0; (b) y + ln 2 = 0. Zadanie 7. Wyznacz równanie stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie (a) f(x) = (cos( 3x)) cos(π 3x), ( π 9, f(π 9 )) (b) f(x) = x ln x, (e, f(e)) (c) f(x) = x ln x, (e 3, f(e 3 )) Zadanie 8. W jakich punktach (styczności) należy wytyczyć styczne do wykresu funkcji f(x) = x ln2 (2x), aby nie przechodziły one przez czwartą ćwiartkę układu współrzędnych? Zadanie 9. Wyznacz punkty przecięcia wykresów funkcji f(x) = log 2 x oraz g(x) = log x 2. Wybierz dowolny z nich i wykaż, że wyznaczone w nim styczne do wykresów tych funkcji odcinają wraz z osią 0y trójkąt równoramienny. Zadanie 10. W jakim punkcie i pod jakim kątem krzywa y = 4 1 x przetnie styczną do wykresu f(x) = x log x 2 wytyczoną w punkcie (666, f(666))? Zadanie 11. W punkcie (0, f(0)) wyznaczamy styczną do wykresu f(x). Jaki jest jej współczynnik kierunkowy, ( ) gdy f(x) = d4 sin x? dx 4 e x Zadanie 12. ( Gdzie i po co styczna do wykresu funkcji f(x) = (cos x) sin(x+ π 2 ) wyznaczona w punkcie π, f ( )) π 3 3 przetnie oś 0x? Zadanie 13. W którym z punktów przecięcia krzywych y = tg x i y = sin(2x) ( π < 6x < 3π) kąt pomiędzy nimi jest ostrzejszy i ile wynosi? Zadanie 14. Prosta y = ax+b jest styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie (π, f(π)). Wyznacz jej współczynnik kierunkowy, gdy f(x) = d7 g(x) dx 7 dla g(x) = (x 2 + x + 1) sin x. Zadanie 15. W jakim punkcie przetną się styczne do wykresu funkcji f(x) = x ln2 x wytyczone w punktach (e, f(e)) i (e 1, f(e 1 )). 2

3 Zadanie 16. Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji f(x) = gdy są one (a) równoległe; (b) prostopadłe do prostej x + y = 2. Zadanie 17. Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji f(x) = arctg(1 2x), gdy są one (a) równoległe; (b) prostopadłe do prostej y 5x = 4. 1 log x 2 x+1 e, Zadanie 18. Dla jakich wartości B prosta y = 2x + B jest styczna do wykresu funkcji f(x) = ln ( x 2 3x + 3 2)? Zadanie 19. Oblicz przybliżoną wartość podanego wyrażenia (a) (tg 44 0 sin 880 ) (b) (cos 62 0 ) sin( 280 ) (c) ln 1, 02 1, 96 (d) (0, 51) 0,49 Zadanie 20. Oszacuj błąd przybliżenia: (a) 3 sin x cos x cos(2x) 3x 8x 3 dla x ( π 16, 0) (b) cos x e x (1 x) dla 0 < 3x < 1 oraz dla 0 < x < 1 Zadanie 21. Przybliż podaną funkcję trójmianem kwadratowym i oszacuj błąd przybliżenia: (a) f(x) = e x2 dla 1 2 < x < 0 (b) f(x) = ln sin ( 2x + π 3 ) ( ) dla x 0, π 12 3

4 Zadanie 22. Wyznacz współczynnik przy x 13 dla rozwinięcia funkcji f(x) = e x2 resztą R n z n > 13. według wzoru Maclaurina z Zadanie 23. Wyznacz współczynnik przy x 17 dla rozwinięcia funkcji f(x) = (x 2 x) cos(2x) według wzoru Maclaurina z resztą R n z n > 17. Zadanie 24. Korzystając ze wzoru Maclaurina wyznacz równanie prostej przybliżającej łuk wykresu y = na przedziale 0 < x < 0, 1. ln(x + 1) e x Zadanie 25. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f(x) = 2x 1 + ln(x 2 + 4x + 4) oraz przedziały I o własności: x 1, x 2 I odcinek łączący punkty (x 1, f(x 1 )) i (x 2, f(x 2 )) leży poniżej łączącego je łuku wykresu funkcji f(x). Zadanie 26. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f(x) = ln(x3 3x). 3 Zadanie 27. Przy pomocy metod rachunku różniczkowego oblicz odległość punktu (0, 1) od krzywej xy = x 2 +x+1. Zadanie 28. Wartość f(x) = x4 + A w jej ekstremach wynosi A 3 2. Wyznacz A liczbowo; znajdź punkty, w których x 2 f(x) ma ekstrema, i określ rodzaj ekstremów. Zadanie 29. Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f(x) = 1 dla x < π. ecos x w zależności od parame- Zadanie 30. Określ przedziały monotoniczności oraz granicę lim f(x) dla f(x) = axe a x x 0+ tru a. Zadanie 31. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = x x na przedziale [ 1 3, 3]. Zadanie 32. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i punkty przegięcia funkcji f(x) = ln(x 3 ) ln 3 x. Zadanie 33. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 2arctgx + x na przedziale [ 0, π 3 ]. 4

5 Zadanie 34. W ostrosłup prawidłowy o podstawie kwadratu, polu powierzchni bocznej równym S i maksymalnej objetości wpisano kulę. Oblicz jej objętość. Zadanie 35. Określ przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f(x) = x 2 ln( x). Zadanie 36. Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f(x) = 3 3 x + 1 x + 1. Zadanie 37. Określ wszystkie ekstrema lokalne funkcji f(x) = log 2 x+log x 2. Podaj równanie wyznaczające punkty przegięcia tej funkcji (bez rozwiazywania tego równania). Zadanie 38. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = x x na przedziale [2 4, 2 2 ]. 5